Данная проблема (о равномерном распределении точек на окружности или сфере) имеет и прикладное значение (например в создании 3d моделей). Можно задавать координаты декартово, тогда в некоторых областях будут наблюдаться сильные отклонения от "правильного распределения". Поэтому задают распределение параметрически, чтобы получить фигуру более похожую на сферу)

@petersolovjov9550

9 ай бұрын

Ну это классическая задача, приводящая к четвертой проблеме Гильберта😊

Как всегда, бесподобная подача материала, спасибо огромное !!!🙏

Можно считать и в декартовой системе, но плотность распределения нужно применять не к абсициссе, а к развертке полуокружности. Тогда в функцию распределения вероятности напрямую попадает число Пи. Если к сути вопроса , то равномерная плотность распределения вероятности по абсциссе и по окружности это не одно и тоже.

Меня всегда это напрягало на олимпиадах, что просят найти что-то среднее, но не пишут что случайно распределено и как, как будто это будет подсказкой

@user-is8wy2od1j

9 ай бұрын

В первом случае всё предельно ясно - количество хорд равно диаметру, а вот их длины изменяются по нелинейному закону, поэтому не канает простое среднее арифметическое от 0 до D (или от минус R до R). А вариант, где угол и косинус - это совсем другая задача.

Вы так хорошо рассказываете о математике, в особенности о мат. анализе и близких к этому. Очень хочется увидеть побольше других разделов математики на вашем канале (например топологии и тд.). Также огромное спасибо за ваш труд :)

Супер! Не только досмотрел до конца, но и всё понял. Парадокс Бертрана чем-то напомнило, и думаю не случайно. Подписка и наилучшие пожелания автору)

@santashmyakus8516

3 ай бұрын

Тем что случайный выбор обязан быть равномерным, иначе лажа.

Давно задумывался над этим вопросом. Спасибо за великолепное объяснение.

Давно не смотрел тут видео, решил открыть, и о чудо, нормальный звук! Невероятно!

Есть такая мысль, почему разный результат. Выбор точки А(1,0) за конец отрезка допустим, если у нас все точки эквивалентны, т.е. выбор любой точки М и поворот окружности до совмещения т.М с т.А не приведет к изменению расстояния (что выполняется), но и плотности распределения случайной велечины Х. Но, если мы возьмем точку С(0,1), при равномерном Х и повернем ее до точки А(1,0), то у нас оси Х и У поменяются местами, и теперь ось У будет иметь равномерно распределенный точки. Но, координаты Х и У связаны уравнением окружности, а принимая плотность Х равномерной, мы получим, что плотность У будет f(х) = √ 1 - х² , она не равномерна. Отсюда и разница в полученном результате. По идеи, вместо равномерного распредлеления плотности, нужно найти такое распределение, которое будет оставаться одинаковым при повороте окружности на любой угол. Что в принципе, и дает выбор случайной величиной угла φ. Либо нужна иная расчетная схема, когда оба конца отрезка "плаавают".

@Eugene-Polyakov

9 ай бұрын

это по сути объяснение почему первая функция плотности не верная, т.к. она задавала плотность не точек на окружности которые нам нужны и подразумевались в задаче, а распределение x, которое от нас не интересовало, что собственно и было показано в конце ролика в виде распределения точек.

@user-is8wy2od1j

9 ай бұрын

Вроде изначально ставилась задача о средней хорде, а потом автор зачем-то пополз по диаметру. Нужно было зафиксировать вершину угла и рассматривать только точки его пересечения с окружностью. Тогда всё будет математически верно. С одним нюансом - мы получим другое количество хорд. Но это легко объяснить через интеграл длины дуги. Просто такой способ решения применим для совсем другой задачи! Потому и результаты разные.

@andreysolomatov1552

4 ай бұрын

Первый вариант решения - неверный. Ну или, если угодно - не соответствует постановке задачи.

Спасибо за познавательное видео с хорошими иллюстрациями.

Слева - мы покупаем, справа - мы продаем.

Ох уж эти математики, зачем усложнять, приняли пи = 3 и разошлись дружно))

@nayltyara3162

3 ай бұрын

Аххахаа

Спасибо большое, очень поучительно!

Среднее значение случайной величины всегда характеристика распределения. Какое распределение построим - такое среднее и получим. А сейчас посмотрю, какие 2 распределения в данном видео :)

Посчитайте для сферы среднее расстояние между двумя случайными точками (естественно подразумеваем равномерное распределение точек на поверхности сферы). Ответ получается удивительный.

Сначала думал, куда же Остапа понесло, почему так неверно берётся распределение (по оси х), но так как услышал начало, ждал корректного решения, которое и оказалось в конце ролика :)

Спасибо за видео. Вспомнилось как считают, когда иголку на круг кидают, точнее как считать pi (конец иглы учитывать или иголку целиком), если я ничего не путаю. С вероятностями всегда так, это ж просто механизм, а интерпретации могут быть разными. Ну а а данной задачи ещё и метрику надо считать (переход от одних координат к другим, т.е.якобиан)

7:24 Говорить, что в первом случае точки по окружности распределены равномерно, нельзя, поскольку равномерно распределены проекции точек окружности на ось абсцисс. При равномерном распределении проекций точек на ось абсцисс сами точки по окружности будут распределены неравномерно - плотность распределения точек на окружности будет больше около оси ординат и меньше около точек (-1, 0) и (1, 0)

Спасибо вам

в первом случае не верно принимать распределение равномерным относительно оси х, т.к. если по окружности равномерно расставить точки, то от края окружности (вдоль х) к центру на равное расстояние по х будет разное количество точек.

@Hmath

9 ай бұрын

если уж на то пошло, то точек бесконечное множество, так что поясните, что значит "разное" количество точек в отношении бесконечного несчетного их числа. А во-вторых, что значит "не верно", в каком смысле "не верно"? Т.е вам не нравится само условие задачи?

