Una buona idea e ben sviluppata 👍👍. Si poteva però ricordare che il logaritmo in C è una funzione a infiniti valori, rendendo anche infiniti i valori del rapporto che hai studiato.

@GaetanoDiCaprio

2 жыл бұрын

Certo corretto, grazie per la precisazione!

Solo un appunto: il logaritmo in campo complesso diventa una funzione polidroma cioè ad infiniti valori, per esempio anche e^(i3𝝿) dà -1 e così tutti gli angoli del tipo 𝝿+2k𝝿. Bisognerebbe specificare che nel calcolo del video si sceglie il foglio di Riemann con k=0.

@GaetanoDiCaprio

2 жыл бұрын

Assolutamente corretto, grazie!

Complimenti. Ho appena scoperto il canale e mi sono subito iscritta. Sei molto bravo a spiegare. Preciso e sintetico, ma anche evidentemente appassionato, cosa che trasmetti a chi ascolta. Grazie!

@GaetanoDiCaprio

Жыл бұрын

Grazie!!

bella idea Gaetano, e bel video, molto interessante. Complimenti per il canale, a presto!

@GaetanoDiCaprio

Жыл бұрын

Grazie, a presto!

Punto di vista interessante che ho apprezzato, sebbene il fatto che un numero Reale possa essere espresso come rapporto di due quantità inesistenti si può banalmente applicare a qualunque numero Reale, ma questo non modifica in alcun modo il significato dello stesso nel contesto dei Reali o debba indurne a modificarne la percezione. Sicuramente Pi greco è un numero così affascinante che risulta interessante ritrovarne una presenza significativa anche nel mondo dei numeri Complessi. Complimenti infine per le risposte che leggo negli altri commenti che ritengo essere, di fatto, un prezioso “addendum” al video.

@GaetanoDiCaprio

6 ай бұрын

Osservazioni assolutamente corrette, la particolarità di Pi greco è che le due quantità "inesistenti" non sono numeri qualsiasi ma molto famosi

Grazie Gaetano! Proprio una curiosa dimostrazione. Iscritto subito!

@GaetanoDiCaprio

2 жыл бұрын

Grazie a te per il commento e per esserti iscritto!

Un qualsiasi numero reale puo' essere espresso come somma di due numeri complessi e coniugati percio' "inesistenti"

@GaetanoDiCaprio

2 жыл бұрын

Vero

Bravo! Interessante e curioso.

Complimenti per l'esposizione, sempre chiara e precisa.

@GaetanoDiCaprio

2 жыл бұрын

Grazie

il metodo archimedeo di calcolo del pi greco mediante approssimazioni poligonali successive si puo' riformulare in senso moderno sulla base delle proprieta' di continuita' e completezza di R, che garantiscono la convergenza; piu' in esteso, le funzioni goniometriche, dirette e inverse, possono definirsi rigorosamente (solo) tramite la teoria dell'integrale (applicata a misure di archi di curve regolari); solo passando attraverso questo stadio di calcolo in R e' possibile attribuire in modo teoricamente consistente una forma polare ai numeri C, altrimenti i numeri C, potrebbero essere trattati solo nella forma "rettangolare". Quindi la definizione di pi in termini di formule polari sui complessi e' in realta' una mera eredita' di una preesistente definizione mediante misura integrale della circonferenza. In altre parole e' l'arco reale (es. pi) che definisce il logaritmo naturale di argomento complesso (o in specimine immaginario) e non il viceversa... Vero e' che durante lo sviluppo storico dei numeri C, nel xviii secolo ci sono state diverse "forzature" nelle definizioni, soprattutto riguardo all'impiego di funzioni goniometriche, che hanno portato a petizioni di principio, le quali sono state sanate solo a partire dalla fine del xix secolo.

