✓ Касательная. Геометрический смысл производной и дифференциала | матан
Поговорим про геометрический смысл производной.
Как поддержать канал:
Bitcoin: bc1qwzx9t9mz5h5q8sgtz74mdgedxd5wu0g9kq6q5m
Ethereum: 0xAE872DcA8B135cf62Df4B36bE576a2EE64c6066a
Регулярная помощь (Boosty): boosty.to/trushinbv
Регулярная помощь (KZread): kzread.infojoin
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
Регулярная помощь (Sponsr): sponsr.ru/trushinbv
Разовая помощь (Ю-money, бывшие Яндекс.Деньги): yoomoney.ru/to/410011017613074
Разовая помощь (PayPal): paypal.me/boristrushin
Разовая помощь (Donation Alerts): www.donationalerts.com/r/bori...
Разовая помощь (Сбер): 2202 2001 0398 5451
В этом учебном году я веду три курса:
✔ «Подготовка к ЕГЭ по профильной математике с 0 до 70 баллов (10-11 класс)»: trushinbv.ru/ege70
Подойдёт и десятиклассникам, которые хотят уже за год до ЕГЭ стабильно решать на 70+, и одиннадцатиклассникам, которые почти ничего не знают, но хотят за год выйти на приличные баллы. На курсе освоим как всю тестовую часть, так и многие задачи из сложной части ЕГЭ.
✔ «Подготовка к ЕГЭ по профильной математике с 60 до 100 баллов (11 класс)»: trushinbv.ru/ege100
Для тех, кто уже знает математику на базовом уровне, и хочет за год освоить её на 90+. Там, в основном, будем учиться решать задания из сложной части ЕГЭ, но залезем немного и в некоторые содержательные задания из тестовой части.
(Если у одиннадцатиклассника есть достаточная мотивация, можно параллельно учиться сразу на двух этих курсах - trushinbv.ru/egepack - их программы согласованы между собой)
✔ «Подготовка к перечневым олимпиадам по математике (10-11 класс)»: trushinbv.ru/olymp
В первую очередь этот курс для одиннадцатиклассников, которые освоили стандартную школьную программу хотя бы на «четыре», и хотят за полгода подготовиться к олимпиадам типа Физтех, Ломоносов, ОММО и ПВГ, чтобы попробовать зацепиться за диплом хотя бы в одной из них.
Кроме того, доступны мои прошлогодние курсы в записи:
✔ «Подготовка к ОГЭ»: trushinbv.ru/oge9
Это запись большого годового курса, который я провел пару лет назад. В этом году у меня не будет новых курсов для 9 класса.
✔ Мини-курсы по отдельным заданиям ЕГЭ:
- Теория вероятности с нуля и до ЕГЭ (Задания 3 и 4): trushinbv.ru/egeTV
- Уравнения и неравенства (Задания 12 и 14): trushinbv.ru/egeAL
- Стереометрия (Задание 13): trushinbv.ru/egeST
- Экономические задачи (Задание 15): trushinbv.ru/egeEC
- Планиметрия (Задание 16): trushinbv.ru/egePL
- Задачи с параметром (Задание 17): trushinbv.ru/egePR
- Теория чисел (Задание 18): trushinbv.ru/egeTC
✔ Мини-курсы по перечневым олимпиадам:
- Олимпиада Физтех: trushinbv.ru/fizteh
- Олимпиада ОММО: trushinbv.ru/ommo
- Олимпиада Ломоносов и ПВГ: trushinbv.ru/lomonosov
Другие курсы Фоксфорда: trushinbv.ru/courses
Репетиторы Фоксфорда: trushinbv.ru/coach
Магазин мерча: trushinbv.ru/shop
Книжка от Трушина: trushinbv.ru/book
вКонтакте: ege_trushin
TikTok: / trushinbv
Twitter: / trushinbv
Instagram: / trushinbv
Telegram: t.me/trushinbv
Facebook: / trushinbv
KZread: / trushinbv
Личный сайт: TrushinBV.ru
Пікірлер: 137
Словами не описать, как вы спасаете студентов! На лекции все быстро протараторили, никто ниче не понял, сиди теперь и разбирайся в своих каракулях) А наличие таких качественных видео-уроков с детальными пояснениями каждого момента значительно облегчает дело ❤
@A_Ivler
7 ай бұрын
Мне всё успевают объяснить. Хотя эту инфу знал ещё в школе.
