Можно не раскрывать квадраты, а перенести (30−r)² налево и воспользоваться формулой разности квадратов (заменить умножение сложением, так сказать): (20+r)²−(30−r)² = 20² (20+r+30−r)(20+r−30+r) = 400 50(2r−10) = 400 2r−10 = 8 r = 9

Раскрывая скобки, главное - не ошибиться!!!)))

Один момент в решении упущен на мой взгляд - по какому признаку треугольник оказался прямоугольным? Понятно, что касательная к большой окружности, которая образует катет 30-r, перпендикулярна радиусу R. Но почему эта касательная проходит через центр малой окружности? Мой школьный учитель математики непременно бы попросил доказать, что треугольник прямоугольный. Доказать не сложно, достроив в правой окружности такой же треугольник, в результате получится большой равносторонний треугольник с одинаковыми сторонами R+r, и основанием R+R, с вершиной в точке центра малой красной окружности. А в равностороннем треугольнике, медиана, проведенная из угла при равных сторонах является биссектрисой и высотой треугольника, а значит перпендикулярна основанию R+R. Без этого получил бы 4.. Или есть более простой способ доказать что треугольник прямоугольный?

@1kit_pro

29 күн бұрын

Аналогично, учитель обязательно бы спросила - «а с чего вдруг ты решил, что этот треугольник прямоугольный?»

@pavelponomarev6114

28 күн бұрын

Не равносторонний, а равнобедренный.

@forceofwill1678

27 күн бұрын

@@pavelponomarev6114 Безусловно! Поспешил - ошибся)

@alexcorvis3206

21 күн бұрын

У меня такой же вопрос возник.

@vladimir945

18 күн бұрын

А зачем там что-то "достраивать"? По условию задачи центры голубых окружностей, их точки касания с боковыми сторонами прямоугольника и друг с другом имеют одну и ту же координату Y = 30, линия, проведённая через эти точки, параллельна оси X (чтоб было проще объяснять, предположим, что прямоугольник сориентирован по осям, а левый нижний угол находится в начале координат - это никак не меняет суть задачи). Так же по условию задачи центры красных окружностей и точка соприкосновения голубых окружностей между собой имеют одну и ту же координату X = 40, линия, проведённая через эти точки, параллельна оси Y, следовательно, перпендикулярна предыдущей линии, параллельной оси X, следовательно, угол прямой.

Так, дуже гарна задачка, точно, що для відмінників, спробую своєму внукові дати, ще й дочці, яка колись з медаллю школу закінчила.Дякую!

@alexplotnikov2658

15 күн бұрын

Ну и как успехи?

Благодарю за любовь к обучению к математике 😊

Задача классная. Спасибо!

КРАСОТА

Не обозначено, что прямая, соединяющая центры парных окружностей, является параллельной стороне прямоугольника. Поэтому вот задачка посложнее.)) Так же две пары окружностей, так же размещены в прямоугольнике с теми же сторонами (80 и 60). Каковы максимально возможные радиусы окружностей?)

@user-pn7di5lp9v

22 күн бұрын

В задаче указаны точки касания окружностей друг с другом и так же с прямоугольником. Исходя из этого понятно, что эта прямая не может не быть параллельной вертикальной стороне прямоугольника

@XBOCT_MAMOHTA

22 күн бұрын

@@user-pn7di5lp9v ну указаны и указаны. Не названы их координаты или что-либо иное, характерное для "натяга" больших окружностей и симметричного размещения малых окружностей. Просто сметите большие окружности и уменьшите длину прямоугольника. Будет по-иному симметрично, но ни разу не параллельно.) Т.ч фраза "даны точки касания" - вообще ни о чем.)

@user-pn7di5lp9v

22 күн бұрын

@@XBOCT_MAMOHTA не будет. Такая конструкция всегда при любых размерах любой из фигур будет ориентирована в пространстве одинаково - все центры окружностей всегда будут на перпендикулярах, делящих прямоугольник пополам.

@XBOCT_MAMOHTA

22 күн бұрын

@@user-pn7di5lp9v окей, попробуем радикальнее.) Большие окружности ставите по углам, по диагонали, но чтоб они касались друг друга. Малые окружности ставите так, чтобы каждая касалась обеих больших окружностей. Ну что?)

