Благодарю за ценнейшие уроки!!! Продолжайте, пожалуйста!!! Здоровья и процветания каналу!!!

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Спасибо, что смотрите наш канал.

@user-ip2kj6um7g

3 ай бұрын

Зачем учиться дальше 7-го класса, если они ( семиклассники) способны решать самые красивые задачи самыми простыми и, следовательно, самыми красивыми методами??? Видимо, недаром в послевоенные годы в СССР было обязательным лишь 7 классов!?!? Ура, товарищи!!! Ведущему Браво, Браво, Браво!!!

Решение для 7-ого класса просто восхитительно в своей простоте! Кон-гениально! Спасибо.

@yefimmor2136

Жыл бұрын

Конгениально означает "аналогично".

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

И Вам спасибо!

А Паскаль еще был физиком и в честь него названа физическая единица. Мне очень нравится, как вы привносите небольные зернышки общей культуры (литературу, факты из жизни великих ученых) в решение задачи. Вы настоящий педагог.

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Спасибо, так и былдо задумано. Но некотрым не нравиться, говорят - много воды. Что делать?

@user-nx6dj7il7v

11 ай бұрын

​@@GeometriaValeriyKazakov но ведь всем не угодишь. Продолжайте в выбранной Вами манере преподнесения информации! Очень интересно, полезно, содержательно!

@GeometriaValeriyKazakov

11 ай бұрын

@@user-nx6dj7il7v Спасибо за поддержку.

@tolich3

3 ай бұрын

А ещё Паскаль изобрёл суммирующую машину.

Поскольку в условиях не сказано, что углы B и D не прямые, то мысленно вращаем треугольник BCD вокруг точки D с соблюдением условий задачи до тех пор, пока угол D не станет прямым. Исходя опять же из условий задачи о равенстве AB и AD, получаем равенство BC и CD при их сумме 12. Э вуаля: имеем квадрат со стороной 6 и площадью 36.

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Да, но при это следует также рассмотртеь случай, когда эти углы не прямые.

@victorbazhkov6733

Жыл бұрын

я тоже как-то пробовал строить/крутить в автокаде эту задачку - и у меня она вырождалась в квадрат в итоге, других вариантов построить не удавалось :(

@qaqqaqa9715

Жыл бұрын

@@GeometriaValeriyKazakov не обязательно, условия задачи не задают ограничения на эти углы. А значит если от их значения площадь меняется, то условия некорректны и надо было обозначить какие-то ограничения на эти углы. Если же условия корректны, то значит от углов площадь не зависит, а значит она 36

@user-zg7cx2pt4g

9 ай бұрын

И я так решила. Ясно, что это "квадрат".

@kulikovsergey3522

9 ай бұрын

О, нашел такое же решение, совсем не обязательно рассматривать другой вариант потому что если будет другой ответ то значит не верно сформулирована задача, условия не достаточно для решения и может иметь разную площадь. Я описал решение в другом комментарии, там привел второй частный случай где длина одного катета треугольника ВСD стремится к нулю а второго к 12, тогда площадь четырехугольника стремится к площади треугольника ABD c длиной гипотенузы равной 12 и высотой 6, также к 36. Хотя слово стремится в этом случае не верно потому что она всегда будет равна 36.

Выражаю признательность автору,за отличный "разбор полётов".

@GeometriaValeriyKazakov

10 ай бұрын

Учитесь все, как нужно писать комментарии! Спасибо, что смотрите нас.

Все элементарно: здесь два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой: ABD и BCD. Возводим выражение, данное в условии, в квадрат. Получаем сумму квадратов катетов плюс их удвоенное произведение. И все это равно 144. Делим обе части равенства на 4 и получаем, что площадь одного треугольника плюс площадь другого равно 36.

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Да, согласен. Алгеброй тоже красиво. Имеено делением на 4! Но никак не элементарно для ученика "хорошиста", для которых и канал.

@ddamnkill_aka_vladimir

3 ай бұрын

правильное решение

@user-fv5rz1he6g

2 ай бұрын

Самый простой... Доступный для нормальных мозгов вариант!

Спасибо за три способа решения.

@GeometriaValeriyKazakov

2 ай бұрын

И вам.

Спасибо. Красиво, изящно , наглядно.

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Спасибо. Очень приятно.

Пусть АВ=АД=а. Тогда ВД=а√2. Пусть ВС=х, СД=у. Тогда х в квадрате плюс у в квадрате равно два а в квадрате. х+у=12 . Возведем в квадрат обе части этого равенства. Два а в квадрате плюс 2ху равно 144. Разделим обе части полученного равенства на 4. Получим : а в квадрате деленное на 2 плюс ху деленное на 2 равно 36. Первое слагаемое - площадь равнобедренного треугольника. Второе - площадь другого треугольника.

@user-tg1yx1jq2k

Жыл бұрын

Зоя Шаромет, у вас самое лучшее решение, такое, как необходимо для школьников, Итог вашего решения таков: S(ABCD)=S(∆ABD)+S(∆BCD)=a^2/2+x*y/2=36; Кроме того автор допустил ошибку на 10-ой минуте, площадь треугольника ABD равна BD^2/2 ; тогда, как автор делает ошибку возводя в квадрат два в знаменателе.

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Спасибо. Да, это хороший алгебраический способ. Смотрите последний ролик - "Вишенка на торте".

@user-ye5mb1um2x

Жыл бұрын

@@user-tg1yx1jq2k с чего ради площадь треугольника считается как гипотенуза в квадрате пополам?он сказал,что половина гипотенузы равна высоте,опущенной к ней.нашел половины гипотенузы и умножил на высоту,потому что площадь равнобедренного прямоугольного треугольника можно считать как возведение в квадрат этой высоты,соответственно и знаменатель в квадрат возвелся.он мог гипотенузу не делить на 2,а умножить ее на высоту,которая в два раза меньше высоту,а затем поделить произведение на два,получилось бы тоже самое.)

@user-ye1ls8nl3t

Жыл бұрын

Я также

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

@@user-ye1ls8nl3t Спасибо, что подписаны на наш канал.

Спасибо за многообразие решения. Мы решили одним способом ( через доп построения). И были безумно горды собой)))

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Великолепно!!! И я горд за вас!

Все просто, легко и воздушно! Все, как я люблю! Огромное спасибо за отлично поданный материал, прям захотелось ещё порешать. Изящно!

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

И вам большое спасибо!

Спасибо! Замечательная задача!

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Алания, куда Вы пропали?

Валерий, спасибо за геометрию, и за Экзюпери.

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

И Вам спасибо за Экзюпери.

Супер, спасибі, дуже цікаві рішення! Із задоволеням слідкую за вами.

@katya-sunshine

Жыл бұрын

@@user-ej1vf8rx6q вам не автор канала ответил

@user-dv8cn3mj8j

Жыл бұрын

Здравствуйте. Валерий Владимирович Козаков - автор учебника по геометрии в Беларуси. По-моему, работает и живет в Беларуси. И, мне кажется, наши славянские языки очень похожи, чтобы понимать друг друга. Давайте не будем использовать такой замечательный образовательный канал для выяснения отношений.

@waltchefenow6802

Жыл бұрын

@@mishania6678 Классическая точка зрения шизофреника! Который разговаривает с окружающими на "своем языке", который никто, кроме него, больше не понимает. А вместо совести и ума у них - демагогия "про права" и сваливание с больной головы на здоровую.

@waltchefenow6802

Жыл бұрын

@@mishania6678 По-моему очевидно, что "оскорбить всех пытаются" только дикие зомбоукры, потомки быв. великих Людей.

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

И Вам спасибо. Извините за поздний ответ.

