Любителям: 1) Описали окружность. Где ее центр - неизвестно! 2) Провели диаметр NK перпендикулярно AB. По свойству он пройдет через M! Центр О точно лежит на NK. Но где - неизвестно! 3) Пусть О лежит выше М, тогда получаем противоречие: угол OCK = углу MCK. 4) Пусть О лежит на NK ниже М, тоже противоречие. Значит, О совпадает с М. Ура! 5) О на AB, значит только сейчас AB - диаметр, только после этого угол ACB - прямой! ВСЕ!

@irinachenkova2493

Жыл бұрын

Но ведь то что угол ACB - прямой следует из того, что угол HCE равен углу ECM по условию задачи. Значит АБ -диаметр?

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

@@irinachenkova2493 Почему это следует, по какой такой теореме? Я как раз именно ЭТОТ факт и доказываю в ролике. Говорю, что у прямоугольного эти углы равны (легко доказать), а вот если эти углы равны, то будет только прямогуольный и дальше весь ролик это и доказываю! Так как ролик для "профи", то есть для олимпиадников, то им ничего подробно разьяснить не надо. Поэтоу все сжато, и не профи может заблуждаться. Но я рад, что вы смотрите нас!

@user-js7dk5kn5d

11 ай бұрын

ещё проще: два серединных перпендикуляра к хордам АВ и СК проходят через центр. т.е.их точку пересечения - М.

@svetlanakossatch125

11 ай бұрын

😊

@GeometriaValeriyKazakov

9 ай бұрын

Никак не следует@@irinachenkova2493

Если мы доказали что треугольник прямоугольный, то высота в прямоугольном треугольнике, делит треугольники на подобные а значит 90/4=22, 5

@user-wj5vx7og4h

2 ай бұрын

!!!!!!!!))))

Просьба к постоянным зрителям: помогите отвечать "ферматистам", иначе появится множество ложных решений, а я не успеваю.

Спасибо за чудесную задачу! Два дня держала.😊

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

А зачем я ответ тогда писал выше?! Ну, ладно, все равно хорошо.

@irinachenkova2493

11 ай бұрын

@@GeometriaValeriyKazakov Спасибо! Теперь всё ясно!

@GeometriaValeriyKazakov

11 ай бұрын

@@irinachenkova2493 Ну, и отлично!

@nikolaysharapov6298

3 ай бұрын

Эти свойства мы в школе не учили. А надо бы.

Спасибо Валерию Казакову за эту задачку. Разжёг нешуточные баталии. Разбудил вечный спор между "технарями" и математиками, зачем какие-то доказательства - "трясти надо!". Вспомнился старый анекдот про технаря и математика, как они решали задачку с чайником. Задача 1. Есть чайник и кувшин с водой. Надо вскипятить воду. Решение: наливаем воду в чайник и кипятим. Задача 2. Есть чайник с водой и пустой кувшин. Надо вскипятить воду. Решение технаря - кипятим воду в чайнике, да и всё! Решение математика - выливаем воду из чайника в кувшин и приходим к ранее решённой задаче 1. Смешно, но в сказке намёк. В математике всё должно быть логически доказано исходя из аксиом и ранее доказанных теорем и никаких "намёков" и "трясок".

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Спасибо. Скореее между профи и любителями. Хотя рассказ поучительный.

Если по первым двум утверждениям опрелелено, что треугольник прямоугольный, то очевидно, что искомый угол "альфа" в равнобедренном треугольнике САМ будет рааен 90/4 (к чему лишний огород?)

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

"Огород" нужен школьникам, чтобы на ЕГЭ получить 100 баллов.

@user-kn7uq4xf1s

Жыл бұрын

Ясно. Хотя нас раньше учили по принципу: "простота - сестра таланта"

Ни за что бы не подумал, чтобы меня, любителя школ. алгебры и НЕлюбителя геометрии, записали в профи. У нас три биссектрисы ( из них СЕ - дважды). Находим соотношение отрезков основания АВ. НЕ=a, BH=a, EM=a*√2, AH=(2+√2)*a. В ∆ СЕН гипотенуза относится к катету СН, как отрезки, секомые биссектрисой, т е √2:1. Бинго! ∆ СНМ -- прямоугольный равнобедренный. Задача решена. Угол ВАС =π/4=22,5°

@GeometriaValeriyKazakov

11 ай бұрын

Да, свойством биссектрисы задача решается. Только уточните, почему EM=a\/2?