@wise_scarecrow
7 ай бұрын
А если вы запишете лекцию на видео и потом спокойно просмотрите, не то же самое будет?
@George-qe3lr
7 ай бұрын
@@wise_scarecrow, нет, далеко не то же самое) Довольно часто объяснение Бориса Викторовича отличается от приведённого на лекции, что помогает взглянуть под другим углом и лучше осознать материал. Я уже молчу про то, что многие моменты на лекции объясняют вскользь, а то и вообще принимают на веру без доказательства
@safil747
7 ай бұрын
@@A_Ivlerлюди привыкли, что со школы им все разжеванное в рот кладут. А тут говорят "инженер должен знать и уметь все" и дают теорию.
@nnn7459
7 ай бұрын
@@A_Ivlerя тоже знала ещё в школе, но снобизм можно оставить при себе, далеко не всём повезло с учителями
Честно говоря, когда вырасту, хочу стать Трушиным. Спасибо за видео!
Не хватает слов, чтобы описать весь мой восторг от этого видео)) Источаю лавину благодарности, спасибо, Трушин, что есть Вы и Ваши видео)))))))
как же приятно иногда вернутся к первому семестру анализа, когда все было весело легко и приятно
Матан, матан, матан, ура! В этом году поступил, и к сожалению наша программа к моему удивлению оказалась менее подробной, чем серия ваших роликов
@nicholasspezza9449
4 ай бұрын
Ну так мы тут 5 лет проходим то, что вы пройдете за полгода. Само собой тут минимум в 10 раз подробнее 😅
Спасибо большое за ваши ролики по матану! Сейчас как раз начали проходить дифференцирование по матану. Вы очень помогаете!!!
В поддержку матана!
Спасибо вам большое за мат анализ❤
Очень полезно при работе на финансовых рынках
Да это же снова Борис Трушин и мы продолжаем заниматься матанализом!
только вот прошли эту тему, спасибо!)
О кайф Трушин попал в тайминг! Я как раз сегодня пытался понять производную и интеграл и пересматривал старый видос про интеграл. И вот я здесь
Эх х х, студенчество вспомнил. Славное время, было! :) Спасибо Борис. :)
ваши видео прекрасны, спасибо вам Борис Трушин ❤
Смотрю плейлист по матану и новое ,не вышедшее видео! Вот так да!
Ждём, чтобы такие ролики по "матан" выходили чаще! Спасибо тебе большое за твои старания!
Круто!
Как хорошо, что вышел такой гайд. У меня по матану будет матдиктант на 15 вопросов, тут вы объяснили достойно 1 и 2 вопрос
Спасибо
Эксклюзив!
Огромное спасибо за этот ролик, очень скоро мне это будет нужно, а ваши лекции смотреть так интересно
Спасибо, дорогой Борис Викторович! Невероятно круто
вот теперь я начинаю понимать математику)
16:24 "Не то чтобы это прямо геометрически очень понятно для чего это надо." В физике именно так считается погрешность измерений. Берётся функция, потом считается её дифференциал. В бо́льшем числе случаев - многомерный, т.к. редко функция там только одной переменной. Но физическое применение для дифференциала именно такое.
@trushinbv
6 ай бұрын
Это понятно, но для этого не нужно это геометрически представлять )
@themachine9329
5 ай бұрын
@@trushinbv вообще почему то забывают говорить что производная нужна для нахождения мгновенной скорости ЛЮБОГО процесса (физического, экономического и т.п., а не только физического) и вот как раз угол касательной показывает текущую скорость изменения процесса ну а перед этим объяснить что скорость изменения функции = скорость изменения любого процесса p.s. понятно что физический смысл производной в другом видео, но вот эта связь между смыслами должна быть в обоих видео. А так спасибо, очень круто объясняете
❤❤❤
Борис, а будет в будущем видео про радиус кривезны. Видел формулу когда решал задачи по физике, но всегда интересовало, откуда она получается
@trushinbv
7 ай бұрын
Будет. Но не скоро )
@Metal_dead
7 ай бұрын
@@trushinbv ну, я не спешу
Борис гигант
👍👍👍
А можете как-нибудь рассказать про странные функции, которые определены и непрерывны везде, но не дифференцируемы нигде? Или про поведение функции e^(-1/x^2) рядом с нулём?
