Лектор: Богданов Илья Игоревич
Дата лекции: 16.03.2022
Съемка: Мятелин Андрей
Монтаж: Зенина Дарья
0:00:00 - Введение
0:00:35 - Теорема Гамильтона-Кэли в общем случае
0:05:49 - Билинейные формы
0:07:07 - Определение билинейной формы
0:11:25 - Определение матрицы билинейной формы
0:14:05 - Вычисление значения билинейной формы с помощью ее матрицы
0:19:05 - Множество билинейных форм - линейное пространство
0:21:15 - Теорема об изоморфизме пр-ва билинейных форм и пространства матриц
0:30:45 - Теорема об изменении матрицы билинейной формы при замене базиса
0:35:55 - Первое следствие об инвариантности ранга матрицы билинейной формы
0:38:55 - Определение ранга билинейной формы
0:39:55 - Второе следствие об инвариантности знака определителя билинейной формы
0:42:30 - Определение (косо)симметрической билинейной формы
0:45:25 - Замечание о существенности второго условия кососимметричности в общем случае и избыточности первого
0:49:50 - Симметрические и кососимметрические формы - подпространства пространства всех форм
0:51:35 - Определение (косо)симметрической матрицы
0:53:15 - (Косо)симметрической форме соответствует (косо)симметрическая матрица, и наоборот
1:02:00 - Теорема о разложении пр-ва билинейных форм в прямую сумму
1:07:33 - Замечание о ложности теоремы для полей характеристики 2
1:08:55 - Определение ядра (косо)симметричной формы
1:11:20 - Определение правого и левого ядра произвольной формы
1:12:40 - Вектор лежит в ядре формы тогда и только тогда, когда он лежит в ядре ее матрицы
1:16:25 - Ядро формы - подпространство размерности n - rk B
1:19:05 - Определение невырожденой билинейной формы
1:21:00 - Определение ортогональных относительно формы векторов и ортогонального дополнения подпространства 15 30
1:24:45 - Пример со скалярным произведением
1:26:58 - Нижняя оценка размерности ортогонального дополнения
1:36:05 - Определение невырожденого относительно формы подпространства и нахождение матрицы ограничения формы на такое подпространство
1:37:55 - Пример вырожденного подпространства относительно невырожденой формы
1:39:25 - Критерий невырождености подпространства
1:46:30 - Замечание о виде матрицы в базисе, соответствующем прямой сумме
1:49:00 - Определение квадратичной формы
1:50:45- Координатный вид квадратичной формы
1:53:20 - Замечание о случае кососимметричной формы
1:54:40 - Теорема о единственности симметричной билинейной формы, задающей данную квадратичную форму
02:00:25 - Следствие об изоморфизме простраств квадратичных и билинейных симметричных форм