Тут гораздо проще все. Если биссектриса делит пополам угол между медианой и высотой, значит, это бисс. прямого угла в прямоуг. тр-ке. Значит, угол С 90 градусов. Далее, тогда очевидно, угол BCH - это четверть от 90 градусов, то есть 22,5. Далее, понятно, что угол BCH равен углу А. Отсюда сразу получаем ответ.

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Именно это мы и доказывали! В этом как раз и была задача - доказать, что угол ACB равен 90 гр!! Это свойство как раз и доказывалось в нашем ролике, иначе в чем смысл задачи! Все! Спасибо, что смотрите нас. Это я виноват, что несколько раз не подчеркнул данный факт.

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Смотрите прикрепленный коммент.

@user-yi2ln6nh5f

Жыл бұрын

@@GeometriaValeriyKazakov Можно ли второе утверждение (доказанное Вами) применять для решения других задач как истину ( как теорему Пифагора)? Заранее спасибо.

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

@@user-yi2ln6nh5f Точно не понял какое второе. В целом доказали одно: если биссектриса делит пополам угол между высотой и медианой, то треугольник прямоугольный. В списке теорем на ЕГЭ его нет , поэтому нужно доказывать. Это олимпиадная геометрия.

@user-yi2ln6nh5f

Жыл бұрын

@@GeometriaValeriyKazakov Спасибо! Теперь абсолютно все понятно. С уважением А.В.

Я далеко не профи, но вижу ход рассуждения таким: из условия сразу видно, что угол С прямой (п.1 и п.2 ), а медиана, проведенная из вершины прямого угла равна радиусу описанной вокруг этого треугольника окружности.Отсюда следует ,что треугольник АМС равнобедренный, в котором угол А=90°/4

@GeometriaValeriyKazakov

6 ай бұрын

Спасибо, что смотрите нас.

По теореме синусов просто доказать что cos(C/2)^2=1/2, т.е половина угла С 45 градусов.

Можно привести и "пропорциональное" решение, доказывающее, что треугольник HCM равнобедренный прямоугольный и, соответственно, угол альфа=угол BCH=22,5 градусов. Обозначим части стороны ВА (слева направо) через a, b=a, c, d. Из свойств биссектрисы (BC/c=CA/d и BC/2a=CA/(c+d)) находим, что с/2a=d/(c+d). Но 2a+c=d. Отсюда с=sqrt(2)a. Таким образом, гипотенуза CM в корень из 2 раз больше катета HC, что и доказывает равнобедренность треугольника HCM.

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Спасибо, что смотрите нас.

@user-yp2gv3nd4m

Жыл бұрын

@@GeometriaValeriyKazakov Сейчас дачно-полевые работы, поэтому редко получается отвлечься на разминку, а ведь хочется!

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

@@user-yp2gv3nd4m Долой эти дачи - так вся жизнь пройдет!

Я не профи, поэтому до такого решения догадаться не мог. Но я смог решить задачу гораздо проще. Построил треугольник BC1A таким образом, что BC1 и C1A были перпендикулярны BC и AC соответственно. Угол BCH обозначил β. Получилось, что ABC1 = β, BAC1 = 3β, AC1B = 180 - 4β. Далее легко все находится

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Возможно есть и другие решения. Предложенное мной является классическим и короче его точно нет. Можно валить тригой, тангенсами, но долго. Поэтому "гораздо проще" не бывает. Ищите ошибку у себя. Думаю, зрители вам подскажут.

@alfal4239

Жыл бұрын

"Получилось, что ABC1 = β" -- откуда это "получилось"?

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

@@alfal4239 Спасибо.

@uruuru167

Жыл бұрын

@@alfal4239 Часть шагов я пропустил. Рассмотрим треугольник CBH. Угол CBH = 180 - 90 -β = 90 - β . Мы провели BC1 перпендикулярно CB => ABC1=90 - (90 - β ) =β

@alfal4239

Жыл бұрын

"Угол BCH обозначил β. Получилось, что ABC1 = β, BAC1 = 3β, AC1B = 180 - 4β. Далее легко все находится" -- Поясните, как именно всё находится.

BH+HM=AH-HM через этого же равенства можно составить уравнения если выразить углы через тангенсы

@user-xx5wc7je6z

Жыл бұрын

Угол С отметим через 4 альфа а высоту через h

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Да, через тангенсы можно. Я ее впервые ког-да-то так и решал.

