✓ Касательная. Геометрический смысл производной и дифференциала | матан
Поговорим про геометрический смысл производной.
Как поддержать канал:
Bitcoin: bc1qwzx9t9mz5h5q8sgtz74mdgedxd5wu0g9kq6q5m
Ethereum: 0xAE872DcA8B135cf62Df4B36bE576a2EE64c6066a
Регулярная помощь (Boosty): boosty.to/trushinbv
Регулярная помощь (KZread): kzread.infojoin
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
Регулярная помощь (Sponsr): sponsr.ru/trushinbv
Разовая помощь (Ю-money, бывшие Яндекс.Деньги): yoomoney.ru/to/410011017613074
Разовая помощь (PayPal): paypal.me/boristrushin
Разовая помощь (Donation Alerts): www.donationalerts.com/r/bori...
Разовая помощь (Сбер): 2202 2001 0398 5451
В этом учебном году я веду три курса:
✔ «Подготовка к ЕГЭ по профильной математике с 0 до 70 баллов (10-11 класс)»: trushinbv.ru/ege70
Подойдёт и десятиклассникам, которые хотят уже за год до ЕГЭ стабильно решать на 70+, и одиннадцатиклассникам, которые почти ничего не знают, но хотят за год выйти на приличные баллы. На курсе освоим как всю тестовую часть, так и многие задачи из сложной части ЕГЭ.
✔ «Подготовка к ЕГЭ по профильной математике с 60 до 100 баллов (11 класс)»: trushinbv.ru/ege100
Для тех, кто уже знает математику на базовом уровне, и хочет за год освоить её на 90+. Там, в основном, будем учиться решать задания из сложной части ЕГЭ, но залезем немного и в некоторые содержательные задания из тестовой части.
(Если у одиннадцатиклассника есть достаточная мотивация, можно параллельно учиться сразу на двух этих курсах - trushinbv.ru/egepack - их программы согласованы между собой)
✔ «Подготовка к перечневым олимпиадам по математике (10-11 класс)»: trushinbv.ru/olymp
В первую очередь этот курс для одиннадцатиклассников, которые освоили стандартную школьную программу хотя бы на «четыре», и хотят за полгода подготовиться к олимпиадам типа Физтех, Ломоносов, ОММО и ПВГ, чтобы попробовать зацепиться за диплом хотя бы в одной из них.
Кроме того, доступны мои прошлогодние курсы в записи:
✔ «Подготовка к ОГЭ»: trushinbv.ru/oge9
Это запись большого годового курса, который я провел пару лет назад. В этом году у меня не будет новых курсов для 9 класса.
✔ Мини-курсы по отдельным заданиям ЕГЭ:
- Теория вероятности с нуля и до ЕГЭ (Задания 3 и 4): trushinbv.ru/egeTV
- Уравнения и неравенства (Задания 12 и 14): trushinbv.ru/egeAL
- Стереометрия (Задание 13): trushinbv.ru/egeST
- Экономические задачи (Задание 15): trushinbv.ru/egeEC
- Планиметрия (Задание 16): trushinbv.ru/egePL
- Задачи с параметром (Задание 17): trushinbv.ru/egePR
- Теория чисел (Задание 18): trushinbv.ru/egeTC
✔ Мини-курсы по перечневым олимпиадам:
- Олимпиада Физтех: trushinbv.ru/fizteh
- Олимпиада ОММО: trushinbv.ru/ommo
- Олимпиада Ломоносов и ПВГ: trushinbv.ru/lomonosov
Другие курсы Фоксфорда: trushinbv.ru/courses
Репетиторы Фоксфорда: trushinbv.ru/coach
Магазин мерча: trushinbv.ru/shop
Книжка от Трушина: trushinbv.ru/book
вКонтакте: ege_trushin
TikTok: / trushinbv
Twitter: / trushinbv
Instagram: / trushinbv
Telegram: t.me/trushinbv
Facebook: / trushinbv
KZread: / trushinbv
Личный сайт: TrushinBV.ru
Пікірлер: 137
Словами не описать, как вы спасаете студентов! На лекции все быстро протараторили, никто ниче не понял, сиди теперь и разбирайся в своих каракулях) А наличие таких качественных видео-уроков с детальными пояснениями каждого момента значительно облегчает дело ❤
@A_Ivler
6 ай бұрын
Мне всё успевают объяснить. Хотя эту инфу знал ещё в школе.
