Vysvětlím ti, jak určitý integrál určuje velikost ploch pod křivkou, co jsou to integrační meze, co se stane když je prohodíš a jaká znaménka má plocha nad a pod osou x.
Určitý integrál je základním pojmem v oblasti matematické analýzy, který nám umožňuje vyčíslit velikost plochy pod křivkou mezi dvěma body na ose x. Jeho výpočet se opírá o Riemannův integrál, který je založen na rozkladu plochy na nekonečně tenké obdélníčky o šířce dx.
Představme si, že máme funkci f(x), kterou chceme integrovat na intervalu od a do b. Pro aproximaci plochy pod křivkou rozdělíme tento interval na nekonečně tenké obdélníčky o tloušce dx a výšce, která odpovídá funkční hodnotě v daném bodě. Plocha takového obdléníčku je dána součinem funkční hodnoty a tloušťky dx. Teoreticky bychom velikost plochy pod křivkou dostali tak, že sečteme plochy těchto obdélníčků v mezích od a do b, pokud by se tloušťka dx limitně blížila nule. Prakticky tuto operaci ale vykonává určitý integrál za nás. Tento proces je znám také jako Riemannův integrál.
Pro zápis určitého integrálu je dobré vědět, že spodní mez se píše pod znak integrálu a horní mez nad znak integrálu.Obecně platí, že pokud prohodíme meze, tak výsledná hodnota integrálu změní znaménko.
Výpočet určitého integrálu (Newton-Leibnizovy formule)
Samotný výpočet určitého integrálu se provádí pomocí Newton-Leibnizovy formule. Ta určí hodnotu určitého integrálu tak, že dosadí horní mez do primitivní funkce a od tohoto dosazení odečte dosazení spodní meze do primitivní funkce.
Vlastnosti určitého integrálu
Důležitou vlastností určitého integrálu je, že plocha nad osou x má kladnou hodnotu, zatímco plocha pod osou x je vyjádřena záporně. To je způsobeno orientací plochy a volbou znaménka v definici integrálu.
Další zajímavou vlastností je, že můžeme integrační meze rozdělit na více částí a hodnotu integrálu získat jako součet dvou (nebo více) integrálů. To nám umožňuje flexibilněji pracovat s integračními úlohami a rozdělit je na jednodušší části.
Podmínky existence určitého integrálu
Je třeba zdůraznit, že určitý integrál je definovaný pouze pro funkce, které jsou integrovatelné na daném intervalu. Existují určité podmínky, jako je spojitost funkce nebo omezenost na intervalu, které zajišťují existenci určitého integrálu.
Určitý integrál je důležitým nástrojem pro výpočet ploch, délek křivek, objemů a mnoha dalších kvantitativních charakteristik. Je klíčovým prvkem matematické analýzy a nachází uplatnění ve fyzice, ekonomii, statistice a dalších oborech.
V tomto videu si ukážeme odvození a myšlenku určitých integrálů na výpočtu plochy pod parabolou.
Pokud si integraci parciálních zlomků, per partes, substituci, určité a nevlastní integrálx potřebuješ procvičit více, sbírku řešených příkladů na integrály můžeš najít na 👉🏼👉🏼👉🏼 onlineschool.cz/videosbirky/i...
Toto video najdeš také na webu Onlineschool.cz na onlineschool.cz/matematika/ur...
Registruj se k odběru, aby ti neuteklo žádné nové video! kzread.info...
Můžeš sledovat mou tvorbu na Facebooku: / onlineschoolcz
Všechna videa z matematiky a dalších technických předmětů najdeš na onlineschool.cz