@GaetanoDiCaprio

2 жыл бұрын

Grazie per il commento, molto interessante. Come già detto, di fatto il video non ha la pretesa di mostrare una definizione alternativa di pi greco ma solo di mostrare un'uguaglianza che io reputo molto interessante. Per quanto riguarda invece la definizione rigorosa delle funzioni goniometriche, io conosco tre modi, ugualmente rigorosi, di farlo senza ricorrere alla geometria. 1) come soluzioni di un'equazione differenziale; 2) come serie di potenze; 3) come omomorfismo continuo da R (come gruppo additivo) all'insieme dei complessi di modulo unitario (come gruppo moltiplicativo). I testi (sacri) a cui faccio riferimento sono l'Apostol, il Rudin e il Prodi. La definizione di cui lei parla basata sulla "teoria dell'integrale" corrisponde a una di queste? Mi può indicare gentilmente il testo a cui fa riferimento? Grazie mille!

@usuraiopeppino

2 жыл бұрын

@@GaetanoDiCaprio Se interpreto bene le parole del primo commento, la sua obbiezione è che, per definire pi greco come rapporto tra lunghezza della circonferenza e lunghezza del suo diametro, bisognerebbe prima avere una definizione rigorosa di lunghezza della circonferenza. Quest'ultima è di solito data sotto forma di integrale, ma a naso credo che la teoria della misura dovrebbe permetterci di assiomatizzare il concetto di lunghezza per archi qualsiasi senza usare alcun integrale.

Interessante come tutti i tuoi video. Una domanda su questo però: hai ricavato pi-greco dal rapporto di due quantità inesistenti ma questo non esclude che ci siano altri modi per comprenderlo. Potremmo dire (?domanda) che, come nel caso di un diametro e della sua circonferenza (ma in generale per le quantità irrazionali), pur esistendo entrambe come quantità sono però "incommensurabili" nel senso letterale del termine ossia che "non hanno una misura comune" intendendo, con ciò, un fatto ben specifico cioè..... non esiste alcuna porzione (definita mediante numeri razionali) di una delle due misure TALE CHE ripetuta un NUMERO NATURALE di volte assuma lo stesso valore dell'altra? Credo che in questo fatto si tocchi l'irriducibile differenza che c'è tra le quantità "della geometria" (concepite come assolutamente continue) e quelle della "matematica" che, invece, servendosi del concetto di numero introduce, per la necessità della sua rappresentazione in cifre, un'intrinseca "discretizzazione". Personalmente sono dell'idea che il solo vero numero sia solo quello naturale perché definisce una "ripetizione puramente quantitativa" di "qualcosa" che, per essere tale, non deve essere deducibile dal concetto di "numero". Perdona la lunghezza, spero di non aver detto una sequela di castronerie. Ciao!

@GaetanoDiCaprio

2 жыл бұрын

Grazie per la riflessione! Ancora nel diciannovesimo secolo il matematico Kronecker affermava: "Dio fece i numeri interi; tutto il resto è opera dell'uomo". Infatti durante l'ottocento i matematici riescono nell'ardua impresa dell'aritmetizzazione dell'analisi: ricondurre i numeri reali ai numeri interi. Ma l'assioma di completezza rimane uno spartiacque fondamentale tra la matematica del contare e quella del misurare

@francescoborghero5509

Жыл бұрын

Complimenti per lezioni estremamente chiare e belle. Ci vorrebbero molti Di Caprio fra gli insegnanti di Matematica sia a livello di scuola secondaria sia a livello universitario. BRAVISSIMO Un ex docente universitario di Fisica matematica.

Stupendo sto video, grande professore

@GaetanoDiCaprio

Жыл бұрын

Grazie!

Mi sembra una tautologia, perché nell'espressione trigonometica cos (p greco) = -1 , già ci troviamo in una circonferenza di raggio unitario , c= 2.(p greco), dove il p greco è già definito come rapporto tra due quantità reali

@GaetanoDiCaprio

2 жыл бұрын

Corretto, infatti non dico mai che quel rapporto può essere la DEFINIZIONE di pi greco. E' solo un'identità molto interessante (secondo me)

@ilprofdimateefisica7924

Жыл бұрын

Ed è quello che ho pensato anch'io vedendo l'ultima considerazione alla fine del video.

Il ragionamento, o la dimostrazione, non fa una piega. Interessante. Bravo!