👍👍👍🔥🤓
❤❤❤❤❤❤❤❤👏👏👏👏👏
здравствуйте!! можете пожалуйста объяснить инверсию на пальцах. Спасибо вам за это видео
Привет, Борис. Идея для очередного видео, где как раз используется геометрический смысл дифференциала (как "приращение касательной"). Формулу Ньютона-Лейбница как раз можно визуализировать с помощью дифференциала. В записи определенного интеграла присутствует символ f(x)dx. Его как раз можно интерпретировать как дифференциал dF первообразной F. Поскольку dF примерно равен приращению функции F на маааленьком промежутке dx, то интеграл от a до b можно визуализировать как сумму дифференциалов dF, что дает приращение функции F(b)-F(a). Спасибо за видео. Удачи! Игорь
Это первая Ваша лекция которая мне понравилась.(((:::
Шульман в президенты, Трушина замом. В такой России хочу жить.
Маатан! о ес! о да!
Больше матана богу матана!
а что если сложить 2 и более производных? при том что каждая из них несет свою "информацию"
Книги по математике Трушина есть?
@trushinbv
3 ай бұрын
Гуглите серию книг «математика с Борисом Трушиным» )
@alexeyshnaider9290
3 ай бұрын
@@trushinbv ну там комбинаторика и все
@trushinbv
3 ай бұрын
@@alexeyshnaider9290теория чисел ещё через месяц выйдет
@alexeyshnaider9290
3 ай бұрын
@@trushinbv хочу большой современный справочник по математике на все разделы
@trushinbv
3 ай бұрын
@@alexeyshnaider9290 это коллективу из ста человек лет десять писать нужно )
Круто! Такой вопрос (может и не грамотный). Можно ли с помощью производной от производной от производной от...от производной функции понять функция убывает или возрастает в заданном промежутке ? Первая производная не очень ... Функция представляет произведение синуса на квадратный трёхчлен. Кроме построения графика (без нахождения критических точек) как можно ответить на такой вопрос ?
@suprememaster1133
6 ай бұрын
Чтобы понять монотонность функции на промежутке, понадобится только и только первая производная. В ее нулях в функции экстремум или точка перегиба, а между она возрастает или убывает. Вторая производная покажет выпуклость функции, насколько быстро возрастает производная. Третья и далее производные уже какого-то конкретного значения не имеют, поэтому для бытовых целей нет смысла их брать
Что такое интеграл? Интеграл - это площадь под графиком. А что такое площадь. А площадь - это интеграл. А что такое интеграл? А интеграл - это площадь.
@gitarre_spielen
6 ай бұрын
Ага, "у попа была собака".
@user-qs7gq6vs1y
6 ай бұрын
у собаки была попа... эта попа нравилась попу и потому...у попа была собака..................@@gitarre_spielen
@suprememaster1133
6 ай бұрын
А что в вашем понимании площадь?
@user-qs7gq6vs1y
6 ай бұрын
мера квадрируемого множества точек... @@suprememaster1133
Может определить касательную как прямую, которая имеет единственную общую точку с графиком функции при данном Х в окрестности Х ?
@trushinbv
7 ай бұрын
Бывают касательные, для которых это не так (был даже ролик про это), и для многих функций можно в одной точке бесконечно много прямых провести с таким свойством.
@olegpisarenkov4908
7 ай бұрын
а они - эти функции - дифференцируемы при этом в данной точке? очень интересно, спасибо, ролик поищу@@trushinbv
существует ли производная для функции у=кв.корень(1-х^2) в точке х=1 или х=-1? И чему равно? можно ли считать функции у=1 и х=1 обратными друг другу? Можно ли это доказать математически? Какой предел у функции у=1 при х стремящийся в бесконечность? немного бесполезных размышлений на вечер...