Здравствуйте, ответьте пожалуйста, как долго в среднем вы думаете над дополнительным построением в подобных уникальных задачах, очень интересно узнать

@GeometriaValeriyKazakov

8 ай бұрын

Изивините за позднний ответ. Это задача классическая, и я просто давно знаю рещегия таких задачи и читаю лекции по их решению. Если попадается новая задача, то тут все зависит от ее сложности. Сейчас я в основном сочиняю задачи, а не решаю их. Это интересней. Спасибо, что смотрите нас.

Можно рассмотреть подобные прямоугольные треугольники ВСН и САН.

@GeometriaValeriyKazakov

11 ай бұрын

Отлично. Спасибо, что смотрите нас.

Пожалуй да. Самый простой способ доказать, что если биссектриса делит угол между высотой и медианой пополам то изначальный угол этой биссектрисы прямой.

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Да, это прямая задача, но тоже неплохая для школьников.

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Посмотрите как Al Fal доказал через биссектрисы - тоже неплохо.

Угол CMH = 2a как внешний угол треугольника ACM и получается что в прямоугольном треугольнике CHM два острых угла равны по 2а, т.е. в сумме 4а. Чему равна сумма острых углов прямоугольного треугольника? И задача решена.

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

А кто шепнул, что CMH =2a? Тр. ACM ведь не сказано, что равнобедренный. Это олимпиадная задача для 9 класса.

@user-un4jx1cn7x

Жыл бұрын

Не нужны никакие доп.построения. Пусть каждый из равных углов при вершине С будет х. Тогда угол В будет равен 90-х, а угол альфа 90-3х. И обозначив СМ=m и ВА=с применяем теорему синусов треугльникам ВСМ и СМА: c/2sin3x=m/cosx и c/2sinx= m/cos3x Исключая из полученных равенств c и m, получаем: 2sin3x*cos3x = 2sinx*cosx. Далее решая уравнение sin6x - sin2x = 0 получаем x = 22,5 Остальные корни или отрицательные или больше 30. Поэтому альфа равен 90-3*22,5 = 22,5

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

@@user-un4jx1cn7x Тригонометрией можно решить. Мне больше нарвится тангенсами. Спасибо. Но что значит не нужны? Не обязательны.

Из точки С на отрезке СА отложить отрезок СF, длиной ВС=СЕ. Соединить отрезком точки Е и F Далее из подобия треугольников ЕFА и CEA и равенства треугольников ВСЕ и СЕF видно, что на Отрезке BА в точке E три равных угла: BEC, CEF и FEA - 180/3 =60 ну и далее тоже всё очевидно из треугольников EFM и FMA )))

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Извините. Не совсем понятно, откуда взялось подобие.

@Dmitriy-A

Жыл бұрын

@@GeometriaValeriyKazakov Неужто я напутал??? …. Треугольники ECA и FEA подобны потому что угол EAC= углу EAF, а угол CEA= углу EFA ..... нет?

@Dmitriy-A

Жыл бұрын

что-то у меня пошло не так (((

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

@@Dmitriy-A Все верно, треугольники подобны, хотя это не пригодилось, треьи углы равны. Но в точке E сходится не три равных угла, а углы 2x, 90-x, 90-x. Иначе, у вас угол B=60, а он 67,5.

После того как описали окружность нам известно, что СМ=АМ, радиус. Следовательно углы альфа и МСА равны, углы равнобедренного треугольника МСА, и равны с углами ЕСМ и НСЕ. По условиям задачи они равны. В треугольнике НСА угол НСА равен 3 альфа. Находим угол альфа = 90:4=22.5 градусов

@alfal4239

Жыл бұрын

Центр описанной окружности почему в точке M?

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

@@alfal4239 Спасибо, а то не отобьюсь.

@anuar_mendes

Жыл бұрын

@@alfal4239потому что СМ медиана, АМ=ВМ

@anuar_mendes

Жыл бұрын

Автор видео говорит, что угол С прямой. Это значит, что АВ будет диаметром описанной окружности вокруг прямоугольного треугольника.

@alfal4239

Жыл бұрын

@@anuar_mendes Неверно. Автор доказал, что угол С прямой. Так что докажите.