Так как нет дополнительных условий, мы имеем два предельных варианта: 1) это квадрат, и его площадь 36, или 2) точка В совпадает с точкой С и у нас прямоугольный равнобедренный треугольник, с гипотенузой 12, площадь которого тоже 36. все остальные варианты лежат в диапазоне площадей от 36 до 36.

@theMerzavets

Жыл бұрын

Несмотря на четыре "лайка", это не решение. Ваши предположения вовсе не гарнируют, что в промежуточных вариантах изменение площади невозможно. Рассмотрите другую ситуацию: прямоугольник с суммой длин смежных сторон, равной 12. Например, 1 и 11. Его площадь будет равна 11. 2 и 10 -- площадь 20. И тп.

@maxb5882

Жыл бұрын

@@theMerzavets нет, не будет больше. У нас функция с тремя уже определенными точками: 1) вариант когда BC = 0; 2) вариант когда BC = CD; 3) и вариант CD = 0. Везде функция дает одинаковый результат. такая функция не может иметь перегибов, и будет в виде прямой. т.е. и при остальных вариантах соотношения BC/CD она будет давать одинаковый результат.

@IlyaKiss

Жыл бұрын

@@theMerzavets, так в иных случаях будет и не прямоугольник, а просто четырёхугольник.

@theMerzavets

Жыл бұрын

@@IlyaKiss во-первых, с одинаковым периметром можно построить бесконечное количество именно прямоугольников; во-вторых, я не совсем понял суть вашего возражения. Или это не возражение было?

@theMerzavets

Жыл бұрын

@@maxb5882 а на каком основании вы считаете эту функцию линейной? Какую кривую опишет угол при изменении её параметра? (Подсказка: хотя бы мысленно рассмотрите множество вписанных в окружность прямоугольных треугольников. Как раз все три ваших условия выполняются -- в крайних точках имеем треугольники, вырожденные в отрезки -- но функция при этом тригонометрическая.)

Проведём диагональ ВД. Она делит 4-х угольник на два прямоугольных треугольника. У них общая гипотенуза. А далее применяя математический аппарат выражаем гипотенузу ВД из одного треугольника АВД и второго ВСД получим соотношение между катетами обоих треугольников. а именно 2 * а^2 = x^2 + (12-x)^2. Отсюда а^2 = x^2 - 12*x + 72. А теперь площадь четырёхугольника равна сумме площадей АВД и ВСД. Площадь АВД = а^2/2; Площадь ВСД = (х * (12-х)/2 и а^2/2 + (x*(12-x)/2= 1/2 * (х^2 - 12x+72 +12x-x^2)=72/2 = 36. ЧТД.

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Да. Это хорошее алгебрическое расуждение. Спасибо. См. "Вишенка на торте".

Копируем четырехугольник АВСD, поворачиваем на 90 градусов против часовой стрелки. Совмещаем точки A. Получаем трапецию с высотой (BC+CD), нижним основанием СD и верхним BC. Площадь трапеции: высота (BC+CD) умножить на полусумму оснований ((BC+CD)/2). т.е. 12*6=72. Площадь четырехугольника 72/2=36.

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Супер решение!

@snuskega5356

Жыл бұрын

Мне эта фигура напоминает квадрат с немного загнутым уголком С по отношению к плоскости фигуры. Почему квадрат??? Потому. что противоположные углы прямые и стороны АВ и АД равны - - - - по условию. Если плоскость сделать ровной, то сторона квадрата будет равна - - - - 6. S =6*6= 36. Это конечно решение для 1 кл. Просто я так вижу.

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

@@snuskega5356 Спасибо. Вы истинный геометр, прирожденный. Так и нужно - видеть!

@user-kt4ex5py6o

Жыл бұрын

Самое суперские решение 8-9 Кл.

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

@@user-kt4ex5py6o Спасибо. Я тоже так думаю. С другой стороны, это как сказать: пирожное с шоколадом - самая вкусная еда. Будем есть все!

В исходной задаче предполагается, что ответ будет единственным, вне зависимости от величины угла В (и, соответственно, ответного ему D). Т.е. я могу мысленно двигать вершину С произвольно как мне вздумается, искомая площадь при этом не изменится, если А=С=90°. При таком мысленном перемещении я останавливаю вершину С так, чтобы В равнялся 90°. Тогда D будет = 360-A-B-C=90°. Перед нами квадрат со стороной 6, т.е. s=36. Это одно из допустимых решений, а условия задачи предполагают, что оно единственное, т.е. все площади всех возможных четырёхугольников, образованных траекторией мысленного движения С должны быть равны друг другу.

@user-lz3pp3vi9d

Жыл бұрын

Вы не знаете и не можете знать, ч о предполагается в исходной задаче. Строго говоря. там ничего не предполагается. Есть условие и все. Простые учебники - зло! В них у любой задачи есть ответ, в жизни и в математике это просто не так.

@user-uj1kw8cf8u

Жыл бұрын

При всём множестве существования такого 4-х угольника ответ будет один 36 кв. ед. Смотрите решение в комментариях выше. Там есть критерий существования таких 4-х угольников через зависимость катетов.

@user-lz3pp3vi9d

Жыл бұрын

@@user-kh1pe6bl5m детский сад, штаны на лямках.

@glukmaker

Жыл бұрын

Это неполное решение. Но оно вполне годится в отдельных случаях. А неполное потому, что берем частный случай и решаем его, но при этом не утруждаем себя доказательством того, что решение задачи будет одно и тоже, независимо от того какой случай взять. Т.е. факт того, что площадь будет одной и той же при разных соотношениях ВС и СD, и зависит только от их суммы мы подразумеваем из условия, но не задумываемся о том, что условие может быть неполным или противоречивым.

@silenthunter9239

Жыл бұрын

Попробуйте построить фигуру которая дана в условии задачи, и вы поймёте что ошибаетесь!

Решил без каких либо доп. построений. Обозначим BC=y, CD=z, AB=AD=x Имеем z+y=12 Решаем S(ABCD) = S(BCD) + S(ABD) S(BCD) = zy/2 S(ABD) = x^2/2 BD^2=2*x^2=y^2+z^2 y+z=12 => y^2 + z^2 + 2zy = 144 y^2 + z^2 = 144 - 2zy Так как y^2 + z^2 = 2*x^2, то можем записать 2*x^2 = 144 - 2zy x^2 = 72 - zy Так как площадь равна сумме площадей треугольников ABD и BCD, то y*z/2 + (72 - yz)/2 = (yz + 72 - yz ) / 2 => S(ABCD) = 72/2 = 36

Я нашёл свой собственный, который лучше ваших. )) Раскладываем на плоскости наш четырёхугольник и ещё три его копии, образованные его трёхкратным поворотом на 90 градусов вокруг точки А. И обнаруживаем, что в сумме они составляют квадрат со стороной BC+CD = 12; Его площадь равна 12^2 = 144; А площадь его четвертинки, соответственно = 144 / 4 = 36. Аминь. PS. Само собой нужно немножко доказать, что всё стыкуется именно в квадрат, но это дело несложной техники, я думаю пятиклассник справится без труда. PPS. Вообще, при просмотре видео, я ожидал увидеть это решение в качестве третьего, самого простого и красивого, способа. Но так и не дождался. Мы с Маленьким Принцем немного разочарованы...

@user-pr5ht2ty3o

Жыл бұрын

Ваше решение тоже восхитительно, хотя оно вытекает из двух решений Валерия. ☝️ Или его решения являются производными от Вашего. 🤔 Можно и так сказать. 👍 Но главная изюминка Вашего решения в том, что оно демонстрирует единство этих трёх решений, что они -- суть одно и тоже! 😏 Кстати, большое спасибо Вам за Ваше решение!! 👍

@memoryspeak

Жыл бұрын

Решение офигенное

@theMerzavets

Жыл бұрын

да, пожалуй, это то самое "решение в одно действие" -- просто гениальное 🙂 Но до него догадаются "не только лишь все". Спасибо вам! Я же увидел диагональ BD, которая является диаметром описанной окружности для двух прямоугольных треугольников ABD и BCD, и т.д.