@braxxis4520
7 ай бұрын
1) зависят от определения, в данном случае говорят, что функция имеет бесконечную производную 2) нет, можно доказать, что нет 3) 1
@gitarre_spielen
6 ай бұрын
@@braxxis4520, товарищ, а как понимать "функция имеет производную в точке..."? Если, грубо говоря, производная функции - скорость изменения функции при изменении аргумента, то если функция имеет производную в точке, имеют в виду "ей есть куда расти, и вот на столько", или же "она выросла на столько по сравнению с предъидущей точкой" (тогда какой)?
@braxxis4520
6 ай бұрын
@@gitarre_spielen грубо говоря производная имеет строгое определение, проблема ваших рассуждений, что вы не знаете, что такое скорость
@suprememaster1133
6 ай бұрын
@@gitarre_spielenпроизводная в точке x0 - это предел (f(x)-f(x0)/(x-x0). В случае корня, он равен бесконечности, и в таких случаях считают, что в точке функция не дифференцируется
Спасибо, пригодится в расчёте ПИД-регулятора для охоты на чубы
@TurboGamasek228
7 ай бұрын
только попробуй гад
@A_Ivler
7 ай бұрын
Сейчас бы хорошо понять, что такое ПИД-регулятор для охоты на чубов.
Борис, день добрый! Мне стало интересно следующее (к сожалению на клавиатуре нет значка "дельта", поэтому буду обозначать дельту знаком ♤): Вычисляя касательную, мы расчитываем ее отталкиваясь от Х0 + ♤Х (при ♤Х стремящейся к 0). Но ведь какой бы малой ни была ♤Х, мы все равно не вычислим касательную точно. Предположим, что мы ищем касательную так же отталкиваясь от Х0, но не плюс, а минус ♤Х (то есть вторую точку мы выбрали левее Х0). Согласно логике получается, что касательная при (X+♤X) должна совпасть с касательной при (X0-♤X). Да, конечно же ♤Х стремится к нулю, но нет ли здесь математического противоречия, когда некая функция f(X+♤X)=f(X-♤X)? И почему бы тогда вообще не получить усредненное значение, которое, на мой взгляд было бы еще точнее? 😂 Вот, написал, и самому стало смешно!!!
@nemetskiylager
7 ай бұрын
Насчёт "Мы все равно не вычислим касательную точно" - советую изучать пределы, что это такое, как находится и так далее. Производные же, очевидно, вычисляются не путём подстановки конкретных чисел, как вы скорее всего думаете. Возьмём, например, функцию x². Lim ∆x => 0 (f(x+∆x)-f(x))/∆x = (x²+2x∆x+∆x²-x²)/∆x = (2x∆x+∆x²)/∆x = 2x + ∆x = 2x. Так доказывается, что производная от х² = 2х. И для вычисления значения в точке 4 просто 2 умножается на 4 и получается 8, а не берётся очень маленькое значение ∆x(скажем, 0,01) и подставляется в предел(тогда получается (4,01²-4²/0,01) - неточное значение, а именно, 8,01 вместо 8). Ну и насчёт того, что если заменить ∆x на -∆х, то получится, что x+∆x=x-∆x, то не надо забывать, что если мы заменяем ∆x на -∆x, то мы заменяем его и в знаменателе, и в знаменателе получается -∆x. То есть, (f(x+∆x)-f(x))/∆x = -(f(x-∆x)-f(x))/∆x, что выполняется для всех непрерывных функций(в ином случае производная для функции не определена).
@space1r
7 ай бұрын
На это классное замечание (аж о 3 точках f(x-∆x), f(x), f(x+∆x)), где есть только одна касательная, а через 2 других - секущие, есть "лайфхак": использовать нормаль. Уж её точно можно провести в точке f(x) только ОДНУ. Причем на чертеже нормаль легче построить с помощью зеркальца: приложить в искомой точке перпендикулярно к кривой (в зеркале линия графика должна войти "сама в себя") , провести нормаль, и потом, в точке пересечения - касательную под углом 90°. Всё! Так вот из-за единственности нормали и возникает эта единственность касательной! И тогда никаких секущих не нужно!
@User_name_2pizza
7 ай бұрын
@@space1r КЛАААССС!!! Просто и офигенно!!!
полистать что-ли Контрпримеры в анализе ещё раз на старости лет...
Здравствуйте, подскажите, пожалуйста, как можно интерпретировать точку пересечения касательной с осью абсцисс?
А у вас нет курсов по вышмату?