@Yastremskiy_Tema

9 ай бұрын

@@Hmath да я написал комментарий до того как досмотрел видео) вопрос не в условии задачи, а в допущении равномерного распределения относительно оси х

@Micro-Moo

9 ай бұрын

@@Hmath Может показаться, что ваш первый вариант это нарушение симметрии, специально выбранная ось {0, 0}.. {1, 0}. Но это не так. Если выбрать произвольный диаметр и произвольно одну точку на пересечении его с окружностью, вся задача просто повернётся и даст тот же ответ. Но вообще можно накидать целую кучу «естественных» определений среднего, причём разных. К примеру: берём точку из равномерного распределения точек круга, а потом для нее случайно выбираем направление секущей прямой, из равномерного распределения углов от 0 до 2π. Ну, и так далее...

@Hmath

9 ай бұрын

да я и хотел показать, что понятие "среднего" напрямую связано с тем, какое выбрано распределение. А оказалось, что для кучи людей есть какое-то "канонически-ортодоксальное среднее", а все остальное - "неистинное". Сплошная математическая инквизиция.

@alexeyyushin8358

9 ай бұрын

@@Hmath если за случайную величину взять высоту от линии к максимально удаленной точке дуги то мы придем как раз к среднему арифметическому что уж точно канонически ортодоксальней и ответ получается другой

Очень интересное видео ровно как и прием с фиксацией точки. Можете рассмотреть схожую в этом приеме задачу: найти вероятность, что случайные 3 точки на окружности образуют такой треугольник, что середина окружности будет лежать в нем, а после рассмотреть задачу в общем случае для n-мерного пространства. Думаю, хорошее выйдет видео.

@therealmba7642

9 ай бұрын

Частный случай этой задачи для 4 точек на трёхмерной сфере был на олимпиаде Путмана, правда, не помню какой год

@kragast

9 ай бұрын

@@therealmba7642 3b1b делали видео на эту задачу

@HomoMathematicus.

9 ай бұрын

@@therealmba7642 kzread.info/dash/bejne/gZ-hsLqyZ8jYaJc.html

@vopoxof

6 ай бұрын

Помню, подобные моменты рассматривались в одной из книг Мартина Гарднера

Когда говорим про окружности, то правильно равномерной плотность распределения считать не для Х, а (после перехода к полярным координатам) для угла. В этом случае распределение точек по окружности реально будет равномерным. Указанное допущение приводит к неверным дальнейшим рассуждениям. Равно как расстояние между параллелями всегда одинаковое по поверхности Земли, но расстояние между их проекциями на ось "Северный Полюс - Южный Полюс" при приближении к экватору увеличивается. ===================== Я это писал, когда услышал про равномерное распределение по Х. Не досмотрел видео. Автор молодец, что показал второй вариант -- равномерного распределения по углу. А также молодец, что объяснил разницу. 👍

Браво👍

Ну второй случай и интуитивно, и методически более правильный. Хотя, конечно, можно придумать еще немало способов случайного, и, может быть, в том или ином смысле равномерного распределения. В каких-то задачах они могут оказаться более правильными. А в случае сферического коня в вакууме второй способ из видео представляется наиболее верным.

Среднее значение не связано с вероятностью. Задачу можно переформулировать так, что это станет очевидным: "Найти среднее значение от точки А, находящейся на окружности, до всех точек на этой окружности". Очевидно, что правильное решение - ваш второй вариант.

@Hmath

9 ай бұрын

ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D0%B5%D0%B5_%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 какое именно не связано? для непрерывной случайной величины вообще нет другого определения среднего, которое бы не было связано с вероятностью.

@antiputin9680

9 ай бұрын

@@Hmath Для нахождения среднего значения нужно просуммировать все значения и разделить на их количество. Пройдёмся по точкам на окружности. Пусть расстояние между точками равно дельта. Тогда получится некая сумма из N элементов. Устремим дельта к нулю - получим интеграл. И никакой вероятности.

@maxm33

9 ай бұрын

@@antiputin9680в случае равномерного распределения ваш способ вполне рабочий. А если распределение не равномерное? Какие будете брать интервалы?

@antiputin9680

9 ай бұрын

@@maxm33 При чём здесь распределение? Речь идёт о том, чтобы найти среднее значение ВСЕХ величин. А ВСЕ величины на кривой и есть предел при расстоянии между точками стремящимся к нулю.

@freedomtv2295

6 ай бұрын

​@@antiputin9680чел, интеграл по плотности это вероятность если что

Сразу решил со вторым вариантом распределения. Первый отмел после полуминуты раздумий. Только выбранные точки на окружности фиксировал по другому. Я сделал допущение, что после выбора точек окружность всегда можно развернуть так, что отрезок встанет вертикально. Тогда в формуле расстояния не будет корня, а только 2y = 2 sin (t). Расчеты многократно упрощаются при том же ответе.

То чувство, когда решал эту задачу недели 2 назад и на 3/4 остановился радостный...

@user-is8wy2od1j

9 ай бұрын

3/4 чего?

@therealmba7642

9 ай бұрын

@@user-is8wy2od1j ответ, что средний радиус равен 3/4. То есть, решил звдачу не верно

@user-is8wy2od1j

9 ай бұрын

@@therealmba7642 Средний радиус - это что за понятие? А вот средняя хорда равна "пи-эр-на-два". пR/2. И я тут подумал на досуге - это касается не только параллельных хорд, но и всех сущих. Поскольку весь массив непараллельных хорд непроизвольно группируется в массивы параллельных. Для плоской окружности.

@therealmba7642

9 ай бұрын

@@user-is8wy2od1j оговорился, действительно средняя хорда, а по поводу параллельных и остальных хорд да, полностью согласен

Класс!