@user-lz3pp3vi9d

Жыл бұрын

Доказательство, что стыкуется в квадрат требует знания из 8 кл о том, что сумма углов четырехугольника 360. Как и решение автора для 1-7 кл. Я, кстати, именно его и нашла в первую очередь.

@user-tb3du6cf9l

Жыл бұрын

Проводим диагональ ВД. Треугольник АВД прямоугольный и равнобедренный с основанием ВД. Уколы при основании по 45 градусов. Теперь в треугольнике ВСД угол СДВ равен 90 минус угол СВД. И в то же время угол СДВ равен угол СДА минус угол АДВ, который 45 градусов. Значит СДВ равен 45 градусов Всё. Это квадрат. Задача из пальца высосана, зачем только? Время на канале забивать ?

поскольку четырехугольник вписан в окружность - то для него работает правило - BC+AD=CD+AB. И поскольку BD общий диаметр для двух прямоугольных треугольников BCD и ABD, вписанных в окружность, то BC+CD = 12 равно как AD+AB=12. AB=AD=12/2=6. Sabcd=2*6*6/ 2=36

@user-lz3pp3vi9d

Жыл бұрын

Вы ошибаетесь. У вписанных четырехугольников равны суммы противоположных углов, а не сторон.

@user-iq3xy7tm7j

Жыл бұрын

@@user-lz3pp3vi9d пардон - у вписанного четырехугольника работает правило произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин противоположных сторон. и учитывая что АB = AD и BC+CD=12, а так же исходя из того что треугольники ADB и BCD прямоугольные найдем BC по теореме Пифагора - BC= 6(2-2^1/2) . Из уравнений найдем AB=AD- и AB будет равно 12*(1-(2^1/2)/2)^1/2 , а CD = 6*2^1/2 из этого найдем площадь четырехугольника как площадь двух прямоугольных треугольников. Отсюда и получится 36.

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Спаасибо, что смотрите нас. Все заблуждаются.

Я делал по-другому: Диагональю BD разделил на два треугольника. BC - y CD - x x+y=12 тогда BC = x-12 У обоих треугольников выразил площади через X. Сложил получившиеся формулы. При упрощении уравнения X везде сократился. Ответ 36

@GeometriaValeriyKazakov

10 ай бұрын

Спасибо, что смотрите нас.

Валерий, СПАСИБО!!! Я восхищён тем, как Вы подаёте варианты решений (11-й, 10-й, ... ,7-й класс... и даже младше)!!! Мне больше всего именно этого не хватало... И вот я открыл для себя Ваш канал!!... Комментировать буду не всегда, а вот смотреть... -- постараюсь не пропускать! 👍 Ещё раз СПАСИБО!!!

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

И вам спасибо, что поняли идею. Ведь смотрит много не профессионалов, и они не понимают просто, зачем это нужно. А вы знаете!

Левую и правые части равенства условия возвести в квадрат .Оставив в левой части сумму квадратов , перенести удвоенное произведение в правую .Левая часть даёт квадрат ВД , что есть 2 АВ квадрат. То есть 4 площади треугольника АВД .В правой части 144 - 4 площади ВСД.Ответ 36

@user-tk5ll1gf5o

Жыл бұрын

я тоже так решила😊

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Спасибо. Да, конечно, алгебрический способ хорош.

Решал алгеброй. Потратил 30мин. пришлось заново научиться выражать площадь квадрата через его диагональ, и вспомнить сумму квадратов. Костя, 36 годиков.

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Спасибо. Вы молодец, что потратили время. Да, это хороший алгебраический способ.

Ответ- 36. Решение: соединим т.В и т. Д. Рассмотрим прямоугольные треугольники АВД и ВСА. У них общая гипотенуза ВД. Из теоремы Пифагора следует сумма квадратов катетов в данных треугольниках будет одинакова, это возможно, если сумма длин катетов АВ+ АД = ВС+ СД = 12, так как треугольник АВД равнобедренный, то длина его катета равна 6, а площадь всей фигуры- 36.

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Да, это хорошее алгебраическое решение. Смотрите последний ролик "Вишенка на торте". Там я его применяю.

@SerhiiSoproniuk

Жыл бұрын

Примерно так и я делал. Треугольники с общей гипотенузой, значит их площади одинаковы, и равны половине от произведения их катетов. А так как катеты у второго одинаковы, значит 12/2=6 Общий объем 6*6=36

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

@@SerhiiSoproniuk Спасибо. Если у треугольников общая гипотенуза, то их площади не обязательно равны ).

@SerhiiSoproniuk

Жыл бұрын

@@GeometriaValeriyKazakov Согласен. Ошибка.

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

@@SerhiiSoproniuk Очень непросто признавать ошибки. Хорошее качество, на мой взгляд. Спасибо.

Два прямоугольных треугольника (один из которых равнобедренный) с общей гипотенузой. Используя теорему Пифагора и формулу суммы квадратов чисел получаем площадь фигуры 36. Легко и просто.

@MrWhiteSoul

Жыл бұрын

Решил устно, ~ 10-15 cек🤣

@user-ci1jb1zh7f

Жыл бұрын

формулу квадрата суммы чисел, а не суммы квадратов

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Спасибо. Елена оговорилась. Да, алгебраический способ эффективен. Спасибо, что смотрите нас.

Решил вращением ∆ACD вокруг точки А. Хотя мне как-то ближе алгебраический метод, ну, а самый красивый - 3-й способ. *Спасибо!*

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Спасибо. См. "Вишенка на торте".

Увидел условие перед сном.Решил более простым способом и в уме, проснувшись ночью. Ну не знаю, решения три, но как минимум одно только подходит по условию задачи, решить устно и то...

Перевернем четырехугольник на 90 градусов(отложим такой же, D в B ,C в К, B в Е. Так как четырехугольник можно вписать в окружность, ADC+ABC=180, то есть ЕК параллельна CD, после поворота образовалась боковая сторона KC = BC+CD = 12. Средняя от ни я трапеции = EK+CD/2=12/2=6, S=6*12=72, Это площадь двух изначальных фигур, значит искомая = 72/2 = 36

@GeometriaValeriyKazakov

5 ай бұрын

Да. Спасибо.

Отрезок BD является гипотенузой треугольников ABD и BCD. Имеем тождество: BC + CD = 12. (BC + CD)÷2= 6. (BC÷2 + CD÷2)^2=6^2=36. (BC^2 + CD^2)÷4 + BC×CD÷2 = 36. BC квадрат плюс CD квадрат есть квадрат гипотенузы. Квадрат гипотенузы деленный на 4 равен площади треугольника ABC. BC×CD÷2 - площадь треугольника BCD. Площадь 4-угольника равна сумме площадей 3-угольников. Для проверки подставим в формулу численные значения BC и CD, согласно тождеству: 11 и 1; 10 и 2; 9 и 3; 8 и 4; 7 и 5; 6 и 6. Выясняется, что при всех сочетаниях катетов площадь 4-угольника неизменно равна 36. Фантастика! Этого не может быть! А как это работает? А давайте возьмем другие значения катетов BC и CD, а именно: -- 1 (минус 1) и 13; -- 2 и 14; -- 3 и 15; --88 и 100; --5 и 17 и так далее, тождество нам позволяет. Увы, результат тот же - 36. С той разницей, что здесь площади не складываются, а вычитаются. Окончательная формула - Sabcd = Sabd +/-- Sbcd

@GeometriaValeriyKazakov

9 ай бұрын

Спасибо.

