Математический анализ 010 Предел монотонной последовательности Теорема Вейерштрасса Мини-курс для старшеклассников и студентов "Предел последовательности": foxford.ru/courses/1008/landing?ref=p308_yt&

@trushinbv

5 жыл бұрын

@Dobret Reinhard, теперь уже доступен )

Урааа, миллион видео с этими последовательностями, и я наконец-то осознал, как это доказывается) Спасибо Вам большое

Это конечно гениально! Не ну я с такой концепцией никогда не сталкивался ничего подобного в жизни не видел. Это гениально конечно.

@patsyparisi9528

2 жыл бұрын

Этому по-любому есть какое-то объяснение, какая-нибудь научная статья есть об этом.

готовлюсь к экзаменам по математике в Карловом университете, смотря Бориса Трушина, и радуюсь жизни (поступила, смотря видео Бориса Трушина)

@airatakhmadullin5851

2 жыл бұрын

Я тоже и твой комментарий вышел мне первым, я в шоке с такого совпадения

@yaroslava6111

Жыл бұрын

я не в Карловом, конечно, но тоже из чешского сквада. Нас всех только русские математики и спасают))

@spinnofferr

Жыл бұрын

О чем это говорит?) О том что чешское образование объективно г*вно.

@evanovakova7748

Жыл бұрын

@@spinnofferr ПХАХАП объективненько) в Чехии в любом случае перспективнее учиться, так что не переживай

@spinnofferr

Жыл бұрын

@@evanovakova7748 я и не переживаю) Просто не понимаю людей которые уезжают учиться в другую далеко не самую лучшую для учёбы страну с какими-то размытыми понятиями перспективности. Вуз не самый плохой, но даже тот же МГУ и СПбГУ будут гораздо полезнее и лучше в плане знаний, тем более если чешский для тебя не родной (хотя тут хз для твоего случая родной он или нет). Я бы понял если бы ты училась в топовом ВУЗе условно Великобритании или Германии. Их образовательные программы действительно могут уделать Российские, но не Чешские.

Добрый день, Борис! Спасибо Вам огромное за Вашу работу, за интересно, грамотно и понятно построенные объяснения, за возможность с Вашей помощью сохранять работоспособность и продолжать учиться! Спасибо!

Теперь понятно откуда взялся признак Даламбера для сходимости ряда) Спасибо, Борис!

Великий учитель. Спасибо за такую помощь перед первым курсом фивта.)

Ура 🙌 Новое видео от любимого ютубера

Можно было в конце не ссылаться на экспоненту , а сказать даже , что по неравенству Берунлли (1+1/n)^n точно >=2 , а тогда мы делим 1 на число больше двух и получаем точно не единичку , вот и противоречие без условностей

Очень приятно Спасибо большое И привет С Кыргызстана 🇰🇬

Изучая Big O Notation, как-то интуитивно пытался понимать, какие функции быстрее растут. Теперь все стало ясно. Спасибо!

@thisisthemansworld8704

4 жыл бұрын

О символика?

Спасибо за подробное объяснение мат.анализа!

Я бы назвал последовательность неубывающей

Спасибо большое. Желаю успеха

Довольно красивый факт, что на бесконечности последнее отношение x(n+1)/x(n) составляет 1/e

А теорему Штольца тут использовать будет удобнее или нет? Видео, как и его ведущий, доходчивое, лаконичное, хорошо обоснованно. Борис Викторович, вы, как обычно, на высоте.

Финал видео покруче чем финал мстителей

видео выходят не раз в неделю! Это говорит вам человек из 2024! в факториале))

Какие же велике люди в математике имеют немецкое наследие).

Очень хочется увидеть следующее видео про e

Спасибо!

Обожаю матан

гениально!

Ура, пределы. Мат анализ

спасибо за видео

НАКОНЕЦ ТО КТО ТО НОРМАЛЬНО ДОКАЖЕТ 2ОЙ ПРЕДЕЛ,ОЧЕНЬ ЖДУ)

@AngryBro

5 жыл бұрын

А что в нём надо доказывать?

Жаль нельзя с одного аккаунта вам 1000^1000 лукосов поставить

@prinimaushaya_storona

5 жыл бұрын

можешь, но это будет тоже самое, что и ничего)

@bluepen2637

3 жыл бұрын

@@prinimaushaya_storona чётное число лукасов=ничего)

При доказательстве сходимости монотонной ограниченной последовательности мы заявили, что у неё есть верхняя граница. Технически-говоря, это неочевидно. Я бы явно упомянул эту теорему, которую мы доказали в Матан #002.

