OD - медиана прямоугольного треугольника ACD, она равна половине гипотенузы, OC=OD=20. В прямоугольном треугольнике KOC по теореме Пифагора KC^2 = 15^2+20^2, KC = 25. Тогда высота из OH в треугольнике KOC равна 2S/KC=2*1/2*15*20/25=12. Из прямоугольного треугольника HOC находим HC^2 = 20^2-12^2, HC = 16. OH - медиана равнобедренного треугольника BOC, т.к. это его высота. BC = 2HC = 32. OH - средняя линия треугольника ABC. Тогда AB = 2OH = 24. Площадь прямоугольника равна AB*BC = 24*32 = 768.

@GeometriaValeriyKazakov

23 күн бұрын

Супер!

Верхний треугольник площадью 150=20*15/2 подобен половине прямоугольника к=5/8(=25/40) Sabcd=(8/5)^2*150*2=768

@GeometriaValeriyKazakov

20 күн бұрын

Спвасибо.

1) Треугольник OKC египетский (3, 4, 5) умноженный на 5. Треугольник OKC подобен DCA (по 2 углам, 90° и C накрест лежащие), то есть OCD египетский умноженный на (20+20)/5=8, тогда катеты 3×8=24 и 4×8=32, а площадь прямоугольника S=24×32=768. Решение 2) S(OKC)=150×20/2=150, гипотенуза KC=25, коэффициент подобия OKC и DCA, отношение гипотенуз k=(20+20)/25=8/5. Площадь S(DCA)=kk×S(OKC)=64/25×150=384, искомая площадь S=2×384=768.

@rv7365

24 күн бұрын

Тут можно еще вот как пойти, опираясь на это подобие, DCA подобен тому же египетскому (3,4,5) с коеффициентом 1:8 (АС = 40 по условию), стало быть площать DCA будет в 64 раза больше египетского (3,4,5), а это половина площади прямугольника, т.е. нужно площать египетского (3,4,5), которая = 6 умножить на 128 и получим 768

@GeometriaValeriyKazakov

24 күн бұрын

Супер!

Это один из самых любимых трюков, хотя и очень простой. Легко видеть, что красный отрезок и один из зеленых это катеты "египетского" треугольника (15, 20, 25) На самом деле ничего не надо считать (величину гипотенузы я привел для наглядности, она совсем не нужна в решении), потому что отсюда следует, что прямоугольник склеен из двух тоже "египетских" треугольников, только гипотенузы у них 40 (ну, это диагональ). А значит, катеты у них 24 и 32, это стороны прямоугольника, а площадь 24*32 = ... Вся соль трюка в том, что, зная одну сторону и тип Пифагорова треугольника, мы знаем про него все. И - сразу. Без вычислений каких-то. Немного изменив траекторию этих почти тривиальных рассуждений, можно и так посмотреть - площадь простого египетского треугольника (3,4,5) равна 6, а тут таких два, да еще линейные размеры увеличены в 8 раз (с 5 до 40), поэтому площадь 6*2*64 = ... 768, если устная считалка еще не заржавела :) Ну да, 640 + 128...

*Ответ: S = 768.* РЕШЕНИЕ ниже. а) OC = OP = 20. Отсюда находим (теор. Пифагора) KC = √(20² + 15²) = √625 = 25. б) Опишем вокруг □ABCD окружность - R ее радиус; центр окр. будет находится на пересечение диагоналей пр-ка, следовательно R = OC = OD = 20. в) Продолжим OK до пересечения с окружностью R - в т. E и E₁. Так как O - центр окр., то EK = EO - KO = R - KO = 20 - 15 = 5. г) В окружн. имеем две пересек. хорды: BC = BK + KC = x + 25 и EE₁ = 2*20 = 40. По теореме находим: x*25 = 5*(40 - 5). x = 5*35/25 = 7 = BK. д) BC = BK + KC = 25 + 7 = 32. Находим (теор. Пифагора) AB = √(40² - 32²) = √(72*8) = √(8*9*8) = 8*3 = 24. е) S(□ABCD) = AB*BC = 32*24 = (30 + 2)[(30 - 2) - 4]= (30² - 2²) - 32*4 = 896 - 128 = 768. *NB.* Вычисления вполне можно произвести в уме, посему решение даю подробно.