С помощью тригонометрии задача решается очень просто. Другой способ требует дополнительных построений и он мне не по зубам. 🤪 1) обозначим -- вершины треугольника -- АВС -- высоту, опущенную из вершины В на АС, -- h -- точку пересечения высоты h с АС -- L -- точку пересечения биссектрисы угла ^АВС с АС -- M -- точку пересечения медианы, опущенной из вершины В на АС, -- N -- ^ABL=^LBM=^MBN=^NBC=x --------------------------------------------- 2) AL=h×tg(x) LN=h×tg(2x) LC=h×tg(3x) NC=h×tg(3x)-h×tg(2x) 3) т. к. BN -- это медиана, то NC=AN или NC=AL+LN, 4) с учётом пунктов 2) и 3) h×tg(3x)-h×tg(2x)=h×tg(x)+h×tg(2x), после сокращения на h tg(3x)-tg(2x)=tg(x)+tg(2x) tg(3x)-tg(x)=2tg(2x) 5) для решения тригонометрического уравнения tg(3x)-tg(x)=2tg(2x) из пункта 4) нам понадобятся следующие тригонометрические формулы 5.1) tg(y)-tg(z)=sin(y+z)/(cos(y)×cos(z)) 5.2) cos(y)×cos(z)=(cos(y-z)+cos(y+z))/2 6) тригонометрическое уравнение пункта 4) tg(3x)-tg(x)=2tg(2x) с учётом формулы пункта 5.1) sin(2x)/(cos(x)×cos(3x))=2sin(2x)/cos(3x), после сокращения на sin(2x) и приведения к общему знаменателю cos(2x)=2cos(x)×cos(3x) после применения формулы из пункта 5.2) cos(2x)=cos(2x)+cos(4x) cos(4x)=0 4x=90° ➡️ x=22,5° 7) анализируя углы прямоугольного треугольника BLC, можно записать, что искомый угол ^BCL=180-(90°+3х)=90°-3×22,5° = 22,5° ☑️☑️

@GeometriaValeriyKazakov

11 ай бұрын

Спасибо за подробное решение.

Обозначим a = BC, b = AC, один из равных четырёх углов через φ. Площади треугольников CBM и CMA равны, соответственно, (1/2)*a*CM*sin 3φ и (1/2)*b*CM*sin φ. С другой стороны, эти площади равны, потому что CM - медиана (делит треугольник на два равновеликих), приравниваем, сокращаем и получаем asin 3φ = bsin φ. Далее по теореме синусов a/sin(90° - 3φ) = b/sin (90° - φ) или a/cos 3φ = b/cos φ, откуда bcos 3φ = acos φ. Перемножаем два полученных равенства и сокращаем на ab. Получаем sin 3φ cos 3φ = sin φ cos φ. Умножаем на 2 и сворачиваем по формуле двойного угла: sin 6φ = sin 2φ. Оба угла < 180°, т.к. 3φ < 90°. Если синусы таких углов равны, то сами углы либо равны, либо в сумме дают 180°. Очевидно, равенство не подходит. Поэтому 6φ + 2φ = 180°; 8φ = 180°; φ = 22,5°. Отсюда α = 90° - 3φ = 4φ - 3φ = φ = 22,5°.

@Alexander--

8 ай бұрын

Немного подумал и нашёл чуть проще: Опускаем перпендикуляры из B и A на CM. Они равны соответственно, asin 3φ и bsin φ и равны между собой, как высоты в равновеликих треугольниках с общим основанием). А высота CH - это с одной стороны bcos 3φ, с другой acos φ. И далее всё так же: приравниваем, перемножаем, сокращаем на ab, применяем формулу двойного угла и аналогичные рассуждения.

@GeometriaValeriyKazakov

5 ай бұрын

Супер!

автор привел распространенное решение не для данной, а для задачи, когда СЕ биссектриса двух углов. Для неё существует другое решение, тоже связанное с вписанными углами. Пусть Х середина АС. Тогда треуг СХH равнобедренный и угол XCH=XHC. Проведём среднюю линию MX, параллельную ВС. Тогда углы XMC=MCB=HCX=XHC. Значит около CHMX можно описать окружность. Так как угол H=90, т.е. СМ диаметр, то и угол Х=С=90.

@GeometriaValeriyKazakov

6 ай бұрын

Спасибо. да, это классика.