@GeometriaValeriyKazakov

9 ай бұрын

kzread.info/dash/bejne/X4mbtbynppWsZMo.html

Теорема Пифагора для двух треугольников и S=36

Решается очень просто: если площадь не зависит от двух неизвестных углов, то площадь квадрата равна (12/2)²= 36. Или, например, ВС или CD стремится к 0, то получается равнобедренный треугольник с основанием 12 и прямым углом в вершине, высотой 6. Площадь этого треугольника 12×6/2=36!

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Спасибо. А если все-таки зависит?

@michaelnetsky

Жыл бұрын

@@GeometriaValeriyKazakov а если зависит, то задача равносильна вопросу "какое расстояние между двумя планетами солнечной системы" или "сколько весит атом".

Меня же эта задачка тем и заманила что решить её можно множеством способов. Меня всегда интересовал самый 'элегантный' - как правило, являющийся также самым 'эффективным' в смысле 'трудозатрат' (крайне актуально в реальной жизни и для не-математиков 😁). А вот тут-то и кроется весь пресловутый дьявол. Как правило, для нахождения элегантных решений, недостаточно знать/понять технические детали, главное - понять суть. Валерий это выразил научным термином 'инвариант'. Как-то так 🙂. P.S.: я вот совсем не педагог, но мне кажется что такого рода задачи ценны именно в 'методологическом' плане - учат школьников пониманию, а не просто и не столько чисто техническому решению задач. Имхо, это был один из сильнейших аспектов 'совкового' средне-школьного образования (по кр.мере, в естеств.науках), мир праху его, к большому сожалению.

Искомая площадь: AB^2/2+BCxCD/2. Выразим AB^2 через BC и CD. AB^2/2=BD^2/4, BC^2+CD^2=BD^2. Тогда площадь равна (BC^2+CD^2)4 + BCxCD/2, складываем и получаем (BC^2 + 2BCxCD + CD^2)/4, заметим, что выражение в скобках это квадрат суммы, тогда ((BC+CD)^2)/4 или 114/4=36

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Думаю, что это самое лучшее алгебраическое решение.

@user-jd3ft8wt5r

Жыл бұрын

@@GeometriaValeriyKazakov я только что решил точно так.

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

@@user-jd3ft8wt5r Единомыслие!

Этот четырёхугольник и ещё три, полученные и него поворотом вокруг A на 90, 180 и 270 градусов, вместе образуют квадрат со стороной 12. Площадь тогда равна 12^2/4=36.

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Спасибо за комментарий.

обожаю красивые задачи по геометрии

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Спасибо. И я тоже обожаю.

Для себя понял, что застрял 8-9 классе, потому как решил именно таким способом. Спасибо за интересный разбор.

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

И Вам спасибо!

Есть еще 1 вариант решения через оценку выражений. Выражаем диагональ BD по теореме Пифагора 2 раза приняв АВ=АD=x и выразив площадь ABCD через нее. В итоге получим BC=6+/-(x2-36) 1/2. и x=6, а площадь АBCD тогда 36.

@user-ko7wt8fn2k

Жыл бұрын

Это и есть то, как решить устно.

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Да. Это хорошее алгебрическое расуждение. Спасибо. См. "Вишенка на торте".

Браво! а я не решил! не нашёл что и куда повернуть, дорисовать, но предположил, что 12 делим на 2 и получаем 36, но это так получилось в следствие паники и стыда

@GeometriaValeriyKazakov

2 ай бұрын

Спасибо.

Я сперва решил алгебраически (через x) (8 класс). Только скобки нигде не раскрывал, поэтому получил в последней дроби в числителе полный квадрат, где у меня x благополучно сократился. А получив квадрат половины от 12, понял, что можно провести перпендикуляры из A на стороны BC и CD, и получить равновеликий четырёхугольнику квадрат со стороной 6 (способ похож на приведённый для 1-7 класса, но рассуждения чуток проще). Правда в первом классе ещё не знают о перпендикулярах. Решения с разрезанием по AC не заметил. Замечание: когда в геометрии говорят о равенстве фигур, то имеется в виду равенство их величин, т.е. площадей, а не конгруэнтность.

@GeometriaValeriyKazakov

2 ай бұрын

Спасибо.

Древние геометры очень радовались, когда сложная задача превращалась в результате в простую красивую фигуру, потому способ №2 может иметь очень древнюю историю.

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Согласен. Спасибо.

Автор М О Л О Д Е Ц ))) Когда решал за 8-9 классы, то сказал, что они наверное ещё не могут выполнять повороты и решил алгебраически! А когда стал решать за 1-7 классы, то решил с помощью поворота. 😂

@GeometriaValeriyKazakov

6 күн бұрын

Спасибо.

Все точки лежат на одной окружности с диаметром BD. У четырехугольника есть два интересных частных случая: 1. ВС=0, и тогда это равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 12, площадь 36 2. ABCD - квадрат со стороной 6, площадь 36

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Спасибо. Интересное рассуждение. Смотрите последний ролик "Вишенка на торте"

@242ra

Жыл бұрын

я также решил, по моему это самое корректное решение, что ВС может быть в диапазоне от 0 до 6.

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

@@242ra Спасибо. Да, про диапазон верно. А дальше что?

@user-gyma

3 ай бұрын

Ну и... в промежутке между 1) и 2) пока ВС принимает значения от 6 до ноля, отрезки АВ и АД будут принимать значения от 6 до 8,48. производя площади бесконечного количества четырехугольников равними 36.

AD = AB = x, ВС =а, CD = b. a+b = 14, квадрат (a+b) = 144, удвоенный квадрат х = cумме квадратов a и b (теорема Пифагора). Следовательно сумма квадрата х и произведения a и b = 72, а следовательно площадь четырёхугольника - 36.

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Привет, однофамилька! Извините, что раньше не заметил. Рад вас видеть на канале.

@silenthunter9239

Жыл бұрын

А разве сумма квадратов чисел равна квадрату суммы этих чисел?🤔🤔🤔🤔🤔🤔

@user-jm8kf4vk9f

Жыл бұрын

@@silenthunter9239 нет не равна. Квадрат суммы равен сумме квадратов а и b плюс удвоенное прозведение а на b. Но сумму квадратов а и b в этом равенстве можно заменить удвоенным квадратом х. По теореме Пифагора. Два прямоугольных треугольника имеют общую гипотенузу BD, а значит, суммы квадратов их катетов равны.

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

@@user-jm8kf4vk9f Спасибо, Тамара!

Гениально блогодарю

@GeometriaValeriyKazakov

9 ай бұрын

Спасибо!

@GeometriaValeriyKazakov

9 ай бұрын

kzread.info/dash/bejne/nYCjqJprlKbXns4.html

Чтобы "отшить" любителей частных случаев можно ввести дополнительное бессмысленное условие. Назначить углу АВС значение, с минутами и секундами.

@GeometriaValeriyKazakov

10 ай бұрын

Ну, да можно. Только смотреть не будут. kzread.info/dash/bejne/lWGpzKeGqLaZmZc.html

ВД- диагональ квадрата, сумма двух сторон по условию 12. Тоесть одна сторона 6. Площадь 36. Просто два угла в 90 градусов и общая гипоненуза ВД говорят о том, что площади двух треугольников равны. Равностороннесть АВ и АД с гипотенузой(диагональю квадрата,который мы представляем мысленно авсд ) говорит о том, что ав+ ад равно 12...можно более развернуто с доказательствами, но вроде это и так видно...как бы тянем угол С (прямой) до построения квадрата. Диагональ на месте, сумма сторон известна

@user-gyma

3 ай бұрын

"ВД- диагональ квадрата, сумма двух сторон по условию 12. Тоесть одна сторона 6. Площадь 36. " Как может быть "она сторона 12/2=6", если видно, что катеты прямоугольного треугольника BCD - Не Равны. Равенство АС = СД (из условия задачи) вовсе не означает, что их сумма равна 12. Их сумма в любом случае будет БОЛЬШЕ, чем ВС+СД.