Здарвствуйте Борис, меня зовут Тимур и я учусь на факультете прикладной математики. Все те пределы, которые вы нам объясняли с помощью критерия огрантченночти и монотонности нам нужно было доказать без этого критерия(спомощью неравенств). У меня получились очень даже элегантные доказательства. Если вы хотите, то я могу их вам прислать. С наилучшими пожеланиями, Тимур.

@anton0xf

2 жыл бұрын

Что же остановило от публикации прямо здесь в комментах или где-то в блоге с размещением здесь ссылки? Что значит "с помощью неравенств" - не очень понятно. Тут тоже всё с помощью неравенств)

Теория пределов это краеугольный камень всего матана. Если понять как доказываются все эти теоремы Болцано-Вейрштрассе, то дальше как по маслу. Мне в свое время так и не удалось до конца постичь эту магию, а вот интегралы щелкал как орешки. 40 лет вожу с собой по разным странам трехтомник Фихтегольца, но осилить не смог именно первый том. Кстати, там теория пределов дается с сечениями Дедекинда. Немного другой подход.

Классный легенький роллик)

Ждём Тейлора

Здравствуйте Борис У Вас нет в планах сделать курс по высшей математике для студентов технических/физических вузов

@myata4677

3 жыл бұрын

+++++

здравствуйте, помогите пожалуйста понять, почему , если а является точной верхней гранью, то почему получается так, что элементы последовательности могут быть больше а? как говорится в видео х(n) принадлежит епсилон окрестности точки а. ведь элементы последовательности не должны быть больше sup.

@ievgenieris300

4 жыл бұрын

Если последовательность монотонна, то не должны быть больше. А вообще некоторые члены могут превышать, но рано или поздно все последующие члены начнуть бесконечно стремиться к пределу

Этому человеку пора ставить памятник

@user-df7uy7lb4d

Жыл бұрын

Без угроз пожалуйста.

Борис, а на 6:08 вы говорите о том, что а является пределом последовательности. А можно ли утверждать что односторонним пределом? ведь если а - супремум, то за ним членов этой последовательности быть не должно, следовательно, последовательность стремится к а с одной стороны.

@anton0xf

2 жыл бұрын

Нельзя. Вы всё перепутали. Существование одностороннего предела в точке ( ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB ) - это свойство вещественнозначной функции (т.е. определённой на R), а не последовательности (т.е. функции определённой на N), и является модификацией понятия предела вещественнозначной функции в точке. К тому же про односторонний предел говорят, когда к некоторому значению с одно стороны приближается аргумент функции, а не её значение. В некотором смысле предел последовательности при стремлении n к бесконечности - это всегда односторонний предел, т.к. аргумент (n) стремится к предельной точке (к бесконечности) только с одной стороны (слева), т.к. ничего правее плюс бесконечности в "R с чертой" нет

Подскажите пожалуйста почему нельзя считать предел (1-1/n)^n=1 ведь 1/n стремится к нулю?

@erdgeschoss-bf3vc

Жыл бұрын

Предел такой последовательности не равен 1, он равен 1/е ≈ 0,37

Ничего не понятно,но интересно

Если последовательность монотонно убывает, но отношение x(n+1)/x(n) стремится к 1 при очень больших n, то предел x(n) может стремиться к числу, не равному 0. Я правильно понимаю?

@anton0xf

2 жыл бұрын

Всё верно. Например x[n] = (1/n + a). Предел, очевидно a. При этом очевидно убывает (проще рассмотреть разность x[n+1] - x[n] = -1/(n*(n+1)) < 0), а отношение x[n+1]/x[n] стремится к единице снизу

@gh-by9qj

2 жыл бұрын

@@anton0xf Спасибо.

годнота

Не разрушает ли понятие эпсилон-окресности условие супремума если она перешагнула за супремум вправо? Ведь по условию "а" это Как бы граница этой последовательности. Если Хneps принадлежит правой части окресности, то "а" не супремум.

@user-yf1zu2tg2o

3 жыл бұрын

Последовательность возрастающая же, значит и через sup не перейдёт, как я понял

@user-yf1zu2tg2o

3 жыл бұрын

Кстати, это sup ограничивает последовательность, а не наоборот. Она по условию не может через него перейти

Но вот вопрос: на всякой ли последовательности вообще можно задать отношение частичного порядка. Вот это для меня, например, совершенно не очевидно.

Топ 10 аниме битв

а есть плейлист со всеми видел по мат. анализу?

@alexiskra1180

5 жыл бұрын

Есть

Если кому интересно, то 1.01^n будет больше, чем n^1000 начиная с n = 1423969. Не считая отдельного кейса n=1, конечно же :)

@user-px9ch4fl6z

10 ай бұрын

Как искали это? Доверили нахождение компьютеру?