Красивая задача. Если знать эту теорему, что биссектриса прямоугольного треугольника делит пополам угол между высотой и медианой. Вывод. Треугольник прямоугольный . Далее. Ответ. 90/4= 22,5°. Мне же понравилось , что биссектриса прямого угла делит дугу пополам и центр вращения её из конца диаметра. И зная длину биссектрисы можно оценить пямоугольный треугольник по сторонам и углам . Хорошая мысль продлить биссектрису в описанной окружности. Биссектриса прямого угла характеризует прямоугольный треугольник.

@GeometriaValeriyKazakov

6 ай бұрын

Согласен. Спасибо, что вы до нее добрались. Одна из лучших в классике!

@GeometriaValeriyKazakov

Ай бұрын

Правда, здесь обратная задача про биссектрису.

Я её решил раньше😂

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Поздравляю!

На мой взгляд, наипростейший способ решения. Через точку С проводим прямую С, параллельную АВ. Через точку М проводим перпендикуляр к этой прямой. Перпендикуляр пересекает прямую С в точке N. Таким образом формируем прямоугольник СNMH. Из того, что угол НСЕ равен углу ЕСМ следует, что СNМН не просто прямоугольник, а квадрат, а угол NСА равен углам АСМ, МСЕ и ЕСН, а в сумме они дают 90°, по 22,5° каждый угол. По правилу параллельных прямых искомый угол САВ равен вновь образованному углу NСА и равен 22,5°

Очень нравится Ваш канал и подходы к решениям задач. Но данную задачу, как мне кажется можно решить несколько проще. Т.к. треугольник АВС прямоугольный (свойство указанное Вами), то медиана СМ равна МА. Т.е треугольник СМА равнобедренный. Следовательно угол МСА= углу САМ, значит все четыре угла при вершине прямого угла С равны альфа. Угол СЕА = 3*альфа, как внешний угол треугольника СЕА. Т.к. треугольник ВСЕ равнобедренный, то и угол В = 3*альфа. Таким образом сумма углов треугольника АВС = 3*альфа+4*альфа+альфа=8*альфа. Т.е. альфа= 180/8=22,5.

@user-zj2oe5jq1u

Жыл бұрын

Я может что-то не так понял, но Вы уже применили факт, который доказывается практически на протяжении всего видео. Суть задачи доказать, что треугольник прямоугольный и из этого найти угол.

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

@@user-zj2oe5jq1u Спасибо, Павел. У Сергея порочный круг. Бывает. Это классика, что тут добавить.

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

И вам спасибо, что смотрите нас.

@user-vy1es7mp5x

Жыл бұрын

@@user-zj2oe5jq1u Прошу прощения, если ошибся)

@user-nq2mj6rz9q

Жыл бұрын

@@user-zj2oe5jq1u А зачем доказывать то, что АВС прямоугольный, когда АСН прямоугольный и углы, прилежащие к катетам соотносятся как 3 к 1 и следовательно альфа=90/4. По моему решение этой задачи искусственно усложнили, хотя она решается за три секунды.