Дело в том, что BC и CD мы можем выбрать произвольно не нарушая условие задачи. В этом легко убедиться, вписав 4 -угольник в окружность: BC совпадет с ее диаметром. Например, можем взять BC =CD = 6. Тогда получаем квадрат со стороною 6. Ответ - 6х6=36. Или, если хотим, BC =0, CD =12. Тогда 4-угольник превращается в прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой 12 и высотой 6. Площадь , соответственно, та же: 12х6:2=36. Вот и все...

@GeometriaValeriyKazakov

3 ай бұрын

А кто разрешил выбирать? Нарушение.

@GeometriaValeriyKazakov

3 ай бұрын

Смотрите послений ролик Говорят ответ 8 не настоящий!

@user-sm4ke1yj4y

3 ай бұрын

А какое условие задачи я не выполнил? Я думаю, сам автор не осознал суть задачи. Правильное условие звучало бы так: доказать, что площадь 4-угольника не зависит от AB. Сама же площадь вычисляется, как я показал, элементарно. @@GeometriaValeriyKazakov

@GeometriaValeriyKazakov

3 ай бұрын

Посмотрите, может поможет kzread.info/dash/bejne/daGqldGnhMvRg7g.htmlsi=qb0fw5Zosfnhl_ny@@user-sm4ke1yj4y

можно решить много проще. Из условия понятно, что любой 4-хугольник, соответствующий условию имеет одинаковую площадь. Значит можно взять 4-хугольник у которого ВС=СD=6. поскольку у треугольников общая диагональ, а треугольник BCD равнобедренный, с прямым углом, то АВСD - это квадрат со стороной 6 см. Соответственно площадь - 36

@GeometriaValeriyKazakov

8 ай бұрын

Из условия это никак не следует. Это вы додумываете условие. В конце-концов так и получилось. Но математическая задача в том, чтобы это как раз доказать!

самый простой алгебраический. площаь квадрата - квадрат диагонали на 2 деленный. значит треугольника BAD - деленый на 4. площадь прямоугольного тр-ка - полупроизведение катетов. возводим условие в кадрат делим на 2 и получаем ответ

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Спасибо. Алгебраический способ хорош. И если бы я его дал, то не было бы половины комментариев. Какой я предусмотрительный!

ДиагональВД является общей гипотенузой для двух прямоугольных треугольников АВД и ВСД. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов АС**2+СД**2=2АВ**2. Отсюда:АВ**2=(ВС**2+СД**2)/2. Площадь фигуры состоит из суммы площадей двух прямоугольных треугольников АВД и ВСД : S=(АВ**2)/2 + (ВС*СД)/2 = (ВС**2+СД**2)/(2*2) + (ВС*СД)/2 = (ВС**2+СД**2 + 2*ВС*СД) /4 = (ВС+СД)**2/4 = 12**2/4 = 144/4 = 36

@GeometriaValeriyKazakov

11 ай бұрын

Спасибо за подрбное алгебраическое решение.

1. Ни чего не мешает рассмотреть частный случай, когда ВС=0. Получаем треугольник АВD, BD=12. Опускаем высоту на ВD. Получаем два прямоугольных треугольника с катетами по 6. Sabcd=6*6/2*2=36 2. Другой частный случай BC=CD=6. Т.е. получаем квадрат со стороной 6. Sabcd=6*6=36. Два решения с одинаковыми ответами. Тривиально. А вот доказать, что площадь во всех случаях неизменна - сложнее.

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Спасибо. А что позволяет рассмотреть частный случай? Давайте найдем площадь параллелограмма со сторонами 6 и 8. Рассмотрим его частый случай - прямоугольник. Получим 6х8 = 48. Верно, что ли?

@AGIBNN

Жыл бұрын

@@GeometriaValeriyKazakov , из условия задачи следует, что площадь фигуры неизменна при любых BC и CD с ограничением, что их сумма равна 12. Отсюда решение любого частного случая покажет единственно верный ответ.

Диагональ BD даст по Пифагору в BCD 2AB^2=BC^2+CD^2; Тогда Sabcd=(AB^2+BCxCD)/2; Возведем в квадрат 144=BC^2+CD^2+2xBCxCD и подставим 144/2=AB^2+BCxCD; Тогда Sabcd=(AB^2+BCxCD)/2=144/4=36

@GeometriaValeriyKazakov

9 ай бұрын

kzread.info/dash/bejne/X4mbtbynppWsZMo.html

x+y=12 Area=xy/2 Diagonal=√{xx+yy} Area of left side triangle=aa/2 Total area=xy/2+aa/2 √2a=√{xx+yy} 2aa=xx+yy 2aa+2xy={x+y}^2=12^2=144 Dividing by 4 we get a^2/2+xy/2=144/4=36

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Super!

Можно провести диагональ BD. Получим один равнобедренный треугольник, у второго прямоугольного сумма какие-то равна 12. Используем формулу сокращённого умножения суммы в квадрате. Раскрываем и получаем суммы площадей этих треугольникков , умноженных на 4. Ответ 36

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Да. Это хорошее алгберическое решенние. Смотрите последний ролик "Вишенка на торте".

Спасибо. все варианты решения понравились, 7 класс всё-таки более красивый.

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Спасибо. Нужно все способы. Ведь мы тренируемся решать разные задачи.

Напрашивается возвести в квадрат заданную сумму: 144=(BC+CD)в квадрате. Здесь будут содержаться: 1) площадь треугольника BCD и 2) квадрат диагонали BD, содержащий площадь треугольника BAD.

@user-xq7rh8gq7q

Жыл бұрын

Уточняю. 4 площади треугольника BCD=2BC*CD и 4 площади треугольника ABD=(BC*2+CD*2) =BD*2=2AB*2. Ответ 144:4=36.

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Да. Это хорошее алгебрическое расуждение. Спасибо. См. "Вишенка на торте".

4 таких прямоугольника складываются в квадрат со стороной 12, площадь которого будет 144, значит площадь АБСД 144/4=36. Просто поворотом на 90 относительно точки А.

@GeometriaValeriyKazakov

7 ай бұрын

Вашу мысль понял. Да, вы правы. Только 4-ка (оговорочка). Это известное рабиение квадрата. В молодец, если сами придумали!

Скоростное нестрогое решение без бумажки, алгебры и построений, методом взлома условия задачи: Никто не сказал, что BC не равно CD. Если BC=CD, то перед нами квадрат со стороной 12/2=6 и площадью 6х6=36 Если решение существует, то оно - 36. Никто не сказал, что BC не равно нулю. Тогда перед нами равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 12, и, соответственно, площадью 36. Если бы в формулу площади полученной фигуры как-то входило отношение CD к BC, то в крайней точке решения бы не было из-за деления на ноль, а оно есть, и равно решению в средней точке. Следовательно, отношение CD к BC в формулу площади фигуры не входит, а значит как бы CD к BC не относились, площадь всегда будет одинаковой, и равна 36.

Проводим В-D. На серидине В-D лежит центр окружности проходящей проходящей через А В С и D. Отсюда АВ+СD = DC + СВ =12. Так как АВ=СD то АВ= 6 . Дальше 6*6=36

@GeometriaValeriyKazakov

2 ай бұрын

Отлично.

@user-gu8sy3wr6r

2 ай бұрын

@@GeometriaValeriyKazakov только треугольник ВСD МЕНЬШЕ треугольника АВD. так как только равнобедренный треугольник будет иметь максимальную площадь. А все не равнобедренные будут меньше. Отсюда: площадь АВСD меньше 36.