Я решил так: аналогично нашёл КС=25, а потом по подобию треугольников ОКС и АСD легко находятся катеты АСD - они же стороны прямоугольника.

@GeometriaValeriyKazakov

24 күн бұрын

Отлично.

@svetlanayudacheva1662

24 күн бұрын

Я так же решила)

@user-nd1pm9sn5h

23 күн бұрын

КС можно было не искать, я также решил.

@GeometriaValeriyKazakov

23 күн бұрын

@@user-nd1pm9sn5h Можно!

Я другое заметила. Числа 24 и 32 - это хвостики серединки 28. Поэтому 768 можно представить в виде разности квадратов (28-4)(28+4)=4*4*6*8

Альтернативно, после нахождения высоты OH, находим в прямоугольном треугольнике OCH длину катета CH = 16. В прямоугольнике 8 треугольников OCH. Формула площади треугольника уже была, половина произведения катетов. Считаем: 8* 0,5* 12* 16 = 768 😊

@GeometriaValeriyKazakov

23 күн бұрын

Отл.

Провести с т. О перпендикуляр на АВ , получается тр - к подобный прямоугольному тр - ку по двум угла , гипотенуза его , как египетского тр -ка = 25 , из подобия перпендикуляр на АВ=16 , половина АВ=12 . S=(2х16)х(2х12)=768 .

я прихожу ко мнению, что после решения, нужно дополнительно вертеть параметрами модели. Тут например основа это треугольник КОС. В продолжении его катета ОС отложили еще один отрезок ОА. И это является диагональю прямоугольника. Исходя из этого надо искать что от чего зависит. что чего ограничивает. Это позволит сократить количество решений. Или наоборот показать их множества. Это поможет студентам понять геометрию. Не все в голове вертят модели, а навык не всегда сам приходит. Есть у меня желание найти полигон для отработки объяснений этих задач.

@GeometriaValeriyKazakov

23 күн бұрын

Согласен, очень удачная конструкция.

Полуквадрат диагоналей на синус угла между ними, т.е. угла , вдвое большего ВСА. То есть квадрат диагоналей, помноженый на синус и косинус угла ВСА

Можно продлить KO до пересечения с AD в точке M, затем найти площадь ромба AKCM (как полупроизведение диагоналей) и его высоту, которая совпадает с AB, а BK найдём по теореме Пифагора.

@GeometriaValeriyKazakov

23 күн бұрын

Отлично я с ромбом ии задумывал.

Из прямоугольного треугольника OCH по т. Пифагора CH=16. Тогда BC=32, и S(ABCD)=32*24=768.

@GeometriaValeriyKazakov

13 күн бұрын

Спасибо

АВС вроде как подобен ОКС При этом гипотенуза АВС = 40, а гипотенуза ОКС 25 что нашли по теореме Пифагора. Значит 40/25 относятся как АВ/15 Откуда АВ 24. Ну и оттуда же (либо пифагорчиком) можно найти так же второй катед АВС 40/25 как ВС / 20 или 32 и площадь 32*24 = 768

@GeometriaValeriyKazakov

24 күн бұрын

Отлично.

Сразу ясно, что AC=BD=2 OD=40, а BO=OD=20. Проведем высоту BH перпендикулярно AC. Из подобия тр-в HBC и OKC: 15/BH=20/(OH+20), откуда OH=4/3 BH - 20. По т. Пифагора OH²+BH²=BO²=400 или (4/3 BH - 20)² + BH²=400, откуда BH=480/25. S(ABCD)=AC*BH=40*480/25=16*48=768.

@GeometriaValeriyKazakov

21 күн бұрын

Спасибо.

по моему АК в принципе не объязательно было достраивать и морочиться с доказательством равенства треугольников, проще НО опустить на АД, понять, что это 1/2 от АВ, то есть 24 в сумме, найти половину АД вообще устно без пифагоровых троек (корень из 400-144, то есть из 256, то есть 16) и дойти до площади 24х32

@GeometriaValeriyKazakov

23 күн бұрын

Можно было. Решений много, но АК дает два прямоугольных с общим катетом AB, а это -известная фича. Речь же о том, как быстро-быстро все решать и всем. Спасибо, что смотрите нас.

