Также нашел радиусы, но никаких касательных не строил. Провёл через центры окружностей прямые параллельные сторонам квадрата. При пересечении образовался прямоуголный равнобедренный треугольник, с катетами 5 и гипотенузой 5корней из 2, эта гипотенуза и есть МК.😊

@GeometriaValeriyKazakov

26 күн бұрын

Отлично.

@user-yr2jg7cm5r

26 күн бұрын

Браво , самое простое решение !

Так же нашёл радиусы 3 и 4. Нашёл BM 4 корней из 2 и KD 3 корней из 2. Поскольку центры окружностей лежат на диагонали BD, которая равна 12 корней из двух, то ответ получил путём вычитания диагоналей BM и KD из диагонали BD. Ответ 5 корней из 2.

В египетском треугольнике (3,4,5) радиус вписанной окружности 1. Треугольник AFD египетский ×3, r=3, треугольник ABT египетский ×4, R=4. Сторона квадрата в центре 12-3-4=5, диагональ MK=5√2.

@GeometriaValeriyKazakov

26 күн бұрын

Отлично.

После того, как нашли радиусы и нарисовали два квадратика можно построить ещё один квадратик на диагонали МК. Его сторона равна 12 - (3+4) = 5. Откуда МК = 5 корней из 2. Так проще...

@GeometriaValeriyKazakov

26 күн бұрын

Можно.

@GeometriaValeriyKazakov

26 күн бұрын

Красиво.

ДЗ решал тоже через равенство произведения катетов произведению радиуса на периметр. Провел вертикальную касательную к окружности до пересечения с АТ. Получился египетский треугольник с большим катетом (2*r+4). Этого вполне достаточно.

@GeometriaValeriyKazakov

23 күн бұрын

Спасибо.

Можно промежуточные значения в большом треугольнике не считать - если подобны описанные фигуры, то вписанные автоматически тоже (все круги подобны друг другу). Сразу считаем большой радиус из полученной пропорции - всё просто.

@GeometriaValeriyKazakov

26 күн бұрын

Можно.

В случае квадрата думаю это избыточные действия. Центры лежат на диагонали квадрата, и сразу можно записать что МК = (12 - R - r) * √2

@GeometriaValeriyKazakov

26 күн бұрын

Да, согласен. Решал для прямоугольника, то есть общий случай.

Многие комментируют, что есть способы проще. Признаться, я тоже решил без нахождения расстояния между точками касания. Здесь, конечно, предлагалась идея, несомненно хорошая. И ею стоит пользоваться в более сложных случаях.

@GeometriaValeriyKazakov

26 күн бұрын

Да, в случае прямоугольника.

Привет! после нахождения радиусов, использовать систему координат! там и маленький отрезок искать не надо! я так подумал! спасибо!

@GeometriaValeriyKazakov

26 күн бұрын

Согласен.

Очевидно, что быстрее после нахождения радиусов построить равнобедренный треугольник , где гипотенуза - искомый МК :)

@GeometriaValeriyKazakov

26 күн бұрын

Да, правда для пр-ка или трапеции уже это не пройдет.

У меня был в таком же переплете, возможно того издания ))

@GeometriaValeriyKazakov

26 күн бұрын

1988

так... воскресная задача от маэстро... ну что можно предложить.. AD=15... радиус малого круга r=3... люблю я эту формулу r=(a+b-c)/2... ну а раз я ее люблю... то можно так же найти и радиус большого круга... надо только продлить стороны AF и BC до пересечения - тчк О... тогда из подобия AFD и ABO 9/12=12/ВО... ВО=144/9=16... тогда АО=20... тогда радиус большой окр R=4... ну и осталось рассмотреть прямоуг треуг MK^2=2(12-r-R)^2... MK=5√2

@GeometriaValeriyKazakov

26 күн бұрын

Отлично.

решается в уме: М, К лежат на диагонали АF = 15 поскольку является гипотенузой египетского тр. 3/4/5 с коэфф. = 3 тогда диагональ ВD будет поделена центрами М и К в соотношении 4/5/3 (соотв. BM/MK/KD) с коэфф. = √2 ответ: МК = 5√2

@GeometriaValeriyKazakov

26 күн бұрын

Отлично. Да, решал в общем виде для прямоугольника и трапеции.