Решил оч сложным путем Эх Высота a прав и лев осн b левая часть тре-ка c Лев сторона и бис-са √(a²+c²) Правая сторона √(a²+(2b-c)²) Медиана √(а²+(b-c)²) 1 cos2a=(a²-c²)/(a²+c²) 2 cos2a=(a²+c²+a²+(2b-c)²-(2b-2c)²/√((a²+c²)(a²+(2b-c)²)) cos2a=(a²-c²+2bc)/√((a²+c²)(a²+4b²-4bc+c²)) 3 cos2a=(b-c)/√(a²+b²-2bc+c²) 1 3 (a⁴-2a²c²+c⁴)/(a⁴+2a²c²+c⁴)=(b²-2bc+c²)/(a²+b²-2bc+c²) (a⁴-2a²c²+c⁴)(b²-2bc+a²+c²)=(b²-2bc+c²)(a⁴+2a²c²+c⁴) (b²-2bc)(a⁴-2a²c²+c⁴)-(b²-2bc)(a⁴+2a²c²+c⁴)=c²(a⁴+2a²c²+c⁴)-(a²+c²)(a⁴-2a²c²+c⁴) (b²-2bc)=(c²(a⁴+2a²c²+c⁴)-(a²+c²)(a⁴-2a²c²+c⁴))/(-4a²c²) (b²-2bc)=(a⁴c²+2a²c⁴+c⁶-a⁶+2a⁴c²-a²c⁴-a⁴с²+2a²c⁴-c⁶)/(-4a²c²) (b²-2bc)=(3c⁴-a⁴+2a²c²)/(-4c²) 4c²b²-8c³b+(3c⁴-a⁴+2a²c²)=0 16(c⁶+a⁴c²-2a²c⁴) b=(2c+-√(c⁶+a⁴c²-2a²c⁴))/2c² 1 2 (a⁴-2a²c²+c⁴)/(a²+c²)=(a²-c²+2bc)²/(a²+4b²-4bc+c²) (4b²-4bc+a²+c²)(a⁴-2a²c²+c⁴)=(a²-c²+2bc)²(a²+c²) 4a⁴b²-8a²c²b²+4c⁴b²-4ca⁴b+8a²c³b-4c⁵b+a⁶-2a⁴c²+a²c⁴+a⁴c²-2a²c⁴+c⁶=(a⁴+c⁴+4c²b²+4a²cb-2a²c²-4c³b)(a²+c²) 4a⁴b²-8a²c²b²+4c⁴b²-4ca⁴b+8a²c³b-4c⁵b+a⁶-2a⁴c²+a²c⁴+a⁴c²-2a²c⁴+c⁶=a⁶+a²c⁴+4a²c²b²+4a⁴cb-2a⁴c²-4a²c³b+a⁴c²+c⁶+4c⁴b²-2a²c⁴-4c⁵b (4a⁴-12a²c²)b=8a⁴c-12a²c³ b=(2a²c-3c³)/(a²-3c²) +-√(c⁶+a⁴c²-2a²c⁴)=(2a²c-3c³)2c²/(a²-3c²)-2c √(c⁶+a⁴c²-2a²c⁴)=(4a²c³-6c⁵-2a²c+6c³)/(a²-3c²) (c⁶+a⁴c²-2a²c⁴)(a⁴-6a²c²+9c⁴)=(4a²c³-6c⁵-2a²c+6c³)² a=1 (c⁶+c²-2c⁴)(1-6c²+9c⁴)=(4c³-6c⁵-2c+6c³)² (c⁴+1-2c²)(1-6c²+9c⁴)=4(-3c⁴-1+5c²)² 9c⁸-6c⁶+c⁴-18c⁶+12c⁴-2c²+9c⁴-6c²+1=4(9c⁸+25c⁴+1-30c⁶+6c⁴-10c²) 9c⁸-6c⁶+c⁴-18c⁶+12c⁴-2c²+9c⁴-6c²+1=36c⁸+100c⁴+4-120c⁶+24c⁴-40c² 27c⁸-96c⁶+102c⁴-32c²+3=0 с²=0,26 с=0,5 b=(1-0,375)/(1-0,75) b=0,9625/0,25 b=3,85 1,344 tga=a/(2b-c) tga=1/7,2=0,138 1/2,26=0,42

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Отлично!

@user-ig8de5jf6h

Жыл бұрын

@@GeometriaValeriyKazakov уточню что у нас получаются 2 возможных с с²=0,26 и с²=0,18 с=0,5 с=0,42 Отсюда 2 варианта

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

@@user-ig8de5jf6h Мы c не ищем. Ищем угол. Не задана линейная величина. Если бы была задана, то треугольник задается острым углом и линейной величиной однозначно.

@user-ig8de5jf6h

Жыл бұрын

@@GeometriaValeriyKazakov ну так я и нашел угол хех Просто разбил тре-к на отрезки Далее по разным формулам и свойствам И получилось 2 варианта Но если ошибка и варинат ед, тогда если можно доказать это

Мдя... А я, блин, не ищу лёгких путей. Положив, что биссектриса и, значит, первая боковая сторона, равны 1, вторую боковую сторону и медиану выражаю через соотношение косинусов. Тогда через формулу медианы можно найти, чему равно основание в тригонометрических функциях. И тогда по теореме косинусов можно получить уравнение, которое при замене Sin^2(1/4 угла вершины)=х, в итоге даёт: x^4-2.5x^3+2x^2-0.5625x+0.046875=0. Учитывая, что 1/4 угла вершины не может быть больше 30 градусов, единственно верное решение, это х=0,146447, откуда 1/4 угла вершины=22.5 градуса, и искомый угол альфа также равен 22,5 градуса. Почему-то сия задача как-то меня тормознула - сутки пыхтел над ней )

@GeometriaValeriyKazakov

11 ай бұрын

Так это олимпиадная классика! Над ней еще Фалес пыхтел.