Пока слушал сразу мысли пошли про тригонометрию, синусы и косинусы. И когда увидел первый способ сразу недостатки заметны. Раз говорим об окружности, то и распределение идет по окружности. Только вот в матожиданиях и производных не шарю, поэтому дальше тёмный лес остался

Для полноты картины имеет смысл посчитать двойной интеграл для двух случайных точек на окружности, каждый от 0 до 2пи - вольфрам даёт 4/пи.

Здравствуйте, в наслаждаюсь доступной математикой, красивой подачей и понятными объяснениями! Вы не могли бы записать видео о том, как биномиальное распределение плавно перетекает в нормальное (если этого еще нет), а также о том, как распределение Пуассона становится нормальным? Качественного я пока не нашел, точно знаю, что, если поставите задачу, то получится строгое и красивое доказательство! Спасибо Вам за Ваш канал!

Классно, просто и ясно)

Парадокс Бертрана похожая штука, причем его можно сформулировать в элементарных терминах

@user-is8wy2od1j

9 ай бұрын

Чего ищете, то и обрящете 🤩

В физике такие приколы бывают со средней частотой спектра и средней длиной волны. И ещё, чтоб никому не обидно было, на логарифмической шкале можно среднее поискать

Как говорится, не баян, а классика!

Отличное видео и интересный парадокс! А можете подсказать, как реализовать такую анимацию точек по окружности, как у вас в начале ролика?

@Hmath

9 ай бұрын

программа geogebra

Круто

Было очень интересно! Раньше почти никогда не применял матожидание к не дискретной величине.

@Micro-Moo

9 ай бұрын

Забавно было об этом узнать. Матожидание как раз более обычно считается для действительных чисел.

@dmitriy_vasy

9 ай бұрын

@@Micro-Mooлюбой физик с вами не согласится )

@Micro-Moo

9 ай бұрын

@@dmitriy_vasy «любой физик с вами не согласится...» Смайлик в вашем комментарии увидел, так что всё в порядке... Совершенно непонятно, с чего это такой вывод. И то и другое можно применить к физике, что не так?

@maxm33

9 ай бұрын

Да, как раз в классической физике случайные величины, как правило, не дискретны. В квантовой механике своя атмосфера )

Классно) Комментарий для продвижения

Интуитивно кажется, что второй случай с равномерным распределением по углу правильный, а с равномерным распределением по абсциссе неверный. Но как доказать, не понятно

@Hmath

9 ай бұрын

неверный для чего? :) а если бы было не равномерное распределение вообще, а нормальное, например? :)

@mjfvasmer

9 ай бұрын

@@Hmath как будто оно противоречит определению окружности

@user-zg2pf5rt7q

9 ай бұрын

@@Hmathпервый вариант неверный именно из-за вашей формулировки условия. Когда вы говорите о расстоянии между двумя случайными точками на окружности, то вы вводите точки на окружности как некий определяющий элемент. На окружности бесконечно много точек, но если вы начинаете определять их координаты первым способом, то плотность точек на разных участках окружности разная. То есть распределение по окружности уже не равномерное, а ведь первичны здесь точки на окружности, а не их координаты в какой-то определенной координатной системе. Вот если бы в самом начале вы сказали о случайных хордах, то все стало бы совсем иначе. Ведь генерация случайных точек на окружности - это лишь один из способов генерации хорд. И там подымается вопрос о том что важнее - равномерное распределение точек на краях хорды по окружности, или же распределение хорд по площади круга, определенного окружностью. А так, ИМХО, вы изначально дали слишком хорошо сформулированное условие.

@Hmath

9 ай бұрын

@@user-zg2pf5rt7q все, что сказал действительно неточно в видео, я описал в прикрепленном комментарии выше. То, что вы ходите сказать, я так и не понял. Но скорее всего это что-то типа: "это распределение ненастоящее". Об этом я уже устал отвечать ниже в комментариях. Если коротко: ненастоящих распределений не бывает. Распределение можно задать как угодно (если оно отвечает определенным требованиям), и пока оно не задано, ни о каком "среднем" говорить нельзя.

@madmax3875

9 ай бұрын

​@@HmathВам говорят, что распределение неравномерное в первом варианте, а вы опять со своим "ненастоящим".

Тут сначала надо задать определение "среднего расстояния", потом уже решать. А вообще физики с лёгкостью решат спор в зависимости от того, что конкрентно им нужно. Напрямер есть радиационное ислучение и надо знать, какой процент будет поглощён шаром. Если излучение идёт из бесконечно удалённой точки, это одно, если из точки на поверхности шара, это другое и т.д.

Как я представляю, задача сводится к нахождению среднего значения для функции sin x для отрезка x от 0 до π, если мы считаем в радианах, и умножению этого значения на 2. Получается вроде бы 4/π, но по-моему, в задаче говорилось, что за 1 принимается диаметр окружности. Выборку надо, конечно, брать по углам, так как тогда вне зависимости от шага интегрирования, все точки будут распределены по окружности равномерно, а если считать гипотенузы, то часто точек практически выпадет, это проверяется любой попыткой математически начертить окружность точками. Что касается того, почему именно синус, то поскольку линии между двумя точками на окружности могут быть под любыми углами к любой оси координат, их можно свести к одному направлению, например, вертикальному. Также понятно, что можно считать в пределах одного квадранта из-за симметрии. Ну и понятно, что всякая вертикальная прямая на отрезке от точки на окружности до оси x имеет длину вычислимую или через формулу Пифагора или через синус, но так как распределять их лучше углами, раз уж мы считаем не площадь, а среднее расстояний, то считать надо через синус. При этом сама магия вычисления интеграла для меня по-прежнему, не совсем понятна из-за недостатка образования, но срзнач в excel явно стремится к значению 2/π при уменьшении шага.

Круто, можно больше роликов по сферической статистике?

Я с математикой плохо дружу, но мне нравится математический ютуб. Вопрос по распределению точек у меня возник в самом начале. Но для себя я более логичным нашёл второе решение!