1) Для начала найдëм радиусы окружностей: 1. Малая окружность вписана в прямоугольный треугольник ADF с катетами 9 и 12, еë радиус можно найти по формуле: (а+b-c)/2, где a и b - катеты, c - гипотенуза 2. Гипотенузу найдëм по теореме Пифагора: c = √(9^2+12^2) = 3√(3^2+4^2) = 3*5 = 15 3. Итого: r = (9+12-15)/2 = 6/2 = 3 4. Продолжим AF до пересечения со стороной BC в точке P, тогда большая окружность будет вписана в прямоугольный треугольник ABP с катетом 12, который подобен прямоугольному треугольнику FDA (углы B и D - прямые, угол BAF равен углу DFA как накрест лежащий); тогда отношение радиусов вписанных окружностей будет равно отношению катетов прямоугольных треугольников: R/3 = 12/9; R = 3*12/9 = 4 2) Проведём диагональ BD квадрата, она является биссектрисой его углов B и D; т.к. окружности вписаны в эти углы, то их центры лежат на их биссектрисе, т.е. на диагонали BD; тогда MK = BD - BM - DK. 1. BD - диагональ квадрата и равна 12√2 2. Отрезки BM и DM являются диагоналями маленьких квадратиков со стороной, равной радиусам окружностей; эти отрезки равны 4√2 и 3√2 3. Итого: MK = 12√2 - 3√2 - 4√2 = 5√2 Ответ: 5√2.

@GeometriaValeriyKazakov

26 күн бұрын

Гениально!

После того как найден второй радиус можно из диагонали вычесть диагональки квадратов образованных радиусами каждой окружности и сторонами большого квадрата.

@GeometriaValeriyKazakov

26 күн бұрын

Можно.

Уравнение прямой АК : 4y - 3x = 0. K(12 - r, r). Расстояние от К до АК: r = (36-7r)/5 ⟹ r = 3. Аналогично R = 4. А дальше МК = 12∙√2- 4∙√2 - 3∙√2 = 5∙√2.

@adept7474

26 күн бұрын

5̶√̶3 5√2. Внимательнее.

@GeometriaValeriyKazakov

26 күн бұрын

Супер!

ДЗ. Имеем треугольник FCT 3,4,5 r=1. Надо найти R в невписанной окружности по катету 3. Ну и как Вы нас учили R/r=p/(p-a). То есть R/1=6/(6-3).R=2

@GeometriaValeriyKazakov

26 күн бұрын

Да, замечательно. Именно r вневписанной для прямоугольного!

Я начал также с достроения верхнего треугольника. Затем, вычислив площади обоих треугольников по формуле s=1/2*a*b, нашел радиусы по формуле r=s/p. r1=4, r2=3. Далее пошёл по другому пути: достроил квадрат, две противоположные вершины которого проходят через точки М и К, в котором МК является диагональю. Сторона квадрата равна 12-(4+3), то есть квадрат 5*5. Диагональ по формуле Пифагора: МК=√(5*5+5*5). МК=√50.

@GeometriaValeriyKazakov

26 күн бұрын

Отлично.

Нужно будет узнать _| _ кругов, мы знаем сторону и два угла. Затем разделяем на 2, и прибавляем на друг друга.

@GeometriaValeriyKazakov

23 күн бұрын

Спасибо.

Малый радиус нашёл через касательные. FD это а+б = 9 АD это б+с=12 AF это а+с=15 А б это и радиус малой окружности и равен 3. А вот радиус большой пока не получается подступиться. Ещё подумаю.

@GeometriaValeriyKazakov

26 күн бұрын

Это радиус окружности, вписанной в треугольник

По поводу ДЗ. Ответ 2. Забавно, конечно, но я только вчера решала эту задачу на другом сайте с другими числами. Нашла четыре способа решения. Даже не знаю, какой лучше.

@GeometriaValeriyKazakov

26 күн бұрын

Здорово!

Сначала накидал план похожий как в видео, но после того как решил перенести рисунок на листок и начал строить вписанные окружности, то осенило, ведь центры окружностей лежат на биссектрисах, которые образуют диагональ квадрата. Достроил треугольник ABT и нашёл коэффициент подобия с AFD равным 3/4. Биссектриса из вершины D делит AF в точке P также 3/4, находим длину AF и соответствующие отрезки, а затем и длину биссектрисы DP^2=AD*FD-X*Y и то как она делится проходя через центр окружности по формуле DK/KP=(AD+FD)/AF. KP=(15√2)/7, а MP=(20√2)/7 исходя из подобия. Складываем и получаем 5√2

@GeometriaValeriyKazakov

26 күн бұрын

Отлично.