@GeometriaValeriyKazakov

2 ай бұрын

Согласен.@@user-gu8sy3wr6r

Спасибо за три способа. Для меня самый очевидный второй. Давненько не вертел фигуры. Спасибо что напомнили.

У меня решение визуальное: представляем что смотрим на кусок фанеры из под угла D, разумеется получаем искаженную плоскость. Выравниваемся, смотрим фронтально, видим квадрат со стороной 6; = 36

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Это гениальнрое проектвное рассуждение! Прям как у Я. Штейнера. Спасибо.

(ВС+СД) в квадрате = 144. С другой стороны, если расписать квадрат суммы, учитывать АВ=АД , то получится (ВС+СД) в квадрате =4S. Отсюда S=144/4=36

@GeometriaValeriyKazakov

3 ай бұрын

Да, можно алгеброй. Спасибо.

Последний вариант отличный!

@GeometriaValeriyKazakov

3 ай бұрын

Согласен.

Очень интересно.

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Спасибо за оценку

В уме не получилось, решил на бумажке. :-) Забавная задачка! Записываем равенство гипотенуз, суммируем с учетверенной формулой общей площади. получаем (BC+CD)^2 = 4S

@GeometriaValeriyKazakov

4 ай бұрын

Спасибо. Извините за поздний ответ. Ютуб не показывал.

Офигенно!

@GeometriaValeriyKazakov

2 ай бұрын

Все супер! Спасибо.

Если говорим о решении действительно в одно действие в уме, то оно такое: "нам не дали углов четырёхугольника, значит от углов ответ не зависит, значит предположим, что это квадрат, сумма двух сторон 12, одна сторона 6, площадь 36." Можно проверить ещё вырожденный случай, когда ВС=0, и это треугольник с гипотенузой 12, сторона 12/√2, площадь тоже 36

@GeometriaValeriyKazakov

2 ай бұрын

Никак это не значит, а вдруг зависит, а вдруг 3 ответа разных и т.д. Вообже нужно "доказать, что при данных задачи площадь всегда одна и та же и найти ее"

@paulanderson5704

2 ай бұрын

@@GeometriaValeriyKazakov Естественно, нужно доказать. Но вопрос стоял - "найти площадь за одно действие в уме". И реально это сделать в уме только так. А потом уже, зная ответ, это может натолкнуть мысль и на методы доказательства.

@GeometriaValeriyKazakov

2 ай бұрын

Да, можно и так, если срочно требуется ответ. Но здесь речь идет о правильном математичском решении, олимпиадном. К вам никаких вопросов. Спасибо.@@paulanderson5704

Моё решение выглядит (для меня) проще, чем продемонстрированные, хотя решить задачу устно не получилось. Если обозначить длины сторон четырёхугольника буквами a, b, c, d (от соответствующего угла по часовой стрелке, напр., a = AB, ... , d = DA), то, по условию, a = d и b + c = 12. Искомая площадь равна сумме площадей треугольников ABD и BCD, то есть S = ad/2 + bc/2. По теореме Пифагора, a² + d² = BD² = b² + c². Приводя выражение слева к квадрату разности, а справа - к квадрату суммы, получим: (a - d)² + 2ad = (b + c)² - 2bc. Поскольку a - d = 0, отсюда получается 2ad + 2bc = (b + c)² = 12² = 144. Наконец, S = ad/2 + bc/2 = (2ad + 2bc) / 4 = 144 / 4 = 36. Решение, вероятно, эквивалентно предложенному автором для 8-9 классов, но по мне, повторюсь, смотрится полегче

@GeometriaValeriyKazakov

2 ай бұрын

Спасибо.

Самое простое решение без построений и доказательств: если есть такая задача, значит при любом соотношении BC к CD результат будет одинаковый. Поэтому выбираем BC=CD=12/2=6. Имеем квадрат со стороной 6, т.е. площадь - 36!

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Да, это гипотеза про инвариант. Но его, к сожалению, нелобходимо доказывать на олимпиаде. Если это тестовая задача без решения, то это великолепное рассуждение!

дошкольник: BC+CD=12. В частном случае BC=CD=6. четырехугольник вырождается в квадрат. S=6x6=36

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Спасибо, что смотрите нас.

если во втором решении не вводить х, то станет проще. 12^2 = (BC+CD)^2 = BC^2+CD^2 + 2*BC*CD = BD^2 + 2*BC*CD = AB^2 + AD^2 + 2*BC*CD = 2*AB*AD + 2*BC*CD = 4*S_{ABD} + 4 * S_{BCD} = 4S. Отсюда S = 12^2/4 = (12/2)^2 = 36.

@GeometriaValeriyKazakov

3 ай бұрын

Спасибо.

Как найти площадь? Есть несколько решений этой задачи: 1 - Открыть Google Maps говорят что он знает всё.. 2 - Спросить у прохожих.. 3 - Вызвать такси, он довезёт (но это не точно 😂)

@GeometriaValeriyKazakov

3 ай бұрын

ОТл. Дневник на стол

А что если ещё проще: если сумма катетов прям.треугольника постоянна, то и гипотенуза постоянна, поэтому для простоты берем катеты 6 + 6. Второй треугольник автоматически такой же, и площадь равна 6×6=36. А гипотенуза постоянна, т.к. все прям. треугольники с постоянной суммой это такое их множество, где вершина прямого угла скользит по окружности, построенной на гипотенузе как на диаметре. ВК.

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Спасибо. К сожалению, при одной и той же сумме катетов гипотенуза разная. Из проволочки длины 24 см вы можете квадратик сделать 6Х6 (одна длина диагонали), а можете узкий длинный прямоугольник 1Х11 (у него уже будет побольше диагональ).

Важное дополнение к условию: угол ADC + - от 45 до 90

Некоторые критикуют, а мне понравилось. Именно разными способами.

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Вы бы видели этих критиков, когда они выходят с олимпиады или на аппеляции.

Еще проше: (12/2)^2=36. Потому что квадрат со стороной 6 подходит под условие задачи.

@GeometriaValeriyKazakov

9 ай бұрын

Спасибо, что смотрите нас.

@GeometriaValeriyKazakov

9 ай бұрын

kzread.info/dash/bejne/jIGCq62om9CodMo.html

Спасибо за подробный разбор. Решил 1-7 класс )). Склеил 4 равных четырёхугольника в большой квадрат со стороной ВС+СD=12.

@GeometriaValeriyKazakov

2 ай бұрын

И вам спасибо.

Решал 4 минуты. Присмотрелся к фигуре и увидел что стороны АВ и AD не равны, угол С - ни%Y"@ не прямой. Это фиаско братан. Такой фигуры не существует. Короче, два прямых угла в противоположных концах, просто подсказали мне что эта фигура - квадрат.

@GeometriaValeriyKazakov

Ай бұрын

Спасибо, бро. Такая фигура конечно существует, вы можете сами ее вырезать из бумаги.

Спасибо! Было очень интересно! Я решил вторым способом. Любил алгебру, а геометрию не очень)))

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Спасибо. Рад за вас.

Здорово!!!

@GeometriaValeriyKazakov

11 ай бұрын

Спасибо за оценку.

любопытные варианты, оказывается, я решил задачу устно методом детского сада без всяких поворотов. Нужно просто провести диагональ ВД. площадь четырехугольника равна сумме площадей двух треугольников. Несложно вычислить, что она равна четверти квадрата суммы сторон вс и сд

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Согласен, в детском саду "четверть квадрата суммы сторон bc и cd" - пустяковое дело! На самом деле, алгебраический способ хорош.