хорошо:))))

Достаточно поучительное видео в том смысле, что результат может быть разным в зависимости от того, что понимать под "средним". Лично для меня первый вариант несколько "неестественный", потому как находится среднее расстояние между точками на окружности и, следовательно, точки должны быть распределены равномерно именно на окружности, а не где-то еще (если говорить иначе, линейная плотность точек на окружности постоянна). А так-то плотность можно задать любой ))) Вообще ход моих мыслей в первые секунды обдумывания был таким: нижняя граница среднего расстояния - радиус, верхняя - sqrt(2)*радиус, далее, учитывая симметрию, фиксируем одну точку и рассматриваем полуокружность; далее задаем координаты второй точки параметрически, изменяя угол от 0 до pi, интегрируем, получаем ответ. Что, собственно, и было сделано во второй части видео ) И хорошо, что в видео было сделано обобщение до математического ожидания с целью показать, как разные плотности распределения влияют на конечный результат.

@user-vm4sz1qn2s

9 ай бұрын

Не то что не естественно, просто ужасно неестественно. Как делят например МКАД на километры? Явно не первым способом.

@user-gc8gh8nj6h

9 ай бұрын

@@user-vm4sz1qn2s Первый способ добавлен именно для сравнения )

А какое среднее значение между точками в круге, на сфере и в шаре? А в многоранниках?)

@Hmath

8 ай бұрын

разное ;) какую-нибудь ещё подобную задачу сделаю

Если радиус 1, а центральный угол x, то расстояние между точками 2sin(x/2), надо найти интеграл от 0 до 2pi от 2sin(x/2)dx, это -4cos(x/2) с подстановкой от 0 до 2pi, т.е. 8, и разделить на 2pi: 8/2pi=4/pi - это и есть среднее расстояние между точками.

@Esseker

9 ай бұрын

Молодец, посмотрел видео

@user-ei6rd7ei7x

9 ай бұрын

@@Esseker ага, написал и затем посмотрел, совпало

Решил пояснить. Думаю, что не совсем корректно поставил условие задачи изначально. Сначала сказал, что расстояние не зависит от того, как выбрать одну из точек и поставил её сразу в координаты (1,0). Это оказывается верным именно для второго распределения (где равномерно распределен угол). А для первого, увы, это оказалось не так (сейчас численно нашел соответствующий интеграл без привязки точки А к координатам (1,0)). Другими словами, решал задачу в следующей формулировке: "Пусть точка А имеет координаты (1,0), а B размещена случайным образом на верхней полуокружности. И нужно найти среднее расстояние между ними. В первом случае координата х точки B распределена равномерно, а во втором угол" Почему-то только сейчас я об этом всём подумал :) Забавно наблюдать, как кто-то оспаривает "естественность" и "истинность" условия задачи. Заметьте, что эта задача аналогична задачам по нахождению центра тяжести тела (или кривой линии, например). Но там обычно никто не оспаривает условие, если говоришь, что плотность в теле неоднородна и задана какой-то более сложной функцией. И странно, что так мало людей могут открыть википедию и посмотреть, что же такое "среднее", что существует разные определения и т.п, если уж не слышат, что именно об этом я говорю в видео. ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D0%B5%D0%B5_%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5

@DmitriNesterov

9 ай бұрын

а на бесконечности сумма зможет ависить от порядка слагаемых ;-) Всё, пошутил, вернулся к Вашему объяснению. p;.s. мне очевидно, что мы рассматриваем далеко не все отрезки, лежащие на дуге (-1;1), а предположение (допущение) я не услышал. Задача интересная и понятная (если не читать Ваш комментарий выше :) ) а вот решение не понятно, вообще, и кажется грубым. Сходу, вижу отрезки, соединяющие каждую точку левой полудуги со всеми точками правой. Так, вроде, ровно половину и переберём. Если чё не так понаписал, завтра поправлю а то уже час этого завтра прошёл :)

@ted_res

9 ай бұрын

Я написал одноклеточную программку на JS, которая разбивает пи на 10000 углов и по каждому считает длину хорды. Получилось с погрешностью близко к 4/PI (1.2732395447351628). Код, я думаю, ютуб не пропустит :)

@ted_res

9 ай бұрын

Ну я попытаюсь :) const c = 10000; const p = Math.PI / c; let sum = 0; for(let i=0; i

@DmitriNesterov

9 ай бұрын

@@ted_res ну, где 10 тыщ, а где бесконечность? Есть такая штука, как предельный переход и он не так тривиален, как кажется на первом курсе. Тут, вроде, не вычислительная математика ;-) Покажите интеграл Ваш как выглядит. Или вы без интеграла кодить полезли? Будьте осторожны, был я так же молод :)

@DmitriNesterov

9 ай бұрын

@@ted_res а Вы быстро и легко кодите? Пожалуйста, посчитайте мне ab*c=de*f=gh*i где буквы - это цифры от 1 до 9, ab - это число 10*a+b и т.д. А то ответ забыл, а программатор доставать очень неохота)

Учёт якобиана перехода в полярную систему координат тут не требуется, во втором случае?

@Hmath

9 ай бұрын

якобиан - это про двойной или тройной интеграл (или больше). Тут ведь нет двойного интеграла.

А еще интересно, что второй ответ приближается к корню квадратному из величины золотого сечения

Есть и другой способ задать хорду, не фиксировать одну точку, а ставить обе точки симметрично, относительно вертикальной оси, и задавать их углом от 0 до Пи/2.

4/3 неверно в случае «по умолчанию», то есть точки равномерно раскиданы по окружности: равномерно раскидано по отрезку нечто другое, x-координата. 4/π верно.