@user-pn7di5lp9v

22 күн бұрын

@@XBOCT_MAMOHTA МММ... Да. Вы правы

Красиво!

так,теперь возьмём несколько иные радиусы и размеры,и проверю-ко я закономерности(возможные).

Элегантно и не очень сложно. )))

а самое замечательное,что в прямоугольном треугольнике здесь стороны,20;21:и 29 гипотенуза,я проверил,всё совпадает,прекрасно,я так думаю.

Я одно не понимаю, чем доказывается, что через точку, где именно касается малый круг большого можно от центра большого круга провести в центр малого круга прямую. Т.е. теоретически возможность провести прямую от центра одного круга к другому может быть НЕ через их общую точку касания и проходить еще какое то расстояния как бы вне кругов, следовательно выражение (R+r квадрат) = длинна гипотенузы не верно.

Простое решение, по теореме Пифагора.

@tolstoy4328

Ай бұрын

8 класс всё-таки

2й этап решал так: построил квадрат с вершинами в центрах окружностей, зная диагональ 2R=40, нашел сторону по т. Пифагора =20*кор(2) и вычитаю R, r=20*(sqrt(2)-1), из этого следует, что меньшая сторона прямоугольника равна 2R+2r =40*sqrt(2), но никак не 60

@user-nt1re9ym4i

Ай бұрын

Только это не квадрат, а ромб, у которого диагонали не равны))

@user-xz2xb1ku3y

Ай бұрын

вроде всегда во все стороны радиусы у кругов одинаковы @@user-nt1re9ym4i

@user-nt1re9ym4i

Ай бұрын

@@user-xz2xb1ku3y так при чём тут радиусы? Стоит внимательно присмотреться, как проходят диагонали ромба с вершинами в центрах этих четырёх окружностей.

Тут же видно. R = 20, r = 10 Ну почти r угадал

@zmeygames7541

Ай бұрын

Я тоже так прикинул, подумал, что большая окружность заканчивается на уровне центра малой, тогда бы получилось (60-40)/2=10.

Интересно

Глазами увидела R=20, r=10, позже гляну решение))

@space412

Ай бұрын

20 и 5)

@alexrp5295

Ай бұрын

​@@space412исходя из чертежа невозможно. R=20 да. Тогда диаметр зелёного 40 и тогда от границы зелёного до верхней и до нижней грани прямоуголиника по 10. А тогда при радиусе 5 красный не может располагаться как на чертеже с указанными точками соприкосновения.

@user-kq2cn7pm6d

Ай бұрын

Так это не чертеж, а рисунок.​@@alexrp5295

Если мы проведем касательную с центра маленькой окружности к большой, тогда у нас получиться квадрат(касательные сделанные с одной точки одинаковые) со сторонами 20, и тогда ответ что r=9 неверный

@alega8976

27 күн бұрын

Нельзя утверждать что это будет квадрат. Получится шестиугольник. Либо надо доказать что это квадрат))

@taok-io2cx

27 күн бұрын

@@alega8976 так как касательная перпендикулярная к радиусу, а сума углов 4-угольника 360 градусов у нас будет прямоугольник с тремя равными сторонами (высота=20=R=ширина)

@alega8976

27 күн бұрын

@@taok-io2cx я до сих пор не понимаю как вы получаете четырехугольник... Если из маленького круга провести касательные к двум большим. То факт что эти касательные будут лежать на одной прямой ещё надо доказать, чего у вас нет

Добрый день ! Всех с праздником! С Вами все так просто решается Пришлось при смене учителя просто заучить без понятия Что такое логорифмы и дифференциалы- сплошная каша

а кто сказал, что радиус, продолжненный за точку касания с малой окружностью, проходит через ее центр? Это доказывать надо

@user-sz7lf1um5j

18 күн бұрын

Согласен. Очевидно, что при других соотношениях сторон квадрата это будет явно не так. Плюс требуется условие, что окружности касаются прямоугольника в серединах сторон. От этого тоже соотношения зависят. А на этом строится всё решение.

В условии задачи недостает информации: 1. Прямоугольник может оказаться и не прямоугольником. 2. Большие окружности могут быть размещены не в оси, параллельной длинной стороне прямоугольника, который может оказаться не прямоугольником. За видео спасибо, приятно иногда возвращаться к школьным задачкам спустя десятилетия!