@gennadiyivanenko3826

Жыл бұрын

@@GeometriaValeriyKazakov детсадовский в смысле краткости и простоты. Весь фокус в том, что площади треугольников не нужно искать отдельно. Думаю, авторы задачи имели в виду такое решение, а не длинный алгебраический способ, хотя разнообразие способов интересно само по себе

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

@@gennadiyivanenko3826 Спасибо за ваше мнение. Это задача очень древняя. На ближайшей олимпиаде составители как раз решали поворотом. Можно просто сдалать разбиение и переместить треугольник. Но алгебрический способ принципиально интересен из-за инварианта: возведение a+b=12 в квадрат приводит к короткому способу, т.к. 2ab - это 4 площади верхнего тр-ка, а a^2+b^2=d^2 - это 4 площади нижнего треугольника. 144:4=36. Все!

По рисунку видно, что АВ=АD. Следовстельно BC=CD. Все стороны по 6 см.S=36 кв.см.

Пусть S - искомая площадь, S1 - площадь треугольника ABD, а S2 - площадь треугольника BCD. S1 - площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, поэтому квадрат гипотенузы равен учетверённой площади (AB²+AD²=BD², BD²=2AB²= 4AB×AD/2 = 4S1). Площадь S2=BC×CD/2. Запишем (BC+CD)²= BC²+CD²+2BC×CD = BD² + 4×S2 =12²=144 4×S2 = 144 - BD² 4S = 4S1+4S2 = BD² + 144 - BD² = 144 S = 144/4=36

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Спасибо. Это хорошее алгбераическое решение. См. "Вишенка на торте".

Супер Всё способы хороши Но особенно понравился 3 способ

@GeometriaValeriyKazakov

4 ай бұрын

Спасибо.

Вот решение покруче, от детсада: - раз дана только сумма, значит ответ от соотношения сторон не зависит, тогда считаем ВС=0 - получаем равнобедренный треугольник с гипотенузой 12, площадь его 36

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Предельный переход возможен. Но на олимпиаде нужно доказывать инвариантность. Спасибо, что смотрите нас.

Забавно, что этому условию - ВСД=12 - соответствует бесчисленное множество четырёхугольников. Я даже подумал, что это какая-то ловушка. Но все эти четырёхугольники имеют площадь равную 36-ти. Например, если ВС=0 и СД=12, тогда у нас просто прямоугольный треугольник АВД с катетом 12 и его площадь =36. Если же ВС=СД=6, то у нас получится квадрат со стороной =6 - пртивоположные углы прямые и стороны равны. Уже интересно, что крайние значения дают тот же результат. Можно подставить ВС=4 и СД=8, или ВС=5 и СД=7, всегда получается 36.

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Да. Вы абсолютно правы. Хотя окончательно такое утверждение можно сделать после решения.

Искомая площадь стремится от 30 к 18, т. к. вокруг этого четырехугольника можно описать один лишь круг, где 12 м. б суммой бесконечного количества катетов, а о АВ и Ад нам известно лишь, что они равны

@GeometriaValeriyKazakov

10 ай бұрын

Спасибо, что смотрите нас. Надеемся наши решения вам понятны?!

@user-gyma

3 ай бұрын

"вокруг этого четырехугольника можно описать один лишь круг, где 12 м.б. суммой бесконечного количества катетов" Если существует бесконечное количество комбинаций треугольников, где ВС+СД=12, значит существует и бесконечное количество конфигураций четырехугольника. И площадь всех их будет ровно 36, и ни граммом меньше. (Главное, выдерживайте равенство АВ = АД ).

Давно так не смеялся над своими понтами. Сразу понял, что простейшее решение--через диагональ ВД. Но решил пойти оригинальным путем--через медианы АО и СО(радиусы). S=abc/4R. Сравнил оба решения--прослезился: те же формулы, только расчеты в 3 раза длиннее. Вспомнился анекдот про чукчу из "Поля чудес"--угадал все буквы за 1 минуту, сумел прочитать слово за 10минут.

@GeometriaValeriyKazakov

9 ай бұрын

Задачи - способ повеселиться!

А можно вообще очень просто сделать. По формуле Пифагора, так как BD будет общей гипотенузой для ABD и CBD, то AB²+AD²=BC²+CD², а также нам известно что AB=AD, то есть ABD равнобедренный, и если BCD сделать тоже равнобедренным, то получаем квадрат. Соответственно 6*6=36. Предчувствую кучу комментариев что так делать нельзя, отвечу оба треугольника имеют общую гипотенузу, которая в свою очередь является центром окружности, в которую вписаны оба треугольника, и какое ни было бы соотношение сторон ВС и СD, будет меняться радиус окружности но не сумма площадей этих треугольников, и отсюда же AB=AD>=6

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Спасибо. Это хорошее алгебраическое решение. См. рлик "Вишенка на торте"!

Итак, у нас BCD - прямоугольный треугольник с заданной суммой катетов; на его гипотенузе построен равнобедренный прямоугольный треугольник ABD. Иных условий задача не накладывает. Очевидно, что равнобедренный ПрТр ABD может быть построен всегда, независимо от величины гипотенузы. Очевидно также, что раз на ПрТр BCD никаких иных условий не накладывается - следовательно площадь всей фигуры будет одинаковой независимо от его конфигурации - иначе бы задача единственного решения не имела и собственно не была бы задана. А раз так - то нам достаточно вычислить площадь для одного, удобного треугольника. И таковым очевидно является равнобедренный треугольник - в этом случае мы имеем два равнобедренных ПрТр с общей гипотенузой, то бишь - квадрат. Ну а далее - тривиально. Единственный минус в решении - оно "не совсем математическое".

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Спасибо. Это всего лишь ваше допущение. Да, в тестовой задаче вы можете так рассуждать и даже так лучше рассуждать. Но в письменной задаче такой ответ не зачтут.

@_ProstoTak

Жыл бұрын

@@GeometriaValeriyKazakov Ну я ж сказал - "не совсем математическое". Однако для получения ответа - вполне годится, а для строгого решения подсказывает направление: из "че тут вообще делать?" задача превращается в "надо сделать квадрат" с напрашивающимся "отрезать "нос" и воткнуть его вон туда". Т.е то что у вас если не ошибаюсь для 7 класса, только с обратным заходом (от ответа).

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

@@_ProstoTak Да. Точно так.

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

@@_ProstoTak Для получения ответа - да.

Строим BD как общую гипотенузу. Потом возводим в квадрат известную сумму катетов (BC+CD)^2=(BC^2+CD^2+2BC*CD)=144 . Она оказывается равной учетверённой площади малого треугольника (2BC*CD=4Sbcd) и квадрату общей гипотенузы (BC^2+CD^2=BD^2). Но BD^2=AB^2+AD^2=2AD*AB=4Sabd. Таким образом (BC+CD)^2= 4Sbcd+4Sabd=4Sabcd=12^2=144. Осталось разделить 144 на 4 и радоваться.

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Да, это карсивый алгебраический способ решения. См. похожий последний мой ролик, там я его применил.

Тут ещё проще решение. BD это диаметр окружности в который вписана эта трапеция. Поскольку треугольник BCD опирается на диаметр окружности то точка С может лежать на любом ее участке между точками B и D, не противореча условиям задачи. В том числе и совпадать с этими точками в пределе. В этом случае диаметр окружности будет равен 12 см. А площадь трапеции или уже треугольника будет равна четверти от 12 в квадрате т е. 36 см. Задача решается устно без всяких построений.

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Спасибо. Отличная идея.