@A_Ivler

9 ай бұрын

Тогда чему равно 1,01^1423969?

Что то я не понял с самого начала. Если мы отступили от точки а влево на число меньше целого а а совпало с точкой где лежит какой то элемент последовательности. То между a и этим отступом не появится член последовательности, так как этот отступ не дотянется до ближайшего соседа слева, так как n у нас натуральное число.

@qBinom

5 жыл бұрын

n - целое, а члены последовательности не обязательно, причем мы же говорили о последовательностях у которых есть предел.

@alexandersedykh9280

5 жыл бұрын

@@qBinom А что тогда делает n если не определяет отступ между соседями?

@qBinom

5 жыл бұрын

@@alexandersedykh9280 порядковый номер.

@alexandersedykh9280

5 жыл бұрын

@@qBinom Спасибо. А мы можем узнать, какое будет значение у члена последовательности, порядковый номер которого на один больший или меньший от a? (то есть следующего или предыдущего)

@qBinom

5 жыл бұрын

@@alexandersedykh9280 а это предел?

БОРИИС, кажется я влюбился!!!

Снова матан)

@trushinbv

5 жыл бұрын

очень постараюсь, чтобы он выходил раз в неделю

@liroro8812

4 жыл бұрын

@@trushinbv еще еще еще еще

Борис разберите пожалуйста вот эту задачу:В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 9, а боковое ребро SA = 6. На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём AK : KB = SM : MC = 2 : 7. Плоскость α содержит прямую KM и параллельна прямой SA. а) Докажите, что плоскость α делит ребро SB в отношении 2 : 7, считая от вершины S. б) Найдите расстояние между прямыми SA и KM. Пункт б интересует очень сильно)

@nicelych

5 жыл бұрын

а) Построим сечение. Т.к. сечение || SA, то построим прямые KF и ML || SA соответственно в плоскостях SAB и SAC. KLMF - искомое сечение. В плоскости SAB прямые SA и KF параллельны, а значит по теореме Фалеса делят стороны на пропорциональные отрезки (можно из подобия треугольников SAB и KFB). Тогда AK/KB=SF/FB=2:7. Доказано. б) Проведём высоту BH в (SBA). Т.к. тр-к SBA= тр-к SCA по 3 сторонам, то CH=BH. Значит, (CBH) перпендикулярна SA. Проведём высоту HH1 в равнобедренном тр-ке HBC. Она попадёт в середину BC (как медиана). HH1 перпендикулярен BC, а значит и FM (FM || BC). Т.к. HH1 перпендикулярен SA(плоскость HBC перпендикулярна SA, значит, любая прямая этой плоскости перпендикулярна SA), FM и KF (KF || SA), поэтому он их общий перпендикуляр. Пусть HH1 пересекает плоскость сечения в точке О. Тогда ОН - искомое расстояние. Пусть BH пересекает КF в точке N, а СН пересекает ML в точке Р. Треугольник HNP подобен треугольнику HBC, исходя из подобия пар треугольников SBA~BFK и SCA~CML. Коэффициент подобия равен 2/9, т.к. k=HN/NB=HP/PC. Значит OH=2/9HH1, HH1^2=BH^2-BH1^2 по теореме Пифагора, BH найдём, например, через площадь и Герона. Площадь ABS=90*sqrt(7), BH=30*sqrt(7), HH1=3/2*sqrt(2791), OH=1/3*sqrt(2791). Вроде, так, но не уверен насчёт б). Число не очень нравится...

Разрешите вопрос по 16:20. Вот мы узнали, что в числителе число близкое к единице, которое возводиться в степень k. А точно ли результат возведения в степень k будет близким к единице? Просто такое дело, я попробовал в калькуляторе близкое к единице число возвести в очень большую степень, и результат получился гораздо больше единицы. Например, 1,00000001 ^ 1000000000 = 22026,4646...

@user-psss

5 жыл бұрын

Дело в том, что ты все равно возводишь это число в некую фиксированную степень, пусть она и огромна. Но само возводимое число уменьшается с каждым членом последовательности, и рано или поздно оно станет настолько маленьким, что будет очень близко к единице, в какую бы огромную степень ты его не возводил, ведь эта степень неизменна.

