Сумма ряда 1/n^2. Олдскульный способ Эйлера для решения Базельской задачи
В этом видео будем находить сумму ряда обратных квадратов: 1/n^2. Это знаменитая Базельская Задача, впервые решенная Леонардом Эйлером. Сейчас обычно находят сумму такого ряда, используя разложения в ряды Фурье, но во времена Эйлера они еще не были открыты. Здесь рассмотрим один из способов нахождения суммы ряда 1/n^2, который предложил Эйлер, т.е будем использовать только те инструменты, которые были известны в 18 веке.
В этом видео получено разложение в ряд для (1+x)^a: • Дифференциальное уравн...
В этом видео найден интеграл Валлиса от (cos x)^n: • Интеграл (cos x)^n. Об...
В этом плейлисте собраны видео с другими способами нахождения суммы 1/n^2: • Сумма ряда 1/n^2. Базе...
Если у вас есть возможность, поддержите канал:
сбербанк: 4276160020048840
тинькофф: 5536914075973911
Пікірлер: 53
Гениальность Эйлера не знает границ хд
@M.Davit613
2 жыл бұрын
Самый лучший математик в мире.
@chu6275
Жыл бұрын
воистину!
Хорошее, подробное объяснение. Очень красивое решение. Большое спасибо.
Фурье с автоматом впечатляет! :)
Решение понятное, и не очень сложное. Но как до него догадаться, вот это загадка.
Очень красивое решение! Так из далека зашли, что в середине ролика я забыл конечную цель, что мы ищем сумму обратных квадратов, спасибо за видео)
Спасибо за видео. Когда ум сочетается с прекрасным голосом это сплошное наслаждение
Спасибо большое, лучшее обьяснение, добавлю в избранное!!
Отличное объяснение. Спасибо. Сложное доказательство стало понятным.
спасибо за шикарное видео!
Блогадарью за все
Прекрасно!
Эйлер провел большую работу по исследованию разных рядов. Кто интересуется, можно почитать его известный труд "Введение в анализ бесконечных"
@Hmath
3 жыл бұрын
да, только хотя и есть издание на русском языке середины 20 века (сам Эйлер писал вроде такие книги только на латыни, как было принято в те времена), всё равно нужно быть готовым к обозначениям и изложению, свойственным 18 веку :) Я бы сказал, что это скорее интересно с исторической точки зрения, чем с математической :)
Здорово! А как догадаться до такого интеграла?)
@Hmath
3 жыл бұрын
да нужно просто было всякие разные пробовать найти, а потом раз: ооо, я где-то уже такой ряд видел :) я на него так и наткнулся, а потом в книге нашел, что это уже придумали 3 века назад :)
@user-klepikovmd
Жыл бұрын
@@Hmathна самом деле, вся современная математика уже описана в ещё не расшифрованных дневниках Эйлера. Ну или Абеля. (На самом деле нет, но близко 😅)
Если что, есть еще одно доказательство - kzread.info/dash/bejne/c511p8OEg6uee9o.html. Эдакий комплексно-тригонометричски-комбинаторный микс, но в итоге все сводится к теореме "О двух милиционерах".
Что ни откроют, дедушка Эйлер все это уже открыл раньше)
Хорошо. А вы не хотите записать видео на какую-нибудь тему из линейной алгебры? Это было бы замечательно
@Mathematics_and_physics
3 жыл бұрын
++
здравствуйте. можно еще видео суммы обратных факториалов ? в русскоязычном ютьюбе я не нашёл видео с объяснением
@Hmath
2 жыл бұрын
если такую: sum 1/n! , то у меня есть подобное. одно из самых первых видео на канале: kzread.info/dash/bejne/nadq2ZaQppm9hqQ.html
@user-bd6yf9ds9k
2 жыл бұрын
@@Hmath , не увидел. спасибо
@Hmath
2 жыл бұрын
сейчас заметил, что дал ссылку не на то видео :) там в следующем нужная сумма была найдена :) коротко: используется разложение e^x в ряд тейлора: e^x=sum(x^n/n!) (n от 0 до бесконечности) => sum(1/n!) = e
@user-bd6yf9ds9k
2 жыл бұрын
@@Hmath , по вашей вчерашней ссылке я понял, что такой ряд точно сходится). через разложение в ряд тейлора я понял, но я думал есть какой-то более интересный способ разложить и найти конкретную сумму
@Hmath
2 жыл бұрын
нее, ну другому-то числу сумма не будет равна всё равно :)
Настоящие тру ищут по Эйлеру
шок контент. я бы даже сказал пздц.
Ну если Эйлер и Риман не вывезли гипотезу Римана, то никто не сможет.
А ведь по такому принципу замены и ряд 1-1+1-1+... тоже находится и равен 1/2 🤔
@arsenypogosov7206
Жыл бұрын
Тут важно что мы знаем что ряд сходится. Он сходится например потому что монотонный => можно сравнить с несобственным интегралом от 1 до бесконечности от x^(-2)dx, который сходится.
@bbooss7572
10 ай бұрын
@@arsenypogosov7206ак гармонический ряд тоже монотонно убывает, однако он расходится
@arsenypogosov7206
10 ай бұрын
@@bbooss7572 из монотонности не следует сходимость, из нее следует признак сравнения с интегралом. Который в данном случае говорит что ряд сходится.
А разве не проще найти сумму обратных квадратов через обычный интеграл?
@Hmath
9 ай бұрын
не знаю, что значит через "обычный интеграл", но здесь плейлист, в котором собраны различные способы нахождения суммы этого ряда: kzread.info/head/PLK_CvALNo5MdfH4FPOB0nKO697K5aWfBM
@alexandermorozov2248
9 ай бұрын
О, супер, спасибо! 👍
Не понимаю. Если количество слагаемых бесконечно, то как можно вычислить их точную сумму? Мы же не знаем последнего слагаемого?
@Hmath
11 ай бұрын
начните с изучения того, что такое предел. Может тогда станет понятнее, потому что бесконечная сумма - предельное значение суммы конечного числа слагаемых.
@ouTube20
11 ай бұрын
@@Hmath Передел - это значение к которому стремится последовательность, но не равняется ему.
@bbooss7572
10 ай бұрын
@@Hmathзачем человеку это изучать, если можно просто объяснить
@Hmath
10 ай бұрын
@@bbooss7572 Так что же тогда просто не объяснили?
@orhan771
8 ай бұрын
@@ouTube20 ravnyayetsya predel. predel...
все члены исходного ряда положительны и больше нуля. Разве это не значит, что сумма ряда равна бесконечности?
@Hmath
Жыл бұрын
нет, а почему это должно быть так? простой пример, сумма геометрической прогрессии: 1+1/2+1/4+1/8+1/16+... = 2
@elenagaranina5904
Жыл бұрын
@@Hmath а почему нет? Разве сумма бесконечного количества положительных чисел не должна увеличиваться с каждым новым членом? То есть, она и увеличивается бесконечно, хоть и на малую величину.
@elenagaranina5904
Жыл бұрын
@@Hmath Или иначе. Допустим, мы как-то определили, что сумма равна конечному числу. Но ведь сумма ряда будет увеличиваться с каждым новым членом. Что помешает превзойти конечное число?
@Hmath
Жыл бұрын
откройте хотя бы википедию и посмотрите, что такое сумма ряда. Сумма ряда, это предельное значение, вы его никак не "превзойдете" сколько не суммируйте. Любое ваше суммирование - это суммирование конечного числа слагаемых, и эта частичная сумма будет всегда меньше предельного значения (которое и называется суммой ряда)