@trushinbv
4 ай бұрын
Нет (
Дублирую свой комментарий, вдруг всё-таки будет интересно) если нет, так нет Борис, здравствуйте! На уроках недавно мы прошли матричный способ решения систем линейных уравнения и я бы хотела предложить вам идею - может быть, возможно снять видео о матрицах или методе Крамера? Мне на самом деле просто очень интересно, почему эти способы вобще работают и на чём они основаны. Извиняюсь, если у вас уже есть видео о матрицах, но я не нашла
@trushinbv
7 ай бұрын
То есть вам на уроке дали метод, не объяснив почему он работает?
@qwtyrina
6 ай бұрын
@@trushinbv нам дали способы и мы научились решать системы линейных уравнений с их помощью, но именно почему они работают и на чём они основанны не объяснили. я имею ввиду, почему, перемножая коэффициенты именно таким способом, мы получаем решение системы. я думаю, это из-за очень ограниченного количества уроков, выделенных на эту тему. поэтому мне очень интересно послушать вас! мне нравится, как вы в своих видео можете доказать даже самые казалось бы очевидные вещи
@trushinbv
6 ай бұрын
@@qwtyrinaя подумаю ) Но у вашего не очень разумный подход
@qwtyrina
6 ай бұрын
@@trushinbv в любом случае спасибо за ответ!
когда то учил и даже решал, но до сих пор не понимаю где это в жизни применяется)
@trushinbv
7 ай бұрын
Вы про мозг? )
@cherkasA
7 ай бұрын
@@trushinbv ) смешно мозг знаю где применяется) дифференциал более менее понятно где применяется интеграл тоже встречал в инженерных расчетах а исследование функции и производную кроме как в ВУЗе нигде не видел в жизни. не понятна его практическая суть
@whoisitguy1
6 ай бұрын
@@cherkasAа как без понимания производной разобраться в интегралах и дифференциалах?
а если производная не является линейной функцией?
@braxxis4520
7 ай бұрын
производная в точке - это просто число, поэтому сам вопрос непонятен
Не могу найти видит где он объясняет как учить не надо на примере нелинейных функций, может кто подскажет?
Какой физический смысл данного угла?
Когда функан, уважаемый БВ?)
Борис, здравствуйте! Можете, пожалуйста, разобрать эту задачу kzread.info/dash/bejne/eHqmzqqvY9zXfJc.htmlsi=-6B0u_grcynuuGnp Как так выходит, что верных ответов на эту задачу несколько?
@trushinbv
6 ай бұрын
Он же сказал, что это просто нес шествующая конструкция. Если нижний имеет площадь 4, то этого уже достаточно, чтобы решить задачу, и при этом у верхнего не будет площадь 16
@user-th4xz7bs4k
6 ай бұрын
Благодарю!
"какая-то функция" - и нарисовал ехпоненту!
@A_Ivler
7 ай бұрын
Так у неё производную легче всего считать.
Борис, здравствуйте...Замечательно слушать ваши видеоролики, нравятся особенно ваши прозрачные и доходчивые объяснения, но хотел бы выразить своё ненавязчивое пожелание. Очень интересно было бы послушать ваши мысли про гиперболические функции: связь с тригонометрией, геометрическая аналогия, обратные гиперболические функции, разложения в ряды и прочее. Очень красивая и обширная тема, которой, к сожалению, я не нашел в вашем изложении. Недавно столкнулся на практике с этими функциями, рылся в справочниках подручных, искал аналог формулы Asinx+Bcosx=✓(A²+В²)sin(x+p), где p=arctan(B/A). Не найдя нигде аналогии, понял, что для гиперболических функций единой формулы нет, а аналог зависит от того, что больше по модулю из коэффициентов А или B. Уже благодарен, если пожелание не останется незамеченным.
Геометрический так и сложно понять, физический смысл - сразу понятен.
Из геометрии давно известно "не твоя касательная-не твои проблемы"😅
@A_Ivler
7 ай бұрын
-Как там твоя прямая? -Тебя не касается. И изображение двух кругов на координатной плоскости, где у одного нет касательной, а у другого есть.
то есть дифференциал это f(x0+∆x)-f(x0) при ∆x -> 0 ???