@user-ix4kd5un8h

4 жыл бұрын

ну, делимое - это отношение n + 1 к n в k-той степени допустим, на каком-то n (n+1) / n равно 1,00000001 и k = 1000000000 окей бежим по последовательности вперед ещё сколько-то n и получаем отношение не 1,00000001 а 1,00000000000000000000000000000000000000000000000001, чем дальше бежим, тем ещё больше нуликов появляется, и рано или поздно эта штука в 1000000000 степени станет очень маленькой, т.е. всё равно стремится к 1) просто чем больше k, тем позже это наступит

@anton0xf

2 жыл бұрын

можно строго указать, когда ((n + 1)/n)^k станет меньше q. Рассмотрим неравенство (с пока неизвестным знаком) "((n + 1)/n)^k ? q"; т.к. обе части больше 0, то можно подействовать на неравенство логарифмом с сохранением знака; получим "k*ln((n+1)/n) ? ln(q)"; если перенести k вправо, подействовать экспонентой и ещё немного переписать, то получим неравенство с тем же знаком: "1/(exp(ln(q)/k) - 1) ? n", в котором слева стоит некоторая положительная (несложно проверить, что это так) константа, а справа n, которое у нас стремится к бесконечности, так что начиная с "n = [1/(exp(ln(q)/k) - 1)] + 1" в неравенстве всегда будет знак "

А вот blackpenredpen вот тут kzread.info/dash/bejne/am2Yl8hxh7jMYbw.html утверждает, что последний предел ни разу не 1/e, а ровно 0. Причём вычисляет он там предел не просто n!/(n^n), а (n!/(n^n))^(1/n), т.е. в последнем пределе из этого видео их "подпредельного" выражения ещё и корень степени n берётся, но получается, минуточку, 1/e. Что-то тут не так... В интернете кто-то не прав?

@user-vu6hn4ul2i

3 жыл бұрын

Так предел n!/n^n и есть 0. И это на доске в конце написано. Другое дело отношение Хn+1 и Хn стремится к 1/е, т.е. при больших n каждый следующий член последовательности в 2.71 раза меньше предыдущего.

Здравствуйте Борис,подскажите пожалуйста, если мы возьмем последовательность 1/n и 1/n+1.Найдем их отношение и увидем что оно стремится к 1,но предел каждой из последовательности равен 0 ,не "а".Почему так происходит?Заранее благодарю за ответ.

А вот ln(n^n)/ln(n!) такое чувство, что идут к 1

А n это натуральное число?

@qBinom

5 жыл бұрын

да

Борис, здравствуйте! Можете, пожалуйста, объяснить, почему в 6:00 все значения последовательности будут лежать в эпсилон окрестности? Ведь тогда получается, что члены последовательности могут быть больше чем а, ведь в окрестность входят значения от. а-эпсилон до а+эпсилон, это же противоречит определению супремума

@trushinbv

7 ай бұрын

Если они лежат в (а-е; а), то они тем более лежат в (а-е; а+е)

@Semenov_Kirill

7 ай бұрын

@@trushinbv Спасибо вам большое! До меня дошло, я что-то немного затупил с этим моментом

Не совсем относится к данному видео, но заметил только сейчас, что мы в прошлом и позапрошлом видео уже использовали корень n-й степени из числа, хотя вообще непонятно, почему он существует. В школе нам сказали -- мы верим, но по факту это совсем не очевидно

@trushinbv

5 жыл бұрын

Да-да, мы про это чуть позже подробнее поговорим )

@altfq5237

4 жыл бұрын

@@trushinbv Когда же?

@trushinbv

4 жыл бұрын

@@altfq5237 голосуй ) www.donationalerts.com/r/boristrushin

Забавно, но походу максимальное значение X в выражении "Корень из X от X" тоже равен e, то есть ""Корень из X от X" равен корню из е Не знаю, как доказать.

@trushinbv

4 жыл бұрын

Возьмите производную и найдите ее нуль

@Vordikk

4 жыл бұрын

@@trushinbv Ну-ка, попробую, спасибо :)

@Vordikk

4 жыл бұрын

@@trushinbv Получается, что при производной, равной 0, dx/x = 1, а это верно только для "е". То есть максимум х это е, а максимум функции - корень степени е из е Несколько коряво на бумаге, но вроде понятно. Интересная штука, потому что нагуглить по этому вопросу чё-то сходу не вышло. Не хотите стать первопроходцем с десятиминутным видосиком по этой теме?) UPD: Ln(x) = 1 -> x = e

@trushinbv

4 жыл бұрын

Евгений Сорокин Про это есть в видео «что больше е^п или п^е»

@Vordikk

4 жыл бұрын

@@trushinbv принято)

Где n, k и q, числитель стремится не к 1, а к е: пусть n и k, бесконечно большие числа, которые можно приравнять, тогда в числителе мы получим предел, который равен не 1, а е (2 замечательный предел)

@Z1gurD

5 жыл бұрын

k - фиксированное число, а n - нет.