@kptnmauzer

Ай бұрын

Условие - вписаны в прямоугольник. Но может быть не прямоугольником? Ты, пацан, чего слушать не научился?

@MrMoonkeeper

Ай бұрын

@@kptnmauzer Про прямоугольник-то сказано, а вот вписаны -некорректно здесь говорить. Окружности эти не вписаны, а просто именно что висят центрами на средних линиях.

@Ewgeny_Kokainom

Ай бұрын

И окружности могут оказаться треугольниками... И цвет не зелёный, а коричневый...

Почему нельзя было составить уравнение 60=2×(30-r)?

А я через тригонометрические функции решил, ответ тот же - 9

Я не могу понять, почему вы решили, что отрезок 4R параллелен стороне прямоугольника 80?

@sasrun7506

27 күн бұрын

Радиус перпендикулярен касательной а тк круги вписаны в прямоугольник то углы равны по 90°

@user-wf7ci3hh6w

27 күн бұрын

@@sasrun7506 я легко могу сместить левую большую окружность вверх, а правую вниз. Окружности с меньшим радиусом сместятся, одна влево по горизонтали, другая вправо по горизонтали. После этого отрезок 4R не будет параллелен стороне прямоугольника длинной 80.

@alega8976

27 күн бұрын

Так то дело говорит, вроде можно сместить

В школе не учат, что надо дать определение R и r?

Очень простая задача

я решил за 30 сек ... но подругому ... и у меня почемуто вышло, что красный радиус = 10! Значит либо я решил НЕ правильно... либо парадокс Бертрана...

@janjonson3553

Ай бұрын

я проста "прикрул верхнию часть приямоугольника и асталась нижная часть ... где радиус зеленого круга + часть красного круга равен половине от 60 ... тоисть 30 ... и в итоге я получил 30 - 20 = 10 ! ... вроди ачевидно и бостро можно решить, но... ачевидно ашибка в том, что я предположил, что астаток краснава круга до края прямоугольника равен палавине, тоисть равен радиусу : (

@user-dh5uq9yg1s

Ай бұрын

с кондачка хотели(?),хм,анннн нет ни вышло.

@janjonson3553

Ай бұрын

@@user-dh5uq9yg1sда... но так казалось логично : )

@user-xi4np7jm6h

Ай бұрын

@@janjonson3553 ты не учел что линия между центрами окружностей не является 45 градусов к стенке прямоугольника, хоть нарисовано как бы похоже на 45, но такой вводной нет. С ней бы да малый радиус за 30 сек вычисляется как 10.

Я считаю что задача решена не верно, ведь третий катет равен не 30-r, а 30-2r. - или я не прав?

@user-nx7gf2vj4d

Ай бұрын

Не прав. Ведь один из углов треугольника находится в центре малой окружности. Так что от вершины треугольника до длинной стороны прямоугольника ровно 1r.

Трудовая задача, больше на аккуратность расчётов. Без трудности поиска идеи решения

Неправильно нашли малый радиус. r=30-R. r=10

Зачем какие-то заумные квадратные уравнения? Можно тупо построить вертикальную линию через три точки "верхняя точка касания верхней красной окружности прямоугольника - точка касания зелёных окружностей - нижняя точка касания нижней красной окружности прямоугольника", построить третью окружность радиусом 20 из точки пересечения двух зелёных окружностей (радиусом 20), внимательно взглянуть на набор отрезков и из треугольников осознать, что третья зелёная окружность гарантированно проходит через центры красных окружностей. Ну и тупо 60 - 2 * R = 2 * r.

@user-xh8mt4bj7e

11 күн бұрын

нет, не проходит. Интересная задача, упустил отрезки, решая в уме.

@user-xh8mt4bj7e

11 күн бұрын

просто интересно найти решение без квадратного уравнения

R = 20 .

ГИПОТЕНУЗА НЕ МОЖЕТ БЫТЬ РАВНА КАТЕТУ!!!!!

@serg8018

Ай бұрын

Так она и не равна. Катет равен 30-r , а гипотенуза R+r

Не забыли, сегодня День Победы. На Красной площади там сейчас проходит Парад. И они решили сегодня себе устроить праздник ко Дню Победы.