@wise_scarecrow
6 ай бұрын
А если вы запишете лекцию на видео и потом спокойно просмотрите, не то же самое будет?
@George-qe3lr
6 ай бұрын
@@wise_scarecrow, нет, далеко не то же самое) Довольно часто объяснение Бориса Викторовича отличается от приведённого на лекции, что помогает взглянуть под другим углом и лучше осознать материал. Я уже молчу про то, что многие моменты на лекции объясняют вскользь, а то и вообще принимают на веру без доказательства
@safil747
6 ай бұрын
@@A_Ivlerлюди привыкли, что со школы им все разжеванное в рот кладут. А тут говорят "инженер должен знать и уметь все" и дают теорию.
@nnn7459
6 ай бұрын
@@A_Ivlerя тоже знала ещё в школе, но снобизм можно оставить при себе, далеко не всём повезло с учителями
Честно говоря, когда вырасту, хочу стать Трушиным. Спасибо за видео!
как же приятно иногда вернутся к первому семестру анализа, когда все было весело легко и приятно
Не хватает слов, чтобы описать весь мой восторг от этого видео)) Источаю лавину благодарности, спасибо, Трушин, что есть Вы и Ваши видео)))))))
Матан, матан, матан, ура! В этом году поступил, и к сожалению наша программа к моему удивлению оказалась менее подробной, чем серия ваших роликов
@nicholasspezza9449
3 ай бұрын
Ну так мы тут 5 лет проходим то, что вы пройдете за полгода. Само собой тут минимум в 10 раз подробнее 😅
В поддержку матана!
Спасибо большое за ваши ролики по матану! Сейчас как раз начали проходить дифференцирование по матану. Вы очень помогаете!!!
Да это же снова Борис Трушин и мы продолжаем заниматься матанализом!
Спасибо вам большое за мат анализ❤
Эх х х, студенчество вспомнил. Славное время, было! :) Спасибо Борис. :)
Очень полезно при работе на финансовых рынках
только вот прошли эту тему, спасибо!)
О кайф Трушин попал в тайминг! Я как раз сегодня пытался понять производную и интеграл и пересматривал старый видос про интеграл. И вот я здесь
ваши видео прекрасны, спасибо вам Борис Трушин ❤
Смотрю плейлист по матану и новое ,не вышедшее видео! Вот так да!
Ждём, чтобы такие ролики по "матан" выходили чаще! Спасибо тебе большое за твои старания!
Круто!
Эксклюзив!
Спасибо
Как хорошо, что вышел такой гайд. У меня по матану будет матдиктант на 15 вопросов, тут вы объяснили достойно 1 и 2 вопрос
вот теперь я начинаю понимать математику)
❤❤❤
Борис гигант
Огромное спасибо за этот ролик, очень скоро мне это будет нужно, а ваши лекции смотреть так интересно
Спасибо, дорогой Борис Викторович! Невероятно круто
👍👍👍
❤❤❤❤❤❤❤❤👏👏👏👏👏
👍👍👍🔥🤓
16:24 "Не то чтобы это прямо геометрически очень понятно для чего это надо." В физике именно так считается погрешность измерений. Берётся функция, потом считается её дифференциал. В бо́льшем числе случаев - многомерный, т.к. редко функция там только одной переменной. Но физическое применение для дифференциала именно такое.
@trushinbv
6 ай бұрын
Это понятно, но для этого не нужно это геометрически представлять )
@themachine9329
5 ай бұрын
@@trushinbv вообще почему то забывают говорить что производная нужна для нахождения мгновенной скорости ЛЮБОГО процесса (физического, экономического и т.п., а не только физического) и вот как раз угол касательной показывает текущую скорость изменения процесса ну а перед этим объяснить что скорость изменения функции = скорость изменения любого процесса p.s. понятно что физический смысл производной в другом видео, но вот эта связь между смыслами должна быть в обоих видео. А так спасибо, очень круто объясняете
Борис, а будет в будущем видео про радиус кривезны. Видел формулу когда решал задачи по физике, но всегда интересовало, откуда она получается
@trushinbv
6 ай бұрын
Будет. Но не скоро )
@Metal_dead
6 ай бұрын
@@trushinbv ну, я не спешу
А можете как-нибудь рассказать про странные функции, которые определены и непрерывны везде, но не дифференцируемы нигде? Или про поведение функции e^(-1/x^2) рядом с нулём?