@user-ht7mu6bp9d

11 ай бұрын

@@GeometriaValeriyKazakov а мне тут пришла в голову мысль, если не философская, то имеющая отношение, вероятно, к комбинаторике ). Пусть 1/4 угла вершины=y, т.е. весь угол 4y. Сумма боковых углов: на первый взгляд (90-y)+(90-3y)=180-4y. А что если сумму этих боковых углов положить как единую сумму градусов, обозначенную а. И эту сумму "дважды используют" для получения значений углов: 1) a-y, 2) a-3y, откуда а=90 градусов, значит, 4y=90 градусов, значит, y=22,5 градуса, и альфа равен 22,5 градуса. Меня к этой мысли привело именно то, в каком виде получается запись боковых углов. Не последовательное вычитание из 180 градусов (например, один угол равен a, другой y, а третий 180-a-y), а то, что из половины суммы углов треугольника вычитаются части, составляющие третий угол.

А почему просто не прийти к тому, что СМ=МА как радиусы. А угла МСА и МАС равны, как углы в основании равнобедренного треугольника и равнны 90/4

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Мы как раз и пришли к этому, доказав довольно сложную задачу: центр O описанной окружности совпадает с точкой M! В этом как раз и состоит задача! Просто написано "профи", олимпиадники все всё понимают. Для любителей приходится разъяснять. Спасибо, что смотрите нас.

@GeometriaValeriyKazakov

Жыл бұрын

Смотрите прикрепленный коммент.

Проще можно ...

@GeometriaValeriyKazakov

3 ай бұрын

Спасибо. Думаю, вряд ли. Это класссическое самое короткое решение всем известной классической задачи.

Центр окружности лежит на пересечении срединного перпендикуляра к CK и прямой NK, то есть в точке M, можно без "от противного"

@GeometriaValeriyKazakov

4 ай бұрын

Можно описывать окружность и продлять биссектрису обязательно.

@sergeykitov2760

4 ай бұрын

@@GeometriaValeriyKazakov Да, мой комментарий к шагам уже после построения окружнсти и продлению бисектрисы. точки C и K лежат на окружности, значит центр окружности лежит на срединном перпендикуляре к CK, но он лежит и на прямой NK, эти две прямые пересекаются в точке M. Значит M и есть центр окружности.

5°√4⊥∠45⁰ ½∠▲²∆ логически - вы правы, секундв 29 ролика, прямоугольный треугольник вписываем в окружность, как на картинке. Если по условиям задачи 90⁰ делятся на 4 равных угла, то это 22,5⁰, и угол между медианой и большим катетом ∠МСА = ∠МАС = ∠а = 22,5⁰ т.к. ▲МСА равносторонний, со стороной R. Кстати, вписанный угол а опирается на дугу 45⁰ - половину четверти окружности - и это видно.

Здравствуйте. А не проще рассмотреть эту задачку с учётом того, что CM медиана и что треугольник BCA вписан в окружность с радиусом MB? Где угол C Прямой т.к. BA диаметр. Спасибо.

@GeometriaValeriyKazakov

11 ай бұрын

Кто сказал, что МВ - радиус. Ведь центр неизвестно где. Собственно, это мы и доказываем, в это и состоит задача! Разбирайтесь, уверен, что разбересь.

Поздно на глаза попалась. Глянула - ситуация вроде однозначная, а с чего начать - глаза разбегаются. Но честно - до окружности не додумалась сразу. Сразу в глаза бросился равнобедренный треугольник вокруг высоты и два равных по площади вокруг медианы. Для проверки составила пропорции по теореме синусов для трех треугольников (общего и по обе стороны от высоты), обнаружила среди них нужное соотношение, из которого нашла подобие. Из него получилось, что все четыре угла равны искомому. Высчитала (по суммам углов треугольников), что угол сверху прямой, ну а альфа - его четверть, 22,5. И только уже после пришла мысль, что вокруг этого треугольника можно описать окружность, где нижняя сторона будет диаметром, медиана - радиусом (половиной диаметра), ну а верхний угол в таких треугольниках всегда прямой, что хорошо доказывается.

@GeometriaValeriyKazakov

6 ай бұрын

Спасибо. Все так.