@buff9943
6 ай бұрын
Так и есть
@trushinbv
6 ай бұрын
Нет. Это линейная часть этого приращения
Через одну точку можно провести множество прямых, через две точки только одну прямую. Как я понял производная это скорость изменение функции в данной точке, но на самом деле при увеличении данной точки мы увидим две точки на грвфике. Вот через 2 эти точки мы проведем одну прямую.
А я всегда думал, что производная, это просто скорость изменения функции в данной точке, а касательная, соотетственно, наглядное представление ускорения.
Ага. А асимптота - это касательная к функции в бесконечно удалённой точке.😁
дельта альфа бетта штрих...
Борис, поаккуратнее в терминах, имеющих привычный смысл... в окрестности х=0 возьмём осциллирующую функцию у=х^3*(sin1/x)... прямая лучшего приближения у=0... у Вас губа поднимется назвать её касательной к графику... нужен какой-то дополнительный критерий привычной нам касательности и которую 99,999% преподавателей рисуют на досках... проще сказать - не надо нам такого критерия ...
@trushinbv
6 ай бұрын
А что это, если не касательная? ) При условии, что вы её в нуле нулем доопределили
@user-qs7gq6vs1y
6 ай бұрын
можно ли - условно амплитудно уменьшающуюся волну назвать касающейся прямой - вряд ли...мозгу вопреки... @@trushinbv
😢я ничего не понял, но очень интересно, икс ноль
а нельзя просто сказать что касательная к аналитической кривой - это просто прямая имеющая только 1 общую точку с этой кривой? Разумеется только в некоторой дельта-окрестности точки касания. Размеры дельта окрестности ограничены только ближайщими локальными минимаксами в этой окрестности, если, конечно, они существуют. Если эктстремумов нет, то и ограничений на размер тоже нет
ну не знаю, основывать определение касательной на частном от деления координат ‘y’ на координаты ‘x’ это как-то.... не очень ну найдите таким путём касательную к той же x = y² в нуле или к x² + y² = R=constant в ±R, а касательные там существуют и единственны, не говоря уже про спирали с неконстантным радиусом не-не, такая дефиниция меня не удовлетворяет
@trushinbv
7 ай бұрын
Это определение касательной к графику функции y=f(x)
@vadiquemyself
6 ай бұрын
@@trushinbv ...предполагая, что дефиниция “функции” такова, что это не любой мэппинг, а только лишь такой, у которого обратный мэппинг (инверсия) инъективен тогда простым поворотом координат на ½π в любую сторону функция превращается, превращается функция в .... нефункцию!
@trushinbv
6 ай бұрын
@@vadiquemyself Мне кажется, вы путаете график функции в конкретных координатах и саму функцию От того, что вы что-то поворачиваете, на саму функцию это никак не влияет )
@vadiquemyself
6 ай бұрын
@@trushinbv ага, не меняется, и... а, понял, это к тому, что, поменяв буковки ‘x’ и ‘y’ местами, меняем их всюду и везде, и делим для x = 𝑓(y) уже́ на НЕнулевое изменение y’а, а не на (нулевое) изменение x’а окей, но тогда мы всё одно полагаем 𝑓(a)≠𝑓(b)→a≠b («∆y≠0→∆x≠0»), и чтобы получить уравнение касательной всюду, придётся подбирать и менять координаты, и в каждой такой системе будут свои «особенные» точки, так.... а без этого всего никак? не ограничивая определение функции только каким-то узким классом «инвертно-инъективных ∆y≠0→∆x≠0» ? не ища «специальные» точки и системы координат для них? я, конечно, понимаю, что это видео- для студентов на первом семестре обучения, для которых любая трансформация координат вдиковинку, кто сидит на этих лекциях внезапно-интенсивного калькулюса с такими огромными 😳глазами, полными искреннего непонимания происходящего вокруг, для кого функция это то, что в учебнике было нарисовано и на е.г.э
@trushinbv
6 ай бұрын
@@vadiquemyselfпочему вы считаете, что есть какие-то ограничения на функцию? Берем любую функцию, определенную в окрестности точки Хо.
на первый взгляд достаточным критерием будет бесконечная дифференцируемость...уберёт осцилляцию...но - не факт...
Слишком быстро. Ничего не понятно!
дальше матан, больше