Привет, Борис. Идея для очередного видео, где как раз используется геометрический смысл дифференциала (как "приращение касательной"). Формулу Ньютона-Лейбница как раз можно визуализировать с помощью дифференциала. В записи определенного интеграла присутствует символ f(x)dx. Его как раз можно интерпретировать как дифференциал dF первообразной F. Поскольку dF примерно равен приращению функции F на маааленьком промежутке dx, то интеграл от a до b можно визуализировать как сумму дифференциалов dF, что дает приращение функции F(b)-F(a). Спасибо за видео. Удачи! Игорь
здравствуйте!! можете пожалуйста объяснить инверсию на пальцах. Спасибо вам за это видео
Больше матана богу матана!
Шульман в президенты, Трушина замом. В такой России хочу жить.
Это первая Ваша лекция которая мне понравилась.(((:::
Маатан! о ес! о да!
а что если сложить 2 и более производных? при том что каждая из них несет свою "информацию"
Что такое интеграл? Интеграл - это площадь под графиком. А что такое площадь. А площадь - это интеграл. А что такое интеграл? А интеграл - это площадь.
@gitarre_spielen
6 ай бұрын
Ага, "у попа была собака".
@user-qs7gq6vs1y
6 ай бұрын
у собаки была попа... эта попа нравилась попу и потому...у попа была собака..................@@gitarre_spielen
@suprememaster1133
5 ай бұрын
А что в вашем понимании площадь?
@user-qs7gq6vs1y
5 ай бұрын
мера квадрируемого множества точек... @@suprememaster1133
Книги по математике Трушина есть?
@trushinbv
3 ай бұрын
Гуглите серию книг «математика с Борисом Трушиным» )
@alexeyshnaider9290
3 ай бұрын
@@trushinbv ну там комбинаторика и все
@trushinbv
3 ай бұрын
@@alexeyshnaider9290теория чисел ещё через месяц выйдет
@alexeyshnaider9290
3 ай бұрын
@@trushinbv хочу большой современный справочник по математике на все разделы
@trushinbv
3 ай бұрын
@@alexeyshnaider9290 это коллективу из ста человек лет десять писать нужно )
когда то учил и даже решал, но до сих пор не понимаю где это в жизни применяется)
@trushinbv
6 ай бұрын
Вы про мозг? )
@cherkasA
6 ай бұрын
@@trushinbv ) смешно мозг знаю где применяется) дифференциал более менее понятно где применяется интеграл тоже встречал в инженерных расчетах а исследование функции и производную кроме как в ВУЗе нигде не видел в жизни. не понятна его практическая суть
@whois1313
6 ай бұрын
@@cherkasAа как без понимания производной разобраться в интегралах и дифференциалах?
Спасибо, пригодится в расчёте ПИД-регулятора для охоты на чубы
@TurboGamasek228
6 ай бұрын
только попробуй гад
@A_Ivler
6 ай бұрын
Сейчас бы хорошо понять, что такое ПИД-регулятор для охоты на чубов.
Круто! Такой вопрос (может и не грамотный). Можно ли с помощью производной от производной от производной от...от производной функции понять функция убывает или возрастает в заданном промежутке ? Первая производная не очень ... Функция представляет произведение синуса на квадратный трёхчлен. Кроме построения графика (без нахождения критических точек) как можно ответить на такой вопрос ?
@suprememaster1133
5 ай бұрын
Чтобы понять монотонность функции на промежутке, понадобится только и только первая производная. В ее нулях в функции экстремум или точка перегиба, а между она возрастает или убывает. Вторая производная покажет выпуклость функции, насколько быстро возрастает производная. Третья и далее производные уже какого-то конкретного значения не имеют, поэтому для бытовых целей нет смысла их брать
Может определить касательную как прямую, которая имеет единственную общую точку с графиком функции при данном Х в окрестности Х ?