После нахождения АВ из треугольника АВС сразу находим ВС, а потом площадь. На одно действие меньше.

@GeometriaValeriyKazakov

24 күн бұрын

У нас газУ много!

Показалось, что подобием решить проще. Но Валерий Владимирович и там бы много интересного рассказал... Спасибо! Умеете заинтересовать!

@GeometriaValeriyKazakov

24 күн бұрын

Да, такой!

после нахождения КС можно сразу через подобие треугольников КОС и АДС найти стороны прямоугольника

@GeometriaValeriyKazakov

24 күн бұрын

т.е. как я решал эту задачу. начал двигать диагонали вокруг центра. хоть знаем длину, но положение их может быть любое. Что их фиксирует? их фиксирует треугольник КОС. Есть 2 стороны и угол между ними. Это однозначна заданная фигура. АС лежит на катете. Это жестко привязанная характеристика прямоугольника. И далее решать через высоту треугольника КОС или подобие треугольников КОС и АБС. Или др. варианты.

@GeometriaValeriyKazakov

23 күн бұрын

Супер!

Благодарю. Из точки О опустим перпендикуляры на верхнюю и нижнюю стороны. Получим 2 подобных прямоугольных треугольника с гипотенузами по 15 и 20 соответственно. Значит коэффициент подобия этих треугольников равен: 15/20=3/4. Поскольку бОльшие катеты этих подобных прямоугольных треугольника равны половинам сторон (боковых и верхних-нижних соответственно),то и стороны прямоугольника относятся: Боковая/верхняя(или нижняя)=3/4. Из нижнего прямоугольного треугольника (у которого гипотенуза=20), его катеты=половинам сторон прямоугольника: Пусть один катет =3х, Другой катет тогда=4х. 9х^2+16х^2=20^2 х=4. Значит половины сторон прямоугольника равны: 3х=12 и 4х=16 А целые стороны: 24 и 32 соответственно. Площадь= 24*32=640+128=768.

@GeometriaValeriyKazakov

24 күн бұрын

углы OCD и OKC равны, как дополняющие угол KCO до прямого... обозначим половину стороны CD за а... тогда sinOKC=a/15... a cosOCD=a/20... a^2/225 +a^2/400=1...a=12... CD=24... AD^2=1600-576... AD=32... S=768

Над красной и зелёной 15 - 20 - Египет 25 Из центра линия вверх. Справа Египет но 20/25 по размеру 12 - 16 - неважно 12*16*4=256*3=768

@GeometriaValeriyKazakov

24 күн бұрын

Отл.

S = 15 * 20 * (40/25)^2 = 300 * 64/25 = 768 (15*20 - удвоенная площадь треугольника КОС, а 40/25 - коэффициент подобия КОС и СДА)

@GeometriaValeriyKazakov

20 күн бұрын

Отлично.

Не хочу короче, хочу понятней. Половина диагонали =20, это катет. Второй =15. Гипотенуза =25. Половина боковой стороны прямоугольника равна 12. Это катет, гипотенуза равна 20. Второй катет = 16. Это половина большей стороны . 4*(12*16)=768 Ответ:768

@XBOCT_MAMOHTA

24 күн бұрын

Почему половина боковой стороны равна 12?

@pojuellavid

23 күн бұрын

​@@XBOCT_MAMOHTA Как высота прям треугольника КОС, которая является перпендикуляром к ВС, опущенным из центра симметрии прямоугольника

@XBOCT_MAMOHTA

23 күн бұрын

@@pojuellavid хорошо.) Но первоначальный коммент не выглядит понятнее решения в видео. Конечный расчет, полагаю, подразумевает, что в общем прямоугольнике либо 4 прямоугольника со сторонами 12 и 16, либо 8 треугольников OCH, у которых площадь равна 1/2*12*16 ?) Школа же для того, чтобы и решать, и уметь доказать/объяснить свое решение.))

@GeometriaValeriyKazakov

23 күн бұрын

@@XBOCT_MAMOHTA Абсолютно согласен. Тоже самое! Хотя это мой любимый и вредный иногда зритель!