@GaetanoDiCaprio

2 жыл бұрын

Grazie per il commento!

Una intrigante definizione alternativa di pi greco!!!

Elegantissima dimostrazione, in cui lei ha richiamato la più bella formula matematica di sempre: e^(iπ) + 1 = 0. Grazie.

@GaetanoDiCaprio

Жыл бұрын

Grazie

Super !

@GaetanoDiCaprio

2 жыл бұрын

Grazie

Aiutami a capire... ma se (e) alla i pigreco = (-1) allora (e) alla i pigreco =(-1) alla pigreco (posso scrivere -1 elevato a un qualunque numero che ottengo sempre -1). Allora, per le proprietà delle potenze posso scrivere (e) alla i = -1. Sicuramente ho fatto degli errori ma non riesco a capire quali... 😔... il mio ragionamento è giusto oppure ho fatto un casino?

@GaetanoDiCaprio

2 жыл бұрын

Non è vero che -1 elevato a un qualsiasi numero fa -1. Ad esempio (-1)^2 = 1. Nei complessi (-1)^π = e^(iπ^2)

@danilodonatucci2969

2 жыл бұрын

@@GaetanoDiCaprio ma -1 alla pigreco fa -1. Posso scrivere-1 come-1 alla pigreco?

@GaetanoDiCaprio

2 жыл бұрын

@@danilodonatucci2969 come ho già detto -1 alla π NON fa -1

@danilodonatucci2969

2 жыл бұрын

@@GaetanoDiCaprio la mia calcolatrice infatti ha fatto le "pizze"... 😔

@danilodonatucci2969

2 жыл бұрын

@@GaetanoDiCaprio ci sono!! Posso elevare entrambi i membri al quadrato dell'espressione (e alla ipi = -1)? Se l'uguaglianza viene rispettata avrei e alla 2ipigreco = 1. Potendo esprimere 1 come 1 alla 2pi, avrei che ( e alla i ) = 1.... Non so se è giusto ma... se lo fosse sarebbe molto strana questa uguaglianza.

Abbia pazienza, la mia cultura è molto limitata. Ho sempre pensato che in una circonferenza con raggio , uno dei due valori , raggio o circonferenza sia un numero trascendentale . È possibile che sia raggio che circonferenza siano numeri trascendentale?

@GaetanoDiCaprio

2 жыл бұрын

Certo è possibile. Ad esempio se il raggio misura pi greco, la circonferenza misura 2 (pi greco)^2, entrambi numeri trascendenti (non "trascendentali" scusi se la correggo)

@lorenzogiacchello4742

2 жыл бұрын

@@GaetanoDiCaprio ha fatto benissimo a correggere . Quindi qualunque cerchio ha, almeno, la circonferenza o il raggio trascendenti. La pregherei se può confermare. Ovvero un numero trascendente non può essere trasformato tramite qualsivoglia operazione in numero reale. Mi scuso per la mia scarsità di conoscenze. Grazie

@GaetanoDiCaprio

2 жыл бұрын

@@lorenzogiacchello4742 No, non confermo. Un numero trascendente è un numero reale. Gli irrazionali sono un sottoinsieme dei reali e i trascendenti sono un sottoinsieme degli irrazionali

Questa faccenda della negletta giustapposizione algebrica fra uguaglianza ed equivalenza continua a perseguitarmi... Dovrò dissuadermene. Grazie.