@trushinbv
6 ай бұрын
Бывают касательные, для которых это не так (был даже ролик про это), и для многих функций можно в одной точке бесконечно много прямых провести с таким свойством.
@olegpisarenkov4908
6 ай бұрын
а они - эти функции - дифференцируемы при этом в данной точке? очень интересно, спасибо, ролик поищу@@trushinbv
полистать что-ли Контрпримеры в анализе ещё раз на старости лет...
Дублирую свой комментарий, вдруг всё-таки будет интересно) если нет, так нет Борис, здравствуйте! На уроках недавно мы прошли матричный способ решения систем линейных уравнения и я бы хотела предложить вам идею - может быть, возможно снять видео о матрицах или методе Крамера? Мне на самом деле просто очень интересно, почему эти способы вобще работают и на чём они основаны. Извиняюсь, если у вас уже есть видео о матрицах, но я не нашла
@trushinbv
6 ай бұрын
То есть вам на уроке дали метод, не объяснив почему он работает?
@qwlori
6 ай бұрын
@@trushinbv нам дали способы и мы научились решать системы линейных уравнений с их помощью, но именно почему они работают и на чём они основанны не объяснили. я имею ввиду, почему, перемножая коэффициенты именно таким способом, мы получаем решение системы. я думаю, это из-за очень ограниченного количества уроков, выделенных на эту тему. поэтому мне очень интересно послушать вас! мне нравится, как вы в своих видео можете доказать даже самые казалось бы очевидные вещи
@trushinbv
6 ай бұрын
@@qwloriя подумаю ) Но у вашего не очень разумный подход
@qwlori
6 ай бұрын
@@trushinbv в любом случае спасибо за ответ!
Борис, день добрый! Мне стало интересно следующее (к сожалению на клавиатуре нет значка "дельта", поэтому буду обозначать дельту знаком ♤): Вычисляя касательную, мы расчитываем ее отталкиваясь от Х0 + ♤Х (при ♤Х стремящейся к 0). Но ведь какой бы малой ни была ♤Х, мы все равно не вычислим касательную точно. Предположим, что мы ищем касательную так же отталкиваясь от Х0, но не плюс, а минус ♤Х (то есть вторую точку мы выбрали левее Х0). Согласно логике получается, что касательная при (X+♤X) должна совпасть с касательной при (X0-♤X). Да, конечно же ♤Х стремится к нулю, но нет ли здесь математического противоречия, когда некая функция f(X+♤X)=f(X-♤X)? И почему бы тогда вообще не получить усредненное значение, которое, на мой взгляд было бы еще точнее? 😂 Вот, написал, и самому стало смешно!!!
@nemetskiylager
6 ай бұрын
Насчёт "Мы все равно не вычислим касательную точно" - советую изучать пределы, что это такое, как находится и так далее. Производные же, очевидно, вычисляются не путём подстановки конкретных чисел, как вы скорее всего думаете. Возьмём, например, функцию x². Lim ∆x => 0 (f(x+∆x)-f(x))/∆x = (x²+2x∆x+∆x²-x²)/∆x = (2x∆x+∆x²)/∆x = 2x + ∆x = 2x. Так доказывается, что производная от х² = 2х. И для вычисления значения в точке 4 просто 2 умножается на 4 и получается 8, а не берётся очень маленькое значение ∆x(скажем, 0,01) и подставляется в предел(тогда получается (4,01²-4²/0,01) - неточное значение, а именно, 8,01 вместо 8). Ну и насчёт того, что если заменить ∆x на -∆х, то получится, что x+∆x=x-∆x, то не надо забывать, что если мы заменяем ∆x на -∆x, то мы заменяем его и в знаменателе, и в знаменателе получается -∆x. То есть, (f(x+∆x)-f(x))/∆x = -(f(x-∆x)-f(x))/∆x, что выполняется для всех непрерывных функций(в ином случае производная для функции не определена).
@space1r
6 ай бұрын
На это классное замечание (аж о 3 точках f(x-∆x), f(x), f(x+∆x)), где есть только одна касательная, а через 2 других - секущие, есть "лайфхак": использовать нормаль. Уж её точно можно провести в точке f(x) только ОДНУ. Причем на чертеже нормаль легче построить с помощью зеркальца: приложить в искомой точке перпендикулярно к кривой (в зеркале линия графика должна войти "сама в себя") , провести нормаль, и потом, в точке пересечения - касательную под углом 90°. Всё! Так вот из-за единственности нормали и возникает эта единственность касательной! И тогда никаких секущих не нужно!
