Как найти произведение косинусов вида cos(𝝅k/(2n+1)), где k изменяется от 1 до n?
Найти произведение косинусов вида cos(𝝅k/(2n+1)), где k изменяется от 1 до n.
Решить задачу нам помогут элементы теории комплексных чисел. В основе решения будет лежать вспомогательное произведение сумм единицы и всех значений комплексного корня из единицы степени 2n+1, записанных в показательной форме. Это произведение несложно найти, если использовать элементарные знания из теории полиномов и алгебраических уравнений. Оказывается, что это произведение не зависит от n, то есть является константой.
С другой стороны, это вспомогательное произведение можно, используя формулу Эйлера, свойства комплексно сопряжённых чисел и тригонометрические формулы, выразить через искомое произведение, в результате чего получить простейшей уравнение относительно искомого произведения.
Пікірлер: 6
Блин, пипец какое сложное решение! Задачка решается за 10 минут в уме, если попробовать её для пары-тройки первых n. Теперь само решение. Обозначим π/(2n+1) за а. Тогда надо найти произведение cos(a)*cos(2a)*...*cos(na). Домножаем каждый косинус на соответствующий синус того же угла и на него же делим. Произведение синуса на косинус превращаем в синус двойного угла, на каждом таком синусе зарабатываем коэффициент 1/2. Итого, получаем дробь, у которой в числителе sin(2a)*sin(4a)*...*sin(2na), а в знаменателе 2^n*sin(a)*sin(2a)*...*sin(na). Все чётные синусы из знаменателя благополучно сокращаются с синусами числителя. А для каждого нечётного синуса из знаменателя с аргументом ma найдётся синус с аргументом (2n+1-m)a в числителе. То есть с аргументом π-ma. А sin(ma)=sin(π-ma). То есть эти синусы тоже благополучно сокращаются. Всё, что остается от дроби, это 1/2^n. Блин, писал эту простыню дольше, чем решал! И да, главное. С Днём Победы советского народа над немецко-фашистскими захватчиками в Великой Отечественной Войне.
@FrolovSergei
27 күн бұрын
А, ну значит я был прав. Действительно имеется чисто тригонометрическое решение.
очень сложно, как говорится, тут мои полномочия всё 🙂
А вот некомплексное извращение. Квадрат искомой величины равен произведению корней (по модулю) первой производной полинома Чебышёва cos[(2n+1)arccos(x)] = 2^{2n}*x^{2n+1} + … Дифференцируем, подставляем x=0, получаем (2n+1). Осталось поделить на 2^{2n}*(2n+1) и извлечь квадратный корень.
@FrolovSergei
27 күн бұрын
Отлично! Давно я с полиномами Чебышева дел не имел. Лет 15 наверно.
Ааааааааааааааааааааааааааа, математикаааааааааа, зачем я сюда тыкнул, я снова чувствую себя ведром..