Спасибо за подробное решение необычного уравнения.

Мозг отказывается это понимать, смотрю решение, ставлю Валерию лайк 😅

Ну, спасибо. Аж, серое вещество зашевелилось, напряглось.😊

Здравствуйте, Валерий! Вот тут задачка, не могу решить: Определить все ненулевые натуральные числа n, для которых уравнение x•[1/x] + (1/x)•[x] = n/(n+1) имеет точно 2²⁰²³ различных положительных решения ([x] - целая часть числа x)

@F1r1at

8 ай бұрын

Да вообще легко. Сначала понимаем, что у нас тут по сути будут обратные дроби, то есть решения типа х = 2/3 и х = 3/2 будет оба верными, если верно хотя бы одно из них, т.к. при х 1 левая часть равна нулю, а если мы вместо x подставим 1/x в правом выражении, то получим x•[1/x] , так что нам нужно найти 2²⁰²² решения для [x]/x = n/n+1, но тогда мы получаем, что x = [x]*(n+1)/n. При этом x не должен быть целым числом, чтобы мы не получили [x]/x = 1. Разумеется [x] при этом должен быть равен целому значению x. Но тогда для любого [x] меньше n будет существовать такой x при котором будет выполняться данное решение. При этом при [x] кратному n (включая n) x это целое число, а при остальных [x] > n у нас [x] не равен целой части x (можем проверить например при [x] = n+1 как (n+1)(n/n + 1/n) = n + 1 + 1 + 1/n, что больше на 1 + 1/n чем наш заданный [x]) . Так что, чтобы получить 2²⁰²² возможных решения нам нужен n равный 2²⁰²² + 1, тогда вплоть до [x] = 2²⁰²² + 1 (не включая) мы получим некоторую дробь умноженную на [x]. Разумеется [x] для каждого такого [x] возможен только один. Итого ответ - единственное возможное n это 2²⁰²² + 1.

@F1r1at

8 ай бұрын

Чтобы понятнее было, x = [x]*(n+1)/n = [x]*(n/n + 1/n) = [x]*(1+1/n) = [x] + [x]/n. Подходящая дробь если [x] = n x = [x] + a где a >=1, что не возможно.

Spasibo!

t=99x, [100t/99]=t - целое t

Круто!

Валерий, по-моему нужно было добавить, что если 0

Тот же вопрос, как и к задаче с 2х - каким образом делается переход от "возможных значений" к "являются корнями"? Откуда следует, что каждое значение из интервала будет решением уравнения?

@praleks

8 ай бұрын

Тут очевидно не хватает одного действия, а именно что {100t/99}={t/99+t}={t/99} => {t/99}=t/99, а это равенство выполняется для любых t при которых t/99 меньше 1 и больше или равно 0

@user-sx4tu9su5d

8 ай бұрын

@@praleks Да, примерно также себе представлял, но очень удивительно, что этот шаг пропущен в решении(

Довольно легко до этого ответа дойти просто логически. 99х это какое-то целое число. Значит х это какое-то число делённое на 99. Замечаем что 100/99 это 1 целая и 1/99. Видим что при умножении этого числа на что угодно меньше 99 мы получаем в целой части то же число, на которое мы его умножили, при умножении на 99 получаем 99 целых и 99/99, что равно 100. Как минимум эта лишняя единица будет у нас сохраняться и при дальнейших увеличениях числа. Вот и получаем ответ, что х = любое число от 0 до 98 включительно, делённое на 99.

@VP_71

8 ай бұрын

Мозг отказывается это понимать))

@F1r1at

8 ай бұрын

@@VP_71А что именно не понятно?

@VP_71

8 ай бұрын

@@F1r1at читаю по-русски, а кажется, как будто, по французски.. Набор символов...

редко встречаются задачи, где так много ответов))

подумал, что отрицательные тоже подходят, 0, +/-1/99, ..., +/-98/99 оказывается, что нет

0/99, 1/99, 2/99, 3/99, ... , 98/99. Всего 99 корней. Решается в уме, но прикольная. Заценим, как её порешал профессионал. UPD Профессионал решал так же, что неудивительно.

Если заменить 100х на 99х+х то становится ясно , что х это отбрасываемая дробная часть. А правая часть должна быть целой. Значит х кратно 99. Из чего следует что х равно n/99 , где 0

А вот корень 1/101 тоже подходит как и все 1/n где n>100

@user-Ira653

8 ай бұрын

Нет, не подходит, так как в этом случае правая часть = 99/101 не является целым числом.

Задача решена про что и зачем