@User_name_2pizza
6 ай бұрын
@@space1r КЛАААССС!!! Просто и офигенно!!!
существует ли производная для функции у=кв.корень(1-х^2) в точке х=1 или х=-1? И чему равно? можно ли считать функции у=1 и х=1 обратными друг другу? Можно ли это доказать математически? Какой предел у функции у=1 при х стремящийся в бесконечность? немного бесполезных размышлений на вечер...
@braxxis4520
6 ай бұрын
1) зависят от определения, в данном случае говорят, что функция имеет бесконечную производную 2) нет, можно доказать, что нет 3) 1
@gitarre_spielen
6 ай бұрын
@@braxxis4520, товарищ, а как понимать "функция имеет производную в точке..."? Если, грубо говоря, производная функции - скорость изменения функции при изменении аргумента, то если функция имеет производную в точке, имеют в виду "ей есть куда расти, и вот на столько", или же "она выросла на столько по сравнению с предъидущей точкой" (тогда какой)?
@braxxis4520
6 ай бұрын
@@gitarre_spielen грубо говоря производная имеет строгое определение, проблема ваших рассуждений, что вы не знаете, что такое скорость
@suprememaster1133
5 ай бұрын
@@gitarre_spielenпроизводная в точке x0 - это предел (f(x)-f(x0)/(x-x0). В случае корня, он равен бесконечности, и в таких случаях считают, что в точке функция не дифференцируется
Из геометрии давно известно "не твоя касательная-не твои проблемы"😅
@A_Ivler
6 ай бұрын
-Как там твоя прямая? -Тебя не касается. И изображение двух кругов на координатной плоскости, где у одного нет касательной, а у другого есть.
"какая-то функция" - и нарисовал ехпоненту!
@A_Ivler
6 ай бұрын
Так у неё производную легче всего считать.
А у вас нет курсов по вышмату?
@trushinbv
4 ай бұрын
Нет (
Геометрический так и сложно понять, физический смысл - сразу понятен.
а если производная не является линейной функцией?
@braxxis4520
6 ай бұрын
производная в точке - это просто число, поэтому сам вопрос непонятен
Когда функан, уважаемый БВ?)
Борис, здравствуйте...Замечательно слушать ваши видеоролики, нравятся особенно ваши прозрачные и доходчивые объяснения, но хотел бы выразить своё ненавязчивое пожелание. Очень интересно было бы послушать ваши мысли про гиперболические функции: связь с тригонометрией, геометрическая аналогия, обратные гиперболические функции, разложения в ряды и прочее. Очень красивая и обширная тема, которой, к сожалению, я не нашел в вашем изложении. Недавно столкнулся на практике с этими функциями, рылся в справочниках подручных, искал аналог формулы Asinx+Bcosx=✓(A²+В²)sin(x+p), где p=arctan(B/A). Не найдя нигде аналогии, понял, что для гиперболических функций единой формулы нет, а аналог зависит от того, что больше по модулю из коэффициентов А или B. Уже благодарен, если пожелание не останется незамеченным.
А я всегда думал, что производная, это просто скорость изменения функции в данной точке, а касательная, соотетственно, наглядное представление ускорения.
Здравствуйте, подскажите, пожалуйста, как можно интерпретировать точку пересечения касательной с осью абсцисс?
Не могу найти видит где он объясняет как учить не надо на примере нелинейных функций, может кто подскажет?
Ага. А асимптота - это касательная к функции в бесконечно удалённой точке.😁
Борис, здравствуйте! Можете, пожалуйста, разобрать эту задачу kzread.info/dash/bejne/eHqmzqqvY9zXfJc.htmlsi=-6B0u_grcynuuGnp Как так выходит, что верных ответов на эту задачу несколько?
@trushinbv
6 ай бұрын
Он же сказал, что это просто нес шествующая конструкция. Если нижний имеет площадь 4, то этого уже достаточно, чтобы решить задачу, и при этом у верхнего не будет площадь 16
@user-th4xz7bs4k
6 ай бұрын
Благодарю!