@user-rh3ev6ed3g

5 жыл бұрын

@@Z1gurD если взять q чуть больше 1 и бесконечно большое k, то результат будет другой

@Z1gurD

5 жыл бұрын

@@user-rh3ev6ed3g k - не бесконечно большое число. k это просто какое-то число, пусть и возьмем какое-то огромное. Ну а n уйдет от него гораздо дальше. n в какой-то момент будет k+1...2k...k^k...

(1 + 1/n)^n >= 2 по нер-ву Бернулли, значит 1 / (1+1/n)^n

Добрый день! Спасибо большое за ваши видео! Скажите пожалуйста, зачем мы в последнем доказательстве переходим ко 2-му замечательному пределу, ведь мы можем сократить (n+1)^1 / (n+1)^(n+1) и получим (n+1)^(-n); тогда в числителе n^n, в знаменателе (n+1)^n; и тогда числитель всегда меньше знаменателя при любом n -> Дробь всегда меньше 1, что нам и требовалось получить

@trushinbv

5 ай бұрын

На нужно доказать, что она меньше некоторого числа, которое меньше 1

Факультет: Математика и компьютерные науки . Хороший выбор?

@alexiskra1180

5 жыл бұрын

Главное чтобы тебе нравился

@nikitabobyshew7927

5 жыл бұрын

смотря в каком универе

@Matissed

5 жыл бұрын

@@nikitabobyshew7927 средний грубо говоря

@nikitabobyshew7927

5 жыл бұрын

@@Matissed двфу? Я вот заканчиваю как раз специальность эту тут

@Matissed

5 жыл бұрын

@@nikitabobyshew7927 и как в целом ? сложно учится и есть польза?

. Благодарю; Читайте антроподофия Р. Штайнера и все в жизни прояснится.....

kzread.info/dash/bejne/k4Bllpeal8maZ9Y.html не поняла способ деления😳

Вы в видео указали, что "а"=бесконечности, то есть присвоили "а" какое-то число, но бесконечность не является числом. Ошибочка так сказать.

На самом деле интересно было бы в видео показать при каком n степенная функция больше чем n^1000

@German_1984

11 ай бұрын

В комментах пишут что примерно с 1.5 миллиона

15:50 как мы получили эту дробь?!?? У меня не хватает мозгов что бы так поделить

Какая практическая ценность и жизненная необходимость этого знания для старшеклассников / студентов без умственного склада и интереса математике? В особенности для студентов-гуманитариев, например, для политологов и историков? Да и для жизни и работы всех тех, кто после вуза НЕ преподаёт математику и физику, не работает в оставшихся НИИ. Даже для тех, кто собирает и продаёт технику.

@trushinbv

3 жыл бұрын

Это видео для студентов, которые учатся в технических вузах )

@Moskwarszawskiewski

3 жыл бұрын

@@trushinbv , но тем не менее это преподают и/или преподавали в целом ряде довольно крупных и известных вузов РФ как раз на гуманитарных факультетах.

Посмотрел все видео, но ничего про вейерштрасса не услышал :\

По поводу 1/( (1 + 1/n)^n) - если кому-то интересно (и этого никто не писал ранее), то, как мне кажется, можно и без знания предела (1 + 1/n)^n доказать с помощью неравенства Бернулли А именно: - (1 + 1/n)^n >= 1 + n(1/n) - (1 + 1/n)^n >= 1 + 1 = 2 - 1/2 < 1, следовательно - 1/( (1 + 1/n)^n)

Не понятно доказательство того что пределы отношений стремятся именно к нулю. Ну да, отношение n-ого и (n+1) -ого элементов последовательности стремятся к 1/q, но почему из этого следует что последовательность стремится именно к нулю? А то что отношение пределов одной и той же последовательности, описанной через две формулы, в которых указаны просто два разных элемента последовательности, стремятся к разным числам вообще вызывает сомнения в том что обсуждается не мат. шутка в духе 1 = 2. Прошу, объясните

А как можно наглядно доказать, что 1,01^n>n^1000 при больших n, а то совсем не верится.

Длинные видео не хочется смотреть

@trushinbv

2 жыл бұрын

Это ещё короткие ) В вузе лекции по полтора часа минимум

@mastersasha999a

2 жыл бұрын

@@trushinbv знаю, я учусь в ВУЗе, 1 курс, просто время стараюсь экономить

@mastersasha999a

2 жыл бұрын

@@trushinbv скажите, пожалуйста, если учить доказательства теорем и прочий материал с осознанием его, со временем придёт способность доказывать какие-то вещи, не напрямую связанные с изученным?