@Hmath

9 ай бұрын

тогда во 2ом случае равномерно раскиданы не точки, а угол :) но вообще я не спорю с тем, что у кого-то "по умолчанию", я просто сразу оговорил с каким условием решаю, поэтому понятие "неверно" неуместно. Но я ниже уже ответил в комментарии, что согласен с тем, что не совсем корректно в самом начале поставил условие задачи, увы.

@Mercury13kiev

9 ай бұрын

@@Hmath Но угол пропорционален длине дуги - так что с равномерным распределением дуги равномерен и угол.

В первые увидел эту задачу в книги В. Арнольда, тогда я решил то что дыры в распределении меня не устраивают, и посчитал что угол случайный, тогда у меня получились теже 4/pi

Это у Вас верно , про высчитывание среднего значения . Вот возьмём вместо двух точек - двух человек . У одного в банке 0 , а у второго - 1 млн у. е . В среднем у них по 0,5 млн у. е . Но учитывая распределение : у второго млн распределён на трёх счетах - получим по четверти млна в среднем на счету . А если смотреть - каким способом считать , то : млн у. е на заграничных двух счетах , а не на другом "зарплатном" , и в декларации не указан этот млн у. е и нет данных про него в налоговой , а живёт он на одну зарплату чиновника , которую он типа полностью тратит до начисления на счёт следующей . Ну а средняя зарплата у нас вычесленна с точностью до копейки и очень далека от пол млн у. е. - первого среднего значения .

Не думаю, что это парадокс. Вы правильно сказали, что зависит от того, как считать. А правильно считать углом. Потому как хоть функции и непрерывны, но их плотности на окружности разные. Так как считается среднее арифметическое распределение на окружности, то и систему нужно брать радиальную. Например, если считать чтото сред. на произвольной кривой, то систему нужно брать "тангенсальную" к этой кривой. Правильно я понимаю?

Классно! Только в конце не хватает резюме для тех кто не сильно в теме, что мол правильный способ вот такой а не такой.

это все очень интересно. Но если брать за случайную велчину не прямую ОХ а дугу окружности? Тут я конесно имею ввиду не саму случайную величину, а ее распределение. Ведь в примере на видео мы имеем косинусоидальное преобразование равномерно распределенной величины, то есть вообще видео не о том по сути свой

А если угол будет между касательной и хордой в точке А? Длина хорды тогда будет 2синуса.

Только начал смотреть.. Вангую, дело в том, что зависит от постановки задачи. Выбирать отрезок можно как минимум четырьмя способами, два из которых дадут ответ ноль

Возьмем малькенький отрезок X=0.01. Если в середине длина отрезка окружности будет примерно 0.01. А если взять этот отрезок справа, то справа точка будет иметь координаты (0.99 , 0.14) и длинна отрезка окружности будет примерно 0,14 то есть в 14 раз длиннее, чем в середине. Окружность не имеет равного распределения по Х. Поэтому первый способ неверный и применять его нельзя

Более правильно с привязкой к числу "Пи". Пи здесь нужно потому что, имеется ввиду отношение хордьі (считай диаметра) и длиньі дуги окружности (чисто случайньіе величиньі лежат на ней равномерно).

@Micro-Moo

9 ай бұрын

Нет ничего «более правильного». Можно несколькими способами определить «среднее» и получить несколько разных ответов. Ни один из них не будет ни лучше, ни хуже другого.

@user-ts1kn7xx6j

9 ай бұрын

@@Micro-Moo Все верно сказано - есть более правильные методы. И здесь правильнее именно в полярных координатах считать. Объясню гуманитарным образом, без формул. Первый принцип расчета среднего расстояние считает нам расстояние, словно мы идем именно по этой хорде словно по прямой пешочком. Второй принцип предполагает движение по окружности и какой-то большой карандаш рисует параллельно с нашим движение хорду. Если овечка привязана к колышку, и мы предполагаем, что она хочет уйти от него, то она будет идти в пределах радиуса, т.е. по дуге, а условный карандаш каждый раз ее "побега" по дуге будет рисовать хорду. Из 100 попыток "бегства" она пройдет 100 дуг и нарисует с помощью карандаша 100 хорд. Именно средняя величина этих 100 хорд и будет средней длиной отрезка АБ, вот только измеряли мы их не напрямую, а с помощью дуг. А теперь представьте задачу другу - нам нужно найти среднее расстояние между двумя точками на окружности, но только двигаться мы можем тоже только по окружности, т.е. найти не длину хорды, а длину дуги. Вот здесь можно вообще не рассматривать полярные координаты, а взять на вооружение первый способ. Работает простой принцип логики - мы можем выбрать точки А и Б точно также, только вот рисовать длину между ними у нас есть только один способ - по ходу движения по окружности. Но мы можем вытянуть эту полуокружность в настоящую прямую мысленно. Тогда расстояние от А до Б - это просто расстояние на отрезке прямом. Сами точки полного отрезка распределены равномерно, а значит и средняя длина отрезка АБ - это просто половина полного отрезка. А так как полный отрезок - это длина полуокружности вытянутой, то его длина Pi*R. Значит средняя длина АБ - Pi*R/2.

@Micro-Moo

9 ай бұрын

@@user-ts1kn7xx6j «есть более правильные методы» Да всё отлично, кроме одного: нет никакого критерия «правильности». Как и нет универсального понятия о «среднем». Прям вопрос о вкусах. Давайте дополнительно обострим ситуацию, чтобы уж совсем стало симметрично. Произвольно выбираем локацию на земном шаре, долготу и широту. Каково «среднее» положение выбранной точки? Смешно, правда? 🙂

@user-vs6cw5lb9i

9 ай бұрын

@@Micro-Moo Пи здесь!