Решал в уме и немного не так. Меньший радиус находим сразу (9*12)/(9+12+15)=3 Больший радиус -- аналогично. перед этим уподобив CFT и AFD как 3/9. Откуда СТ=4 и ВТ=16. М и К лежат на диагонали квадрата и разность их абсцисс и ординат равна 12-3-4=5 Ответ: кв корень из 50

@GeometriaValeriyKazakov

26 күн бұрын

оТЛИЧНО.

Нашёл радиус малой вписанной окружности через площади тр-ков afk, fdk и adk и то что они вместе образуют afd. Остальное как у вас

@GeometriaValeriyKazakov

18 күн бұрын

Отлично!

Шеститомник Сканави интереснее, чем A, B, C Сканави для поступающих. И вот последние три тома, там где Стереометрия ну никак не приобрести теперь из-за войны

@GeometriaValeriyKazakov

26 күн бұрын

Спасибо. Не знал, ЧТО ТАКОЙ ВЫПУСТИЛИ. ЭТО НАВЕРНОЕ, РЕШЕБНИКИ

@natashok4346

25 күн бұрын

Да, я имею ввиду решебник всех конкурсных задач, где корочка украинская, а содержание на русском

KM=BD-(BM+KD).

A зачем вообще нужно PN ? Диагональ квадрата 12*sqrt(2). MK = 12*sqrt(2) - 4*sqrt(2) - 3*sqrt(2) = 5*sqrt(2).

@GeometriaValeriyKazakov

26 күн бұрын

Здесь не нужно. Вы правы. Нужно для общего случая - для прямоугольника (параллелограмма, трапеции). Ароме того, в другой задаче попросят найти PN.

До всего догадался, кроме опускания радиусов, чтобы получились квадратики. Долго думал, как можно найти отрезки касательных, но так и не придумал(

@GeometriaValeriyKazakov

26 күн бұрын

Бывает. Есть формулка общая x=(a+b-c)|2

ДЗ. У меня получился радиус r1,2=16±8sqrt(3). Берём меньший, r=16-8sqrt(3). Вопрос на засыпку: как понять второй ответ с гигантским радиусом r=16+8sqrt(3)? Есть ли у этого ответа геометрическая интерпретация?

@GeometriaValeriyKazakov

26 күн бұрын

Спасибо. Выше вроде бы 2.

@alexandermorozov2248

26 күн бұрын

​@@GeometriaValeriyKazakov сегодня перепроверю.

@alexandermorozov2248

26 күн бұрын

Сторона квадрата 12, вычитаем диаметр большей окружности 2×4=8, остаётся ширина 4. В эту ширину нужно вписать окружность. Но окружность радиуса 2 мала для заполнения оставшегося пространства, она будет только касаться правой стороны квадрата и крайней правой точки большей окружности, но не достанет до верхней стороны квадрата. Окружность должна быть радиуса чуть больше 2, но не 2. Поэтому ответ r=16-8*sqrt(3)≈2,14359 😛

@alexandermorozov2248

26 күн бұрын

​@@GeometriaValeriyKazakov2 - это интуитивный детский ответ 😅

МК - часть ВD (=12√2). r = 3, R = 4 (Ваше доп. построение). МК = ВD - ВМ - КD = 12√2 - 4√2 - 3√2 = 5√2.

@GeometriaValeriyKazakov

26 күн бұрын

Отл. А ДЗ?

@adept7474

26 күн бұрын

Виноват, не досмотрел до конца, прозевал ДЗ😢. R = 2 через прямоугольную описанную трапецию и известные углы.​@@GeometriaValeriyKazakov

@adept7474

26 күн бұрын

@@GeometriaValeriyKazakov Виноват, не досмотрел до конца, прозевал ДЗ R = 2 (через описанную прямоугольную трапецию и известные углы).

@GeometriaValeriyKazakov

26 күн бұрын

@@adept7474 Сложная?

@adept7474

25 күн бұрын

@@GeometriaValeriyKazakov Мне так не показалось

Д.З. R=2

@GeometriaValeriyKazakov

26 күн бұрын

Отлично. Спасибо.

@alexandermorozov2248

26 күн бұрын

Невэрно! :)

asnwer=2 isit

@GeometriaValeriyKazakov

26 күн бұрын

super