После первых двух утверждений из ролика получаем сразу 22,5 градусов - каждый из 4-х углов. Угол CBH = 90 - 22,5. Угол альфа = 90 - угол CBH = 90 - 90 + 22,5 = 22,5. Разве окружность обязательна?

@GeometriaValeriyKazakov

Ай бұрын

Да, окружность обязательна. Вы предполагаете прямой угол, а его нет в условии, его нужно ДОКАЗАТЬ. Что мы и делаем при помощи окружности. В этом суть задачи: "Доказать, что угол C прямой!!!" А 22,5 это автоматически следует, задача совсем не в этом угле.

Ещё: треугольник CMA -- равнобедренный, и угол САМ оказывается пятым углом, равным, в частности углу ВСН прямоугольного треугольника. Значит угол СВН дополнительный до 90 грд. Значит, треугольник ВСА -- прямоугольный, и угол альфа равен Пи/8. На биссектрису остаётся "автоматически" делить углы на равные.

@GeometriaValeriyKazakov

4 ай бұрын

Спасибо за мнение.

Если из свойств доказали , что угол прямой. То дальше ответ 90/4= 22,5°.

@GeometriaValeriyKazakov

3 ай бұрын

Спасибо.

Хорошо обоснованное решение. Спасибо.

@GeometriaValeriyKazakov

2 ай бұрын

Спасибо за оценку.

Простите. В моём решении ошибка: неочевидно, что треугольник СМА равнобедренный.

@GeometriaValeriyKazakov

4 ай бұрын

Бывает.

Итак: треугольник ABC прямоугольный. Тогда угол BCH равен 90:4=22,5 градуса. Из подобия треугольников ABC и BCH угол BCH и угол A равны. Ответ: 22,5 градуса.

Честно говоря, не понял цели и оправданных средств в данной задаче. Ведь факт-ки из условия уже понятно, что тр-ник АВС --прямоуг-ный!(утверж-ние 2). Медиана=полгипотенузы=R, а=1/4*90.

@GeometriaValeriyKazakov

6 ай бұрын

Это классическая олимпиадная. Ни из какого условия ничего сразу непонятно (вы можете лишь выдвинуть гипотезу). Это как раз и было целью задачи: доказать, что прямоугольный. Но мы рады, что вы смотрите нас и пытаетесь вникнуть. Спасибо.

Здесь окружность и не нужна! Все вычисляется из медианы и суммы углов треугольника.

@GeometriaValeriyKazakov

6 ай бұрын

Спасибо. Думаю вряд ли. Но напишите.

Подождите, зачем эта возня??? если треугольник прямоугольный, значит АВ это диаметр... значит альфа равна одному из этих углов при С... а дальше дело сложения углов...

@GeometriaValeriyKazakov

Ай бұрын

ГНе-не. Это вы сами придумали, что прямоугольный. А на самом деле это как раз и нужно доказать. Зачем тогда все парятся?

@zubenko1592

25 күн бұрын

@@GeometriaValeriyKazakov ну так по второму утверждению, которое вы в начале сказали, это же становится очевидным.

@zubenko1592

25 күн бұрын

все ясно. внимательнее посмотрел. это вы доказываете это утверждение...

@GeometriaValeriyKazakov

25 күн бұрын

@@zubenko1592 Спасибо за понимание.

Хорошо бы ещё доказать, что такой треугольник вообще существует (но мне лень...). То есть надо доказать, например, что если медиана делит пополам угол между биссектрисой и стороной, то и высота может делить (или обязательно делит?) пополам угол между биссектрисой и другой стороной. Кстати, не исключено, что уже в ходе такого доказательства попутно выяснится, что такой треугольник - обязательно прямоугольный, и дальнейшее решение упростится. А то ведь может быть, что здесь как в той задаче, например, что гипотенуза равна 10, а радиус вписанной окружности =3, надо найти площадь (или углы - неважно). Если просто решать, то прекрасно получается некая цифра. Но такой треугольник вообще не может существовать! (например, поскольку радиус описанной окружности равен половине гипотенузы, т.е 5, а диаметр вписанной окружности должен быть заведомо меньше радиуса описанной).

@GeometriaValeriyKazakov

Ай бұрын

Да, есть такие теоремки: 1) если прямоугольный - делит 2) если делит - прямоугольный. Доказываются также.

Using trig: kzread.info/dash/bejne/f4uOzNJsd6-tcrw.html