@user-qn5cq5be3z

9 ай бұрын

​@@user-ts1kn7xx6jвообще, привязаная овечка так то по спирали пойдёт, к центру😏🙃

Ну знаете... Так запутать задачу - это надо уметь! Надо было выражать результат через радиус, а не через эксцентриситет дисперсии математического ожидания (шютка). Несколько лет назад я натолкнулся на задачку о средней хорде. В сущности, ролик об этом, но способ решения иной. Автор получил два результата. А в моем случае было три результата. Собственно, четыре, но два совпали. Завтра покопаюсь в архивах - возможно, автор таки нашел четвертый, а то и пятый вариант результата, сравню со своими. В общем, если взять окружность, то средняя хорда находится легко. Но если рассматривать окружность как проекцию шара в процессе поиска объема его поверхности как суммы длин описанных вокруг него концентрических окружностей (задачка решается через интеграл длины дуги), то если диаметр энной описанной окружности принять за энную корду, вы получите совсем другое значение средней хорды, ибо их оказалось разное количество! Далее, если объем шара рассматривать как сумму всех его сечений, а диаметр каждого сечения - как хорду, то при этом средняя хорда снова изменит своё значение. Вот такие пироги... Кстати, все три (даже четыре - четвертый вариант тоже решается через угол, как и в ролике, но без косинуса) варианта задачи решаются без напряга и без теории вероятностей.

Не понял как заменили окружность полуокружностью, есть точки которые лежат по диагонали друг от друга, то есть никак не попадают в 1 общую полуокружность

@boderaner

9 ай бұрын

Интересно, откуда у окружности взялась диагональ? Или Вы предполагаете, что есть точки, расположенные друг от друга дальше, чем располагаются друг от друга концы параллельного хорде диаметра?

@user-gh9ik2vu1w

9 ай бұрын

@@boderaner если центр окружности в центре координат, то 1/4 окружности можно пронумеровать как 1,2,3,4. К примеру, 1-2 полуокружность, или 2-3. А что если наши 2 точки расположены одна в 1, а другая в 3. То что для них свойства по среднему расстоянию такие же, даже если это так, требует доказательства

@boderaner

9 ай бұрын

@@user-gh9ik2vu1w , любая полуокружность в этой задаче равнозначна любой другой, при повороте её на любой угол решение не меняется. А специальные точки на концах диаметра входят в обе полуокружности, на которые диаметр делит окружность. Это же отрезок, а не интервал.

Функцию распределения вообще стоило бы наверное вынести в условие, а то в середине решения просто из головы берём её. Если, например, случайной величиной будет угол центральный угол АОВ (О центр), то распределение было бы другое. Короче условие недописано.

почем из одной точки все линии чертятся?

Не хотите рассказать о парадоксе Бертрана?

можно чуть подробней о плотности распределения? откуда взялись 1/2 и 1/п ?

@user-ts1kn7xx6j

9 ай бұрын

Да по формулам. почитайте про различные виды распределений случайной величины и их плотностях, функциях распределений и числовых характеристиках.

@Achmd

9 ай бұрын

@@user-ts1kn7xx6j формулы это всегда замечательно. а нельзя просто сказать, что среднее считается через сумму всех значений, делённое на их количество, и в первом случае площадь отрезков длиной 2, а во втором - п, поэтому на них и делим? формулы не вносят никакой ясности. как и само название термина.

@Hmath

9 ай бұрын

я в первом случае сказал, что 1/2 - это 1, делить на длину отрезка (которая и равна 2) вообще, я там сначала сделал даже больше слайдов про это, но решил, что в таком видео это будет уже неуместным и убрал.

Так есть какой то правило как оценить правильно ли ты точки накидываешь или нет? По графику видно. а как то математически обосновать можно?

@user-yy7bq1zx8r

9 ай бұрын

Ну надо придумать функцию, которая будет оценивать «правильность». А то, что считать правильным - это уже как тебе захочется. Так что универсальности тут нет

вот самый коренной вопрос - а зачем это среднее расстояние вообще нужно? Не очень представляю себе прикладные задачи, где это знание решало проблему

Я с самого начала oxrenel, когда собирались равномерно разместить точки на окружности, а вместо этого приняли равномерное размещение точек на оси X (на прямой)

@Hmath

9 ай бұрын

"когда собирались равномерно разместить точки на окружности". А когда собирались?

@otprot1347

9 ай бұрын

​@@Hmath Примерно до третьей минуты речь шла о точке В (о местах размещения точки В) лежащей на окружности, что соответствовало условиям задачи. Но потом вдруг продолжили решение приняв, что возможные места размещения точки В равномерно распределены относительно оси Х. Как равномерное размещение точки В на окружности, может соответствовать равномерному размещению её проекции на ось Х?

@Hmath

9 ай бұрын

@@otprot1347 никак. Но вы, наверно, другое видео какое-то смотрели. Тут до 3ей минуты нигде не говорилось о "равномерном распределении точек на окружности", а потом говорится об условии задачи, которая будет решаться. И одним из условий задачи было равномерное распределение координаты х, а потом эта задача была решена с другим начальным условием: равномерное распределение угла.

@otprot1347

9 ай бұрын

@@Hmath Да, дословно не говорилось, я согласен. Но говорилось, что точка В расположена на окружности. И в контексте условий задачи, именно на окружности и следовало принять её равномерное распределение.

@Hmath

9 ай бұрын

в обоих случаях точки расположены на окружности, а не где-то еще. Но в первом случае одно распределение этих точек, а во втором другое. Непонятно, почему нужно принимать именно какое-то определенное. Почему нельзя другое? Так размышляете, как будто от этого "среднего" зависит чья-то жизнь. Совсем наоборот: это "среднее" исключительно, как пример, который должен был показать, что его значение зависит от того, что именно подразумевать под этим понятием (а определений среднего очень много разных). А в итоге, столько комментарием одинаковых о том, что я нарушил какой-то канон, что есть какое-то "истинное" распределение, которое всеми подразумевается по умолчанию. Да и самому мне уже надоедает отвечать одно и то же на одинаковые комментарии.

