Super vidéo ! Merci Guillaume pour cette vidéo, je ne m'attendais pas à te voir là 😅

Guillaume mais quelle star

Bonne chance Guillaume

Il est fort le mec.

@stonewall573

28 күн бұрын

Et il est beau en plus de ça

@mehdielabdaoui1955

28 күн бұрын

@@stonewall573 oui bogoss.

bonjour, très intéressant, je ne connaissais pas. Sur la fin on peut simplifier un peu pour partie famille totale (ie sans approximation, sans TCD, sans Fubini, juste un critère de type Parseval vrai dans tout Hilbert séparable), à partir de f=sum ak zk, on a donc f s'écrit sum bk ek. On a déjà montré que ek est une famille orthogonale, il suffit de prouver que sum |bk|^2

@totototo8119

27 күн бұрын

coquille : y a quand même du Fibini pour exprimer norme de f à partir des ak

@philcaldero8964

27 күн бұрын

Merci toto, tout simplification est la bienvenue

@totototo8119

27 күн бұрын

@@philcaldero8964 oui, merci. Correction : est "...une famille orthonormée" (au lieu de" orthogonale", ça allait de soi, mais bon tel quel c'était incorrect).

@totototo8119

27 күн бұрын

Finalement c'est pas plus simple, en plus de Fubini, en rédigeant il y a aussi le corollaire de la preuve de Riesz Fischer (convergence L2 implique cvg pp).

C’est du niveau de l’interne ?

@philcaldero8964

27 күн бұрын

Non. C est de l externe plus plus+

@mehdielabdaoui1955

27 күн бұрын

C'est une blague j'espère 🤭

merci bien, ça va m'éviter de mourir intérieurement en lisant des bouquins☺️ j'ai des questions concernant la continuité des morphismes d'évaluation : → évidemment en dim ∞ on perd l'équivalence des normes et j'imagine qu'on peut trouver des produits scalaires tels que la topologie induite ne rend plus l'évaluation continue, cependant à quel point est ce que c'est fréquent, rare ? → l'évaluation continue est elle une hypothèse lourde ? → est ce qu'on a des exemples d'espaces raisonnablement fréquemment rencontrés munis d'une structure qui met en défaut cette continuité ? → est ce qu'on dispose de conditions suffisantes ou de conditions nécessaires pour cela ? c'est peut être abusé toutes ces questions mais je suis en stat et y a beaucoup d'espaces à noyaux reproduisants et je me demande donc si de tels espaces sont en pratique bien utilisables dans la plus part des cas ☺️

@philcaldero8964

27 күн бұрын

Guillaume si tu as des réponses Eliott tu es aussi le bienvenu !

@iainhenderson3755

27 күн бұрын

Et bien l'exemple typique c'est l'espace L^2(R), dans lequel les fonctions ne sont définies que presque partout (ce sont des classes d'équivalence), et donc pour ces fonctions on ne peut pas définir la valeur au point de façon unique : deux représentants de cette classe peuvent différer en un point. A fortiori l'évaluation au point ne peut pas être continue...d'autres exemples très communs en edp (par exemple) sont les espaces de Sobolev H^s(D) où D est un ouvert borné de R^d, avec s

@valentinmassicot1725

27 күн бұрын

Une famille classique et très utile d'espaces de Hilbert en dimension infinie est donnée par les L^2(X) avec X un espace mesuré (éventuellement quelques hypothèses sur X pour que tout se comporte bien). Les éléments de L^2(X) étant des classes d'équivalences pour l'égalité presque partout, on ne peut pas évaluer ces éléments, bien que L^2(X) contiennent par exemple C(X) dans le cas où X est un espace topologique. C'est un mauvais contre-exemple car ici, ce ne sont pas vraiment des fonctions. Pour ce qui est de la continuité de l'évaluation, en pratique dans ce genre d'espaces on travaille presque toujours dans le cadre où X est un espace topologique et E est constitué de fonctions continues. Les topologies usuelles (convergence simple, convergence uniforme, topologie compact-ouvert) rendent toutes continue l'évaluation. Ca serait d'ailleurs bizarre de travailler avec des fonctions continues mais de ne pas pouvoir manipuler facilement l'évaluation à cause de la continuité. Ce que je dit dans le paragraphe précédent n'est pas dans le cadre Hilbertien mais à part le produit scalaire L^2 ou dérivé de L^2, je n'en ai jamais trop vu et on est généralement soit dans le cas du premier paragraphe lorsque l'espace est "continu" soit X est dénombrable et alors la continuité de l'évaluation est automatique