@GaetanoDiCaprio

2 жыл бұрын

Grazie a lei per il commento

Interessante, ma faccio una considerazione più "elementare", per la quale a non esistere è una delle due grandezze. Mi spiego: se considero una circonferenza di diametro noto, finito, es. 5 metri, allora dato che la circonferenza sarà 5 * PI metri, e dato che PI è trascendentale o infinito, allora la circonferenza sarà infinita, quindi di lunghezza non definibile. Viceversa posso dire di avere una circonferenza nota di 5 metri della quale voglio calcolarne il diametro: avrò un diametro infinito (a scanso di equivoci "con infiniti decimali"). Qui mi nasce il paradosso: come è possibile che non riesca a raggiungere il concetto di lunghezza finita se il diametro (o circonferenza) è lì, disegnato su un foglio che inizia e finisce? Ovviamente è teoria la mia visto che tanto non si potrebbe comunque misurare nulla perchè non esistono strumenti di misura che arrivano oltre certe approssimazioni decimali (lo stesso metro di riferimento al museo del Louvre è sicuramente passibile di micro dilatazioni che ne alterano la lunghezza effettiva rispetto al metro teorico che appunto non esiste in quanto è immisurabile). Che poi basta pensare a una frazione periodica (es. 10/3) avrò tre segmenti da 3.333333... cioè di lunghezza indefinita.

@GaetanoDiCaprio

2 жыл бұрын

Grazie Massimo di condividere le tue osservazioni. Ho l'impressione che tu faccia confusione tra l'esistenza e l'avere una espansione decimale infinita. Magari in un prossimo video cercherò di affrontare il delicato concetto di infinito in matematica

@aluminio4774

Жыл бұрын

Infatti sei tu che ti confondi, non è infinita, ma indefinita, o meglio indefinibile con precisione usando il sistema di numerazione decimale. Se vuoi usare i numeri puoi decidere il livello di approssimazione a cui fermarti nella tua definizione della quantità, se invece lo disegni, la quantità è già lì sul foglio.. Comunque non credere che il disegno sia meno approssimato..😄

@alexbax1974

Ай бұрын

Il fatto che la misura di una qualunque lunghezza realmente esistente sia esprimibile con un numero infinito di decimali non significa che non sia perfettamente delimitata e dunque definita. Esisteranno sempre un numero razionale (con un numero finito di decimali) inferiore ed uno superiore entro i quali essa sarà contenuta. Tanto maggiori saranno le cifre decimali degli estremi che la delimitano, tanto più stretto sarà l’intervallo. Questo fa capire che la misura esiste in modo preciso. Poi in realtà se entriamo più prepotentemente nella fisica della materia e dunque nella meccanica quantistica si perde la possibilità di una misurazione di quel tipo dovendo abbandonare l’idea del continuo a beneficio di quella quantizzata. Anche gli effetti relativistici di perturbazione dello spazio tempo compromettono la possibilità di una misurazione precisa e assoluta, ma dal punto di vista squisitamente matematico e geometrico euclideo, il problema non si pone.

Se dobbiamo essere precisi log se non è specificato è in base 10 non in base e, in base e si scrive ln (logaritmo naturale)

@GaetanoDiCaprio

2 жыл бұрын

In realtà quella sul simbolo "log" senza base è una convenzione non "universale". In ambito tecnico-ingegneristico viene interpretato come logaritmo in base 10 (e si preferisce il simbolo "ln" per logaritmo naturale). Per i matematici "puri", invece, "log" è il logaritmo in base e, l'unica base "interessante" per i matematici è la base e. Comunque grazie per il commento.

@Anonimo-cm7mp

2 жыл бұрын

@@GaetanoDiCaprio Ok, grazie non lo sapevo la storia dei matematici puri. Oggi ho imparato una cosa nuova.

@drdiegocolombo

2 жыл бұрын

@@GaetanoDiCaprio Per il logaritmo in base 10 si adotta la scritura Log (con la l maiuscola). O almeno cosi era negli 80-90 del Liceo ;)

@GaetanoDiCaprio

2 жыл бұрын

@@drdiegocolombo Sì certo, quella è un'altra convenzione, a cui siamo abituati in Italia, grazie ai nostri testi del liceo... Ma all'estero non ce n'è traccia...

in pratica per avere senso nel titolo del video va sostituito numeri inesistenti con numeri complessi con sola parte immaginaria

@GaetanoDiCaprio

2 жыл бұрын

Quantità è un termine che normalmente si associa ai numeri reali, ecco perché parlo di quantità inesistenti. Poi spiego che quelle quantità che non esistono come numeri reali, esistono come numeri immaginari. Certo, avrei potuto scrivere "rapporto tra numeri immaginari". Grazie del commento!