Мне думается что вычисление среднего расстояния корректно только при равномерном распределении точек на окружности т.к. такой способ распределения единственный, а способов неравномерного распределения множество. И для вычисления искомого для этого множества способов все равно потребуется задача иного равномерного параметра, в результате чего мы все равно получим решение для равномерно распределенных точек. Только решение будет более сложным и в два этапа.

@viklog-tv5rv4uz1z

9 ай бұрын

Т.е. вам ( для первого способа) надо было найти еще и решение для равномерного распределения по оси Y. А затем найти среднее значение для этих двух условий. И оно как раз будет стремиться к значению пи в знаменателе.

@Hmath

9 ай бұрын

я, пожалуй, в чём-то сейчас даже соглашусь. А именно в том, что не совсем корректно поставил условие задачи изначально. Сначала сказал, что расстояние не зависит от того, как выбрать одну из точек и поставил её сразу в координаты (1,0). Это оказывается верным именно для второго распределения (где равномерно распределен угол). А для первого, увы, это оказалось не так (сейчас численно нашел соответствующий интеграл без привязки точки А к координатам (1,0)). Другими словами, решал задачу именно в такой формулировке: "Пусть точка А имеет координаты (1,0), а B размещена случайным образом на окружности. И нужно найти среднее расстояние между ними. В первом случае координата х точки B распределена равномерно, а во втором угол" Почему-то только сейчас я об этом всём подумал :)

Есть еще и третий вариант распределения. Если не фиксировать одну точку, а равномерно распределять хорды относительно окружности, то получаем ответ Pi/2 Любую хорду на окружности можно определить одной точкой внутри окружности (его пересечением с перпедикулярным радиусом). Далее у нас хорда определяется углом радиуса, и точкой на этом радиусе. Угол можно выкинуть, т.к. он тут ни на что не влияет. Далее делаем равномерное распледение точки на радиусе (от 0 до 1) длинна полченной хорды будет 2*sqrt(r^2-x^2), где x это расстояние точки от центра, а r - радиус. Т.к. радиус равен 1, получаем 2*sqrt(1-x^2). Далее берем интеграл для от 0 до 1 по 2*sqrt(1-x^2) dx, получаем ответ Pi/2

Мне кажется автор немного намудрил с интегрированием. Почему бы просто не проинтегрировать функцию хорды? Это D*sin(α/2) от 0 до π и разделить все на π? Первообразная получится D/π*(-2cos(α/2)). Подставляем пределы от 0 до π и получаем 2D/π. D - диаметр. Просто из геометрии очевидно, что хорда - это радиус умножить на синус половины центрального угла и умножить все на 2.

Если так подумать 4/3 это лишь приближение выражение 4/π , Тоесть можно сказать что они приблизительны равны ,первое решение приближенное ,а второе точное . Следовательно можно сказать 4/π≈4/3...И нет парадоксальной ситуации .

@electro_

9 ай бұрын

Кто в танке, так как пи π≈3.14... это почти 3 но чуть больше

@electro_

9 ай бұрын

Если приблизить в большую сторону получается 4 так как π ближе к 4 чем 3 ,если так рассуждать вместо 4/3 получается 4/4 тоесть вообще 1.

@electro_

9 ай бұрын

Уверен можно решить каким то третьим способом чтобы получить 1,но мои знания 9-10 не позволяют решать и догадаться

Люди до того, как изобрели линейку:

напомнило известный парадокс: какова вероятность, что случайная хорда будет длиннее стороны равностороннего треугольника, вписанного в ту же окружность? Там будут три ответа в зависимости от способа задания случайной хорды

@user-zg2pf5rt7q

9 ай бұрын

Мне тоже вспомнилась эта задача. Только она сложнее описанной в видео, так как в оригинале речь идет о хордах, а не о точках на окружности. Это уже порождает более глубокие споры. Если здесь вполне законно можно сказать, что раз речь идет о точках на окружности, то и распределять их равномерно нужно по именно окружности. То есть в такой формулировке все довольно однозначно. С хордами все не так, потому что то, как определять случайную хорду определяете вы сами, а не условие задачи

@empatij1730

9 ай бұрын

Там нет парадокса. Их бесконечное количество, т.к. в площади даже стремящейся к нулю можно разместить бесконечное количество хорд...

@user-zg2pf5rt7q

9 ай бұрын

@@empatij1730и? А логическая цепочка где? Можно ваш комент написать вот так: "Там есть парадокс. Их бесконечное количество, т.к. в площади даже стремящейся к нулю можно разместить бесконечное количество хорд..." По-моему ни лучше ни хуже не стало

@empatij1730

9 ай бұрын

@@user-zg2pf5rt7q Этой фразы достаточно. Если вы этого не понимаете, и вам всё одно, ну и... флаг вам в руки...

@user-zg2pf5rt7q

9 ай бұрын

@@empatij1730 этой фразы достаточно, если вы собрались объяснить это самому себе. Если вы не хотите донести мысль до других, то зачем вообще написали? Если я вообще правильно понял что вы хотели сказать (а вас понять не просто), то хочу сказать что есть бОльшие бесконечности, а есть меньшие. Тот факт, что в двух разных единицах площади бесконечно много хорд, еще не означает, что это равные бесконечности. Ну а так, к слову, над задачей с хордами спорят не со вчера и не диванные ютуберы. Это по настоящему неоднозначная математическая задача и если вы уверены что там все понятно и есть одно правильное решение, то вы ничего не поняли. Я тоже думал, что там все просто, пока не копнул глубже.

Напомнило парадокс бертрана, мой препод по чмимм пишет про него статью

Вариация классического парадокса Бертрана ru.wikipedia.org/wiki/Парадокс_Бертрана_(вероятность) , только в оригинальном парадоксе не два варианта ответа, а три.