@TristanBulHadrien

27 күн бұрын

Oui dans le cas de Bergmann, c'est vraiment le miracle holomorphe qui est à l'oeuvre. Ça devrait marcher plus généralement pour l'espace de fonctions harmoniques définies sur un ouvert, muni de la norme L2. (On choisit le représentant continu pour l'evaluation) D'ailleurs ça doit etre un cas où on a une sorte de noyau reproduisant avec la fonction de Green associée à l'ouvert. (Si elle existe? Autre problème: elle n est pas dans l espace considéré) Maintenant, je pense que ce problème de continuité de l'évaluation peut être contourné dans certains cas, en vue des applications. Dans les espaces Lp (en fait dans tous les Banachs de fonctions intéressants) , on a une sorte de continuité séquentielle, par la réciproque de la conv dominée: si fn tend vers f dans Lp alors fn tend vers f presque partout à extraction près (et en prenant des représentants), ce qui pourrait mener à des approximations des résultats très forts de Guillaume. Son exemple de la convolution dans L1 va un peu dans ce sens. On a une approximation de Noyau reproduisant dans L1, comme une approximation de conv ponctuelle. C'est en fait la philosophie derrière l'utilisation des noyaux régularisants (qui sont presque reproduisants) Il y a bien sûr des Banachs intéressants où la norme est plus forte que la convergence ponctuelle (où l'evaluation est continue): les espaces de fonctions continues avec la norme infinie. La convolution par un noyau regularisant donne ici une meilleure approximation de l'idée de noyau rep que le cas L1×L1. Bien sûr, on est désormais loin du cadre hilbertien, mais il y a peut etre un cadre plus général de noyau presque reproduisant, qu'on prendrait dans le dual du Banach qu on étudie. (Désolé pour toutes ces redites!)

@TristanBulHadrien

27 күн бұрын

A propos de la continuité des évaluations, je rajoute, un peu honteux, après lecture du commentaire de iain henderson: Fait comme Guillaume l'a fait, c'est bien "le miracle holomorphe". Mais, en vérité, beaucoup d'Hilberts ont des évaluations continues: tous les H^s(omega) où omega est un ouvert agréable (R^n est très agréable), s>n/2. (C'est de la triche, mais je veux dire par là qu'on peut demander beaucoup moins que l'holomorphie) En fait ces Hs se plongent dans des espaces de fonctions continues donc on peut les voir comme des fonctions (et pas des classes de fonctions.) On a pas de problème de choix, vu qu'une classe H^s n'a qu'un representant continu, qu'on lui associe dans ce plongement, et pour définir l'evaluation. La morale c'est que si on a assez de dérivées faibles dans L2, on peut dominer l'image en un point comme l'a fait Guillaume. C'est quand même un peu moins gourmand que demander l'harmonicité, Désolé c'était l heure de la sieste!

Pas de questions ?

@philcaldero8964

28 күн бұрын

Hasard, non. On avait déjà une heure d enregistrement...

Bo espace de Bergman, Boutet de Monvel en force.

Je préfère Ingrid .

@philcaldero8964

27 күн бұрын

🤣🤣🤣 et Ingmar!

Ce qui me chiffonne avec ce genre de développements c'est qu'on ne voit pas à quoi peuvent bien servir les espaces de Bergman (ou bien je n'ai pas écouté suffisamment attentivement), je trouve ça un poil ennuyant sur le plan mathématiques. Excellente performance de Guillaume ceci dit !

@valentinmassicot1725

28 күн бұрын

Et en même temps, la restriction de temps ne nous permet pas de faire énormément de choses.

@philcaldero8964

27 күн бұрын

Il faudrait que Guillaume confirme mais je dirais que on a dans cette situation une façon explicite et duale d'exprimer l'évaluation. Et en plus on a des inégalités et des bornes

@guillaumeclerc2575

27 күн бұрын

Oui c’est ça on a une formule pour exprimer l’évaluation avec une intégrale et le noyau. Et si on regarde l’inégalité sur |f(z)| que l’on obtient une fois qu’on a calculé le noyau, c’est exactement celle qu’on avait dans le lemme mais en prenant rhô = la distance au cercle unité (c’est à dire 1-|z|). Donc l’inégalité obtenue est pas mieux que celle du lemme en prenant un rayon optimal.

@guillaumeclerc2575

27 күн бұрын

Après l’espace de Bergman fait un bon développement aussi parce qu’il fait intervenir beaucoup de techniques différentes : formule de Cauchy, séries entières et interversions de symboles, convergence dominée, densité dans un espace de Hilbert.

@Miannaze

27 күн бұрын

ça sert beaucoup en statistiques et en apprentissage.