А ещё можно заявить, что условия задачи с нефиксированной геометрией! То есть, что при постоянной сумме ВС+СД=12 диаметр описанной окружности Ф=ВД является переменным значением. При этом справедливо решение в вырожденной задаче при слипании точек В и С, когда у треугольника АБД гипотенуза БД=12 Откуда следует, что площадь треугольника равна 36 При любых трансформациях фигуры в четырёхугольник в границах условий и вся фигура будет равна 36

@user-lz3pp3vi9d

Жыл бұрын

ВЫ правы, если точно знаете, что однозначное решение существует. Но, как правило, это не так.

@user-yc3fv4wt1y

Жыл бұрын

@@user-lz3pp3vi9d , так я и говорю, что здесь нет однозначного решения в графическом виде, но площадь одинакова в широком диапазоне сдвига картинки, включая предельные крайние случаи: Треугольник и квадрат.

@user-lz3pp3vi9d

Жыл бұрын

@@user-yc3fv4wt1y Но если вы этим пользуетесь, то должны доказать!

@user-yc3fv4wt1y

Жыл бұрын

@@user-lz3pp3vi9d , а вот тут не совсем верно! Это две разные задачи! 1. доказать, что подвижное неоднозначное геометрическое условие даёт одинаковый результат по площади. 2. посчитать требуемую площадь. Я посчитал предельный случай по 2-му вопросу, а вот 1-й вопрос ЗАЯВИЛИ при постановке задачи сами авторы...))

@user-lz3pp3vi9d

Жыл бұрын

@@user-yc3fv4wt1y Вы та-акой доверчивый!

Добрый день Валерий! Еще вариант решения. Если присмотреться то из условия и рисунка видно что треугольник ВСD можно по разному нарисовать исходя из условия, не противоречив условию. так есть частный случай когда Сторона ВС равна сторона СD, тогда ВС = СD=АВ=АD - АВСD тогда станет квадратом и площадь равна 6*6=36. если допустить что при другом соотношении сторон ВС и СD площадь изменится тогда не корректно само условие задачи и она не имеет ответа. Для проверки можно посмотреть еще один случай когда длина стороны ВС или СD стремится к нулю, другой стороны к 12 тогда площадь АБСD при этом стремится к площади равнобедренного прямоугольного треугольника с диагональю 12 и равна 12*6/2 = 36. То есть снова 36, два случая с максимальной и минимальной площадью ВСD и длиной ВD дают 36.

@GeometriaValeriyKazakov

4 ай бұрын

Отлично.

@user-gyma

3 ай бұрын

"если допустить что при другом соотношении сторон ВС и СD площадь изменится тогда не корректно само условие задачи и она не имеет ответа" Главное, это *допускать любое соотношение* между длинами ВС и СД, *которое не противоречит начальному условию* - сумма их длин равна 12. Таких соотношений имеется бесконечное множество. И для всех комбинаций площадь четырехугольника будет равна 36.

Решил в уме за 1.5 минуты. Проводим диагональ BD, получаем 2 равных по площади прямоугольных треугольника ABD и BCD с общей гипотенузой. Соответственно AB+AD=BC+CD, а оно уже известно 12. В итоге AB*AD = 36.

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

С какой стати равных по площади? Это не обязательно.

@Igor_Lena

Жыл бұрын

@@GeometriaValeriyKazakov Виноват. Увидел ошибку. Видимо мысленно поиграл в тетрис быстрее, чем смог сформулировать мысль )) Прямо как в старом анекдоте про алкоголика и два по 0,25

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

@@Igor_Lena Ок

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Игорь, не могу ответить на вопрос "как вы считает", так как ваш вопроос где-то прячется в ленте комментов. У меня 200 рлликов и доругие, поверьте, не хуже! Желаю при ятного просмотра.

Как же интересна геометрия. Почему я пришел к этому выводу только в 33года? Она имеет гораздо больше отношения к творчеству чем я считал ранее. Удивительно

@GeometriaValeriyKazakov

11 ай бұрын

Да, это так. Вы абсолютно правы.

@maxgladkikh2326

9 ай бұрын

Она ещё и полезна) Я Вас старше на 25, все признаки раннего маразма налицо. Пытаясь оттянуть, впал в школьную геометрию в том числе, и оказалось, что с тех пор она как-то ухитрилась стать намного интересней)

@GeometriaValeriyKazakov

9 ай бұрын

@@maxgladkikh2326 Спасибо. Бывших не бывает

Задача имеет бесконечное множество решений. Проведем диагональ ВД и разделим ее пополам. Это будет центр окружности. Проведем окружность, которая пройдет через точки А,В,С,Д. С левым треугольником все ясно и однозначно. А вот с правым однозначности нет. Точка С может лежать на любой точке правой полуокружности. В зависимости от положения точки С будет изменяться и длина гипотенузы/диаметра ВД.При ВС=1 и СД=11 гипотенуза ВД будет равна корню квадратному из 122? Стороны левого треугольника не будут равны 6. Но исходя из некорректных условий задачи мы должны взять нитку длиной 12 и построить произвольный прямоугольный треугольник, коих можно построить множество. Гипотенуза ВД при этом будет изменяться в зависимости от соотношения катетов. Затем от полученных точек В и Д легко строим левый равнобедренный прямоугольный треугольник, длина катетов которого тоже будет изменяться в зависимости от соотношения катетов правого треугольника. Именно поэтому задача имеет бесконечное множество решений.

@user-uj1kw8cf8u

Жыл бұрын

Вы всё верно расписали, и применяя математический аппарат выражаем гипотенузу ВД из одного треугольника АВД и второго ВСД получим соотношение между катетами обоих треугольников. а именно 2 * а^2 = x^2 + (12-x)^2. Отсюда а^2 = x^2 - 12*x + 72. А теперь площадь четырёхугольника равна сумме площадей АВД и ВСД. Площадь АВД = а^2/2; Площадь ВСД = (х * (12-х)/2 и а^2/2 + (x*(12-x)/2= 1/2 * (х^2 - 12x+72 +12x-x^2)=72/2 = 36. ЧТД.

@victorbazhkov6733

Жыл бұрын

красивая геометрия - но почему-то у меня не работает - эмпирически а не аналитически. Провел построения в автокаде левый треугольник стороны 6 на 6 из центра диагонали описал окружность через три угла четвертый угол С начал произвольно располагать на полуокружности. угол не измерял - но визуально прямой (давно уже не нырел в геометрию - возможно есть какая-то теорема про этот угол хорды и радиус/диаметр) но на выходе почему-то сумма длин сторон BC+CD оказывалась не равной (не постоянно) и только вырожденный случай квадрата приводил к решению т.е. в вашем построении плывет сумма длин - по мере движения по окружности, она стремиться к длине диагонали (предельный случай) и становиться меньше условных 12 итого, эмпирически правильная картинка для задачи - квадрат?

@sasevastopol7257

Жыл бұрын

@@victorbazhkov6733 нет, автор все-таки прав. Рассмотрим два предельных случая. Первый: ВС=СД=6. Тут все понятно, квадрат. Второй случай интересней. Возьмем ВС стремящуюся к 0, а СД стремящуюся к 12. Тогда в пределе получаем равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой равной 12. Значит два квадрата катетов равны 144. Значит катет равен корень из 72, а полусумма их произведения равна 72/2=36. Ч.т.д.

@victorbazhkov6733

Жыл бұрын

@@sasevastopol7257 да, я уже разобрался для каждого левого равнобедренного треугольника есть два правых не равнобедренных треугольника (зеркальных)...которые дают нужный результат. а для каждого - значит таких фигур бесконечное множество. но для конкретного квадрата/окружности из центра гипотенузы - имеется только два решения - зеркальных треугольника.

Мне 67 лет, смотрел с интересом. Треугольник моя любимая фигура со школы, а дальше, став геодезистом, вычислял координаты методом триангуляции. Гениальность в простоте, потому последний вариант самый красивый. Спасибо!

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Спасибо, что смотрите наш канал.