Можно вывести формулу для суммы ряда n^k, используя переход к интегралу. Для целых положительных степеней k сумму n^k+(n+1) ^k можно представить как определенный интеграл (на интервале от n до n+1) от полинома k+1 степени, коэффициенты которого несложно определить из указанного равенства. После этого вся сумма представляется как интеграл от этого полинома на всем требуемом интервале

Вот способ суммирования ЛЮБЫХ степеней. Сначала представляем степень в виде суммы: k^2 = k(k-1) + k. Cлагаемые указанного вида легко суммируются телескопически: k(k-1) = [(k+1)k(k-1) - k(k-1)(k-2)]/3, k = [(k+1)k - k(k-1)]/2

Здорово получилось! Забавно, что в "домашнем задании" не только е, но и d оказалось равно нулю. Я с такими рядами как-то мало знаком. И функциональные уравнения меня решать не учили, поэтому я сейчас отношусь к ним как к головоломкам, какой-то системы в их решении я не знаю. (а она вообще есть?) Посему вопрос. Почему решили искать решение именно в виде многочлена? Для меня не очевидно. Есть для такого подхода какие-нибудь теоретические предпосылки? Или просто "А давайте попробуем! - Опа! Получилось!! А если решение есть, то оно единственное". Это, как есть методика решения линейных дифференциальных уравнений путём поиска решений в виде экспоненты. Отличная методика, но ведь это трюк, и ещё нужно доказать, что мы таким образом нашли все решения. Я как-то раз попробовал обычное уравнение колебаний решить без этой методики, по классике, используя замены. Там в ходе решения нужно взять два элементарных интеграла и в итоге получается тот же самый ответ. Только сложнее.

@andreyan19

3 ай бұрын

Благодарю за содержательный комментарий, дорогой зритель! Насчет того, существуют ли системы в решениях функциональных уравнений: вообще, не могу сказать, что имею прям большой опыт в решении подобных уравнений. Однако те, что уже разбирал, решаются либо через многочлен или через функцию из исходного условия задачи, либо так, как решал в видео под названием «Касательная к неявно заданной функции» Касаемо того, почему искал решение в форме многочлена: здесь отчасти было «на авось» Но, преимущественно понимал, что, ведь любую аналитическую функцию можно разложить в многочлен в произвольной точке, используя Формулу Тейлора

@user-fe5xs6yg6e

3 ай бұрын

@@andreyan19 Понял! Спасибо!

(x^4+2x^3+x^2)/4

@mureccel9082

3 ай бұрын

еще можно свернуть по формуле квадрата суммы: (x^2+x)^2/4

Можно ли этим способом вывести формулу суммы 1+ 1/2 + 1/3 + ... 1/x ?

@andreyan19

2 ай бұрын

Попробовал вывести - не получилось (возможно, нужно другим способом) Однако, мы можем найти приблизительно сумму первых n чисел гармонической последовательности

@ramza2779

2 ай бұрын

@@andreyan19 Я знаю что результат будет дробь и в знаменателе x факториал