то есть дифференциал это f(x0+∆x)-f(x0) при ∆x -> 0 ???
@buff9943
6 ай бұрын
Так и есть
@trushinbv
6 ай бұрын
Нет. Это линейная часть этого приращения
Через одну точку можно провести множество прямых, через две точки только одну прямую. Как я понял производная это скорость изменение функции в данной точке, но на самом деле при увеличении данной точки мы увидим две точки на грвфике. Вот через 2 эти точки мы проведем одну прямую.
Какой физический смысл данного угла?
ну не знаю, основывать определение касательной на частном от деления координат ‘y’ на координаты ‘x’ это как-то.... не очень ну найдите таким путём касательную к той же x = y² в нуле или к x² + y² = R=constant в ±R, а касательные там существуют и единственны, не говоря уже про спирали с неконстантным радиусом не-не, такая дефиниция меня не удовлетворяет
@trushinbv
6 ай бұрын
Это определение касательной к графику функции y=f(x)
@vadiquemyself
6 ай бұрын
@@trushinbv ...предполагая, что дефиниция “функции” такова, что это не любой мэппинг, а только лишь такой, у которого обратный мэппинг (инверсия) инъективен тогда простым поворотом координат на ½π в любую сторону функция превращается, превращается функция в .... нефункцию!
@trushinbv
6 ай бұрын
@@vadiquemyself Мне кажется, вы путаете график функции в конкретных координатах и саму функцию От того, что вы что-то поворачиваете, на саму функцию это никак не влияет )
@vadiquemyself
6 ай бұрын
@@trushinbv ага, не меняется, и... а, понял, это к тому, что, поменяв буковки ‘x’ и ‘y’ местами, меняем их всюду и везде, и делим для x = 𝑓(y) уже́ на НЕнулевое изменение y’а, а не на (нулевое) изменение x’а окей, но тогда мы всё одно полагаем 𝑓(a)≠𝑓(b)→a≠b («∆y≠0→∆x≠0»), и чтобы получить уравнение касательной всюду, придётся подбирать и менять координаты, и в каждой такой системе будут свои «особенные» точки, так.... а без этого всего никак? не ограничивая определение функции только каким-то узким классом «инвертно-инъективных ∆y≠0→∆x≠0» ? не ища «специальные» точки и системы координат для них? я, конечно, понимаю, что это видео- для студентов на первом семестре обучения, для которых любая трансформация координат вдиковинку, кто сидит на этих лекциях внезапно-интенсивного калькулюса с такими огромными 😳глазами, полными искреннего непонимания происходящего вокруг, для кого функция это то, что в учебнике было нарисовано и на е.г.э
@trushinbv
6 ай бұрын
@@vadiquemyselfпочему вы считаете, что есть какие-то ограничения на функцию? Берем любую функцию, определенную в окрестности точки Хо.
😢я ничего не понял, но очень интересно, икс ноль
на первый взгляд достаточным критерием будет бесконечная дифференцируемость...уберёт осцилляцию...но - не факт...
Борис, поаккуратнее в терминах, имеющих привычный смысл... в окрестности х=0 возьмём осциллирующую функцию у=х^3*(sin1/x)... прямая лучшего приближения у=0... у Вас губа поднимется назвать её касательной к графику... нужен какой-то дополнительный критерий привычной нам касательности и которую 99,999% преподавателей рисуют на досках... проще сказать - не надо нам такого критерия ...
@trushinbv
6 ай бұрын
А что это, если не касательная? ) При условии, что вы её в нуле нулем доопределили
@user-qs7gq6vs1y
6 ай бұрын
можно ли - условно амплитудно уменьшающуюся волну назвать касающейся прямой - вряд ли...мозгу вопреки... @@trushinbv
дельта альфа бетта штрих...
а нельзя просто сказать что касательная к аналитической кривой - это просто прямая имеющая только 1 общую точку с этой кривой? Разумеется только в некоторой дельта-окрестности точки касания. Размеры дельта окрестности ограничены только ближайщими локальными минимаксами в этой окрестности, если, конечно, они существуют. Если эктстремумов нет, то и ограничений на размер тоже нет
Слишком быстро. Ничего не понятно!
дальше матан, больше