@xGhiged

2 жыл бұрын

@@GaetanoDiCaprio Che poi, si può dire che i numeri reali sono ''poco reali'' quanto i numeri complessi. Andrebbe divulgato piu spesso questa cosa e del fatto che invece, per le quantità ''reali'' per davvero, ci si può rifare al campo dei costruibili. Comunque video ben fatto, hai catturato la mia attenzione ;D

@GaetanoDiCaprio

2 жыл бұрын

@@xGhiged Grazie

In realta' il rapporto sarebbe (2n+1)*pi con n un numero naturale, quindi se n = 0 hai il caso specifico di Pi

@GaetanoDiCaprio

2 жыл бұрын

Giusta precisazione, grazie

potrebbe produrre un video sulla ipotesi di riemann

@GaetanoDiCaprio

2 жыл бұрын

Sono stati scritti molti libri sull'argomento e certamente si trovano già molti video validi su KZread. La formulazione dell'ipotesi in sé non è complicatissima, ma le implicazioni che ha sono molteplici. Non so se sono in grado di darne un'idea soddisfacente con un video.

Eccezionale veramente

@GaetanoDiCaprio

2 жыл бұрын

Grazie!

io quando andavo a scuola dicevano che dovevamo scrivere pgreco = con sopra il simbolo ~ quello che si fa con Alt+126 (tastiera numpad) e quindi si legeva pi greco vale circa 3.14

@GaetanoDiCaprio

Жыл бұрын

Sì, Pi greco vale CIRCA 3.14

@alieno1183

Жыл бұрын

​@@GaetanoDiCaprio si arrontonda a 3,14 per semplicità dei calcoli ^_^ !

@GaetanoDiCaprio

Жыл бұрын

@@alieno1183 è un arrotondamento che può servire per risolvere alcuni problemi pratici. Dal punto di vista matematico non ha alcun interesse né rilevanza.

Manca un chiarimento nel passaggio fondamentale da cos(n) +isen(n) a e^(in)

@GaetanoDiCaprio

Жыл бұрын

È l'identità di Eulero, merita trattazione a parte

1:06 È un trabocchetto? R non è ordinabile...

@GaetanoDiCaprio

Жыл бұрын

R non è ordinabile?? Se fosse vero sarebbe un bel problema... R è il più importante insieme ordinato della matematica

@hardtimes2597

Жыл бұрын

@@GaetanoDiCaprio Ora ricordo, avevo il dubbio infatti del termine. C'è una relazione di ordine su R ma non è numerabile, forse questo concetto mi ha confuso e indotto a sbagliare termine. Quindi si può dire che un insieme numerabile è anche ordinabile ma non il viceversa? Grazie.

@GaetanoDiCaprio

Жыл бұрын

@@hardtimes2597 La cardinalità di un insieme e il fatto che sia ordinato o meno sono concetti che non ho mai collegato. Comunque sicuramente se un insieme è numerabile allora si può ordinare.

L averei voluto come prof. di matematica!

@GaetanoDiCaprio

Жыл бұрын

Sei sicuro? Guarda che sono un prof cattivissimo! 😂

@fernandoprevi3435

Жыл бұрын

@@GaetanoDiCaprio 🤣😂

Ho i miei dubbi

@GaetanoDiCaprio

2 жыл бұрын

Chi non ne ha

Lei non avrebbe passato l'esame di analisi 1 ad ingegneria dicendo che "...la radice quadrata di -1 non esiste..."... esiste eccome ma non nell'insieme dei numeri reali!

@GaetanoDiCaprio

2 жыл бұрын

Il fatto che esista nei complessi è ben mostrato nel video

Il ragionamento è errato fin dalle premesse. Infatti se prendiamo il metro realissimo conservato nel museo delle misure e immaginiamo di farne una circonferenza, la stessa divisa per il suo diametro darà pi greco. Il giochetto dei numeri complessi rappresenta un sottoinsieme e serve per attirare like. Addio.

@GaetanoDiCaprio

2 жыл бұрын

Addio

La conoscevo .

@GaetanoDiCaprio

6 ай бұрын

👍