Я провел продолжение серединного перпендикуляра ОК, до стороны АД, назовем точку пересечения Ф, Потом начертил ромб АКСФ, доказать, что это ромб очень легко - перпендикулярны диагонали и делятся пополам, равны стороны. Нашел площадь ромба (15+15)*(20+20)=600, представил ромб в виде парралелограма, нашел высоту 600=25*h Получил высоту 24, равную стороне прямоугольника; дальше высота к этой стороне из пересечения диагоналей и дело за малым, вторую стороны найдет и пятиклассник

@ads-wb3bb

24 күн бұрын

Извиняюсь, если этот метод был сказан в видео

@GeometriaValeriyKazakov

23 күн бұрын

Норм.

после того как найдена одна из сторон можно сразу считать площадь потому что диагональ известна. S=a√(d^2-a^2)=24*√(40^2-24^2)=768.

@GeometriaValeriyKazakov

20 күн бұрын

Отлично.

Блин, специально так сложно? Зная АВ, проще было по той же теореме Пифагора найти сразу ВС из треугольника АВС А ещё проще найти АВ можно было из подобия треугольников КОС и АВС И ещё проще можно было вообще не считать ничего по теореме Пифагора, а сразу найти площадь треугольника КОС, по подобию узнать площадь АВС, умножить на 2 и всё.

@GeometriaValeriyKazakov

20 күн бұрын

Да, можно было. Но хотелсь крутануть еще одну Пифагорову троечку: 7,24,25. А зрителю я оставил Пифагора.

АК совсем лишняя. После того как узнали ОН легко найти S OHC =96. Весь прямоугольник состоит из 8 таких треугольников. Умножаем на 8 итого 768

@GeometriaValeriyKazakov

24 күн бұрын

что можно лишнего отрезать? Например треугольник АСД. условия не измениться, а решение упроститься.

@GeometriaValeriyKazakov

21 күн бұрын

Спасибо.

ОС=20, сл-но, тр-к КОС и АВС--египетские. АС=40, АВ=24, ВС=32. Sabcd=768. Вроде коротко?

@user-bg5qn6ke7o

24 күн бұрын

Браво, самое короткое решение.

м-да..закрутили-маманегорюй. А решается устно - КОС - египетский (гипотенуза КС находится устно), значит, подобный ему СДА - тоже (катеты находятся тоже устно. ). Дальше - элементарно...

@GeometriaValeriyKazakov

23 күн бұрын

Спасибо. У вас так все устно, и отметка будет устно!

@barsa2701

23 күн бұрын

@@GeometriaValeriyKazakov а что не устно? То, что катеты 20 и 15, то и гипотенуза 25? А гипотенузы 25(5*5) и 40(5*8), то и катеты будут 24(3*8) и 32(4*8)? Ну а вот 24*32- то это не устно, но элементарно

@GeometriaValeriyKazakov

23 күн бұрын

@@barsa2701 Не горячитесь, я пишу вычисления для широкого и, в основном, зарубежного зрителя (их 40% на канале). Моя цель - помочь школьникам 9 и 11 кл подготовиться к экзаменам. И задачу я придумал сразу под формулу высоты - вот и все. Конечно, это не сложная задача. В превью же написано "На прокачку всех возможных вариантов". И ваши вариант - отлично, и мой, и других зрителей. Вот откуда у вас 8 (5*8)? Почему k=5:8?

@barsa2701

23 күн бұрын

@@GeometriaValeriyKazakov потому что треугольники подобны, значит, и второй египетский. Ну и гипотенуза его 40, а это 5*8 , тогда и у катетов коэфф. 8, т.е 3*8 и 4*8

Чёт в уме решил. На вскидку....... 3 (ну ладно 4) действия😊

@GeometriaValeriyKazakov

24 күн бұрын

4! Я считаю! У меня все записано

Сложновато. АВС пифагоров треугольник с гипотенузой 40 и катетами 24 и 32. Площадь поямоугольника 24*32 =768

@GeometriaValeriyKazakov

22 күн бұрын

Спасибо. Непонятно, откуда такие у вас сведения: 40 и 24 и 32? В условии этого нет.

Чуть иначе. Из подобия КОС и АВС: АВ/ВС = 3/4. (3х)² + (4х)² = 40². х² = 64. S = 3х × 4х = 12х² = 768.

@GeometriaValeriyKazakov

24 күн бұрын

Мы подобие не проходили! 7 класс.