Ждал, когда начнётся простое и видео щакончилось

Ну конечно , более правильный подсчёт - через угол , потому что тогда точки равномерно распределены именно на окружности . А вот если бы кривая была более сложной формы - тогда надо было бы распределять точки по длине кривой ... пришлось бы криволинейный интеграл считать , это вообще была бы "вешалка" 🙂

(7:22): "Казалось бы, что в первом случае точки РАВЕРМЕРНО размазаны по окружности... " - А вот совсем и не "казалось бы": в этом случае они равномерно размазаны по диаметру, а не по окружности. И потому чем круче (небольшой) участок окружности, тем меньше на него попадает точек, равномерно распределённых по горизонтальному диаметру. Можно сказать даже так: если сквозь диаметр проходит равномерный световой поток, то чем круче расположен участок окружности, тем слабее он освещён. Т.е. окружность освещена отнюдь не равномерно - хоть поток и однородный.

@Hmath

4 ай бұрын

не казалось, так не казалось. Если вы до конца досмотрели, то увидели вывод и даже график там для демонстрации построил. А так в вашем комментарии такая же мысль, как и у меня в видео.

@yuriydeynekin4532

4 ай бұрын

@@Hmath Да, спасибо: досмотрел и увидел. Свою реплику я написал как только услышал о том "казалось бы": уж очень "странно" прозвучало. Будем считать то "дискуссионным приёмом". Тем более, что в конце приведена неплохая иллюстрация. Рассмотренная Вами задача известна как "парадокс Бертрана" (ей более двухсот лет), и у неё есть ещё одно решение - в добавление к двум, которые Вы привели. Интересно, что все три решения правильные - потому что соответствуют трём различным физическим реализациям.

Сразу подумал о том что равномерное распределение по x это не равномерное распределение по дуге окружности. А предполагая выбор случайных точек на окружности нужно предполагать все таки равномерное распределение по дуге.

Я не математик, но мне кажется неверным с самого начала рассматривать полуокружность вместо окружности. Ведь, грубо говоря в этом случае количество положений второй точки относительно первой уменьшается ровно в два раза. Разве за счёт этого среднее расстояние между двумя точками не будет другим?

@Hmath

9 ай бұрын

в определенных случаях нет. Я описал в прикрепленном комментарии выше, что немного не учел в постановке задачи.

@user-mt9ve3jv8w

9 ай бұрын

@@Hmath Спасибо за ответ. Согласна, если условие задачи - среднее расстояние между точками полуокружности :))

косинус притянут за ущи, кмк Скажем так - необоснованное утверждение о возможности подобного пути решения при заданной постановке. Всё же математика - не русский язык, а достаточно строгий язык науки, котоый не позволят собой распоряжаться "ка хочешь". Но видео в целом иллюстративно - класс

В начальной постановке задачи не определено как именно выбираются случайные две точки. Разный выбор точек приводит к разным результатам. Можно было бы сказать, что это пример парадокса Бертрана. Но за видео спасибо.

@Hmath

9 ай бұрын

да именно так: разный вид распределения приводит к разным ответам - это и хотел показать

@user-wn8qy2bx2q

4 ай бұрын

​​@@Hmathраспределение вдоль оси x неверно, поскольку оно приводит к тому, что распределение зависит от выбора начальной точки на окружности.

Как будто посмотрел оперу на китайском. Все красиво, но ничего не понятно.

Парадокс Бертрана покинул чат

Похожая тема Парадокс Бертрана ru.wikipedia.org/wiki/Парадокс_Бертрана_(вероятность) kzread.info/dash/bejne/hINq0tCTepudpdo.html

На 4:20 кажется ошибка, в формуле потерялась d'(x)

Очень красиво получилось что разница между 3 и π

вариация на парадокс Бертрана.

Подтверждаю, через суммирование диаметров и деление на количество точек, число стремится к 4 разделить на пи.

@user-is8wy2od1j

9 ай бұрын

При чем здесь точки на диаметре, если речь о нахождении cредней хорды?

@user-ik4ch7wl3l

9 ай бұрын

@@user-is8wy2od1j Количество точек в данном случае - это количество хорд. А "точки" написал только потому, что в ролике делается упор на поиске очередной точки на окружности. Которая является концом очередной хорды. PS. И да, хорд конечно же

@user-is8wy2od1j

9 ай бұрын

@@user-ik4ch7wl3l Если Вас не затруднит, почитайте другие мои комментарии. Так уж вышло, что количество хорд зависит от постановки задачи.

С точки зрения инженера, результаты верны

Логично продолжить роликом про понятие меры.

Я думаю, что никакого парадокса здесь нет. Очень правильно автор ролика сделал акцент на то, что решающее значение имеет тот факт, от какой именно величины мы отталкиваемся. В случае же с окружностью вполне обоснованно предположение о том, что точки на ней распределены равномерно, а значит имеет место именно второй вариант расчёта и равномерно распределён угол фи.

Брать случайно только координату x сразу выглядело нелогично. Парадокса не увидел. Но сами расчеты интегралов наверняка интересные и хорошо проиллюстрированы. Задача не достаточно определена по условиям, как только мы определим что считать средним расстоянием между точками на окружности, тогда и можно одозначно посчитать результат без всяких парадоксов.

@Hmath

9 ай бұрын

так я же в самом начале условие задачи определяю, говорю о том, что для того, чтобы вычислить "среднее", нужно понимать о чем идет речь и предлагаю в итоге 2 разных распределения и как следствие 2 разных ответа. "парадокс" взят сразу в кавычки и смысл был именно показать, что при разных условиях может быть разный ответ

@veresivan

9 ай бұрын

​@@Hmathтут не поспоришь) так все и было.

Немного смущает полученный результат, почему среднее расстояние больше диаметра?

@Hmath

9 ай бұрын

диаметр = 2, среднее получилось меньше

А среднее расстояние то какое?

Сразу, понял, что в первом решении рассматривается не равномерное распределение точек на окружности, а равномерное распределение точек на проекции окружности на ось. Отсюда и "парадокс".