С какой стати центры красной и зелёной окружностей соединяются прямой, а не ломаной через точку касания? В данной задаче так может быть, но если взять прямоугольник с неизвестными длинами сторон, мысленно менять размер прямоугольника и соответственно радиусы окружностей, то точка касания явно не на прямой из радиусов будет.

@dmdm4975

Ай бұрын

По другому не бывает

@IlyaSandalov

Ай бұрын

Проведем касательную прямую в точке касания двух окружностей. Она будет перпендикулярна обеим радиусам, а значит, оба радиуса составляют друг с другом 90+90=180 градусов.

@Nikolyan

Ай бұрын

@@IlyaSandalov , убедили. Словно заново геометрию для себя открыл.

@armbrothers687

Ай бұрын

Радиусы всегда перп касательной к той точке куда радиус ведет

@Denis-G-Filatov

22 күн бұрын

Точка касания окружностей всегда лежит на линии их центров.

Да, вроде все просто, только трудно себе обосновать, что точка касания окружностей находится на прямой, соединяющей центры. Откуда это следует?

@user-uk6zx8zf8k

14 күн бұрын

У двух окружностей общая точка касания. Радиус, проведённый в точку касания перпендикулярен к ней. К прямой в одну точку можно провести только одну перпендикулярную прямую. Поэтому наши радиусы принадлежат одной прямой.

Всегдаьзадаыался вопросом как это поможет моему ребенку в жизни. Лучше научили ли бы считать проценты в банке и то польза больше чем эти задачи пустоты

@user-wf7ci3hh6w

27 күн бұрын

Вашему ребёнку решение задач по математике, геометрии, физики поможет "гипертрофировать" мозг. Это как в качалке. Качаешь мышцы долго и упорно, они гипертрофируются и увеличиваются в размере, увеличивается и сила. Поэтому, решать задачи нужно не только в школе, но и всю жизнь, это очень полезно для человека разумного.

@dmitrymolokanov5389

24 күн бұрын

Математику уж затем учить надо, что она ум в порядок приводит. Михайло Ломоносов.

@MalushkinSergey

24 күн бұрын

Действительно, математика математике рознь, како толк от этой задаче ребенку, или знание синуса, логорифма, если ребенок вырастит и пойдет либо продавать кнр товары или курьером. Ракеты конструиррвать страна не занимается, программы писать страна н езанимается. Вопросв этом в ссср выходили люди и знали работу дадут квартиру дадут, и уже люди лишены мат проблемы думали о математик е физике а сейчас с егэ и отбросным образованием с учителями у которых зп как у курьера зачем ребенку ваша математика аааа... Он видит хто и срать хотел на нее. Вот вам и математика, он будет думать как выжить а ее как решать бесполезные задачи.

@dmitrymolokanov5389

24 күн бұрын

@@MalushkinSergey уважаемый, это логика не цивилизованного человека, а австралопитека. Австралопитеку думать, размышлять, решать какие- то задачи не нужно, залез на пальму, сорвал банан, сьел и сыт. Тут же под пальмой и в туалет сходил. Что- то из одежды или украшения- привезут на корабле белые и обменяют на эти же бананы. Какие вам ракеты, самолёты, генные технологии, квадратные уравнения?

@MalushkinSergey

23 күн бұрын

@@dmitrymolokanov5389 неужели австралопитек у вас на пальме жил...да у вас не только проблемы с пониманием мировозрения вселенной так и еще проблемы с биологией и историей - это мне страшно уже за Вас. Жаль палки нет рядом, а то дал бы вам по гипотенузной трещине в вашем теле!

Математіка вообще непрігоділась за 30 лет нах голову забівать чіпухой ліжбе виделітся у мене родич препад по математики в інстетуте а на деле неможет ні че кроме расчета, все жена за него думает бо кроме цифер больше незнает. Учітесь заганять себя в рамкі, а вот в жізні нет ограніченій

Способ решения правильный, но за ход решения отлично вам бы не поставили. Потому что после того как получили уравнения в наше время СССР это требовалось упростить, а только потом подставлять числа. Это нюанс, но он подчёркивает уровень решающего.

@InfernoAge

25 күн бұрын

Бред. Если видно, что числа круглые, то проще подставить. Так что с ходом решения всё хорошо.