Я в 55 лет в школу скоро пойду снова.Я это чувствую.Спасибо Вам огромное,Валерий.

Спасибо за два красивых решения.

Из подобия треугольников КВС и СВА получаем, что 1/х=х/3, откуда х*2=3. Тогда для треугольника КВС справедливо, что КВ*2+ВС*2=КС*2 (1+3=4) , т.е. угол В равен 90 градусов. Пифагор рулит.

@GeometriaValeriyKazakov

4 ай бұрын

Отл

Вот уж действительно оба варианта просто фантастика!

Могу ещё вариант предложить. Он исходит из трёх широко известных фактах о биссектрисе треугольника. 1) биссектриса делит сторону на отрезки, пропорциональные заключающим сторонам 2) длина биссектрисы равна произведению среднего гармонического заключающих её сторон на косинус половины угла, из которого она исходит. 3) квадрат длины биссектрисы равен разности произведения заключающих сторон и произведения отрезков, на которые биссектриса делит сторону. Отсюда мгновенно получаем следующее. Из факта 1): если отношение отрезков 2:1, то и отношение заключающих сторон такое же, то есть если меньшая сторона х, тогда большая 2х. Их сумма, значит 3х, а произведение 2х^2. Из факта 3) имеем: 2^2=2x^2 - 2, откуда х=корень из 3 (это длина меньшей стороны), тогда длина большей стороны = 2 корня из 3. Из факта 2) имеем: 2=((2*2*3)/3sqrt(3))*cosBCK. Отсюда мгновенно находим косинус угла, он равен корень из 3 пополам, а значит, угол равен 30 градусов. Далее, очевидно, что угол А тогда тоже 30, угол С, естественно, 60, ну а на искомый тогда остаётся понятно сколько:-)))

@GeometriaValeriyKazakov

3 ай бұрын

Отлично!

Достроим треугольник до прямоугольного ( Продлим сторону АВ и построим перпендикуляр в точке С ). Медиана в прямоугольном треугольнике, проведённая из угла 90 градусов равна половине гипотенузы. Рассмотрим правый получившийся при доп. построении равнобедренный треугольник: сторона CB теперь его медиана. Сторона KB равна половине гипотенузы, поэтому угол KCB равен 30 градусов, значит и КСА равен 30 градусов, значит и угол между перпендикуляром и BC равен 30 градусов. Из чего делаем вывод, что треугольник равнобедренный, а значит СВ ещё и высота, значит угол АВС равен 90 градусов.

@GeometriaValeriyKazakov

4 ай бұрын

Спасибо.

Спасибо, геометрия - любимый предмет 😊

@GeometriaValeriyKazakov

4 ай бұрын

Отлично!

Кажется мне, что такого треугольника вообще не бывает! Если треугольник ABC в конечном итоге прямоугольный, то получается, что CK должна быть медианой (можем попробовать построить медиану в тр. ABC, тогда она равна половинке гипотенузы, образует р/б треугольник с углами равными A, а значит точка K должны являться медианой, т.к. получается такой же р/б треугольник. Если кто не понял, то такой способ опровергнуть: если мы проведем медиану к гипотенузе, то получется точка пересечения медианы и гипотенузы будет находиться ближе к точке A, но тогда получается, что медиана меньше биссектрисы, но такое невозможно, т.к. угол AKC=120, а значит напротив большего угла большая сторона)

@GeometriaValeriyKazakov

25 күн бұрын

Все бываает. Используйте ГЕОГЕБРУ.

Первое решение больше понравилось. А можно и применить СК**2=2х*х-2*1. х=√3.

@GeometriaValeriyKazakov

Ай бұрын

Мне тоже!

Треугольники ABC и CBK подобны, распишем отношения их сторон BD/BC = CD/AC = BC/AB Рассмотрим первую и третью часть пропорции BD/BC = BC/AB => BC^2 = AB * BD. Подставляя численные значения, BC = sqrt(3) Рассмотрим первую и вторую часть пропорции BD/BC = CD/AC => AC = 2sqrt(3) Применим теорему косинусов для треугольника BKC cos(B) = (BC^2 + BD^2 - CD^2)/(2 * BC * BD) Подставляя численные значения получим, что cos(B) = 0, а значит B = pi/2

@GeometriaValeriyKazakov

4 ай бұрын

Отлично.

Одна медиана есть ( которая 1:2), дотянем вторую и достроим треугольник, продлив стороны вдвое; медианы равны. Равнобедренный треугольник. Медиана , она же биссектриса. Равносторонний треугольник, медиана ака высота. 90.

@GeometriaValeriyKazakov

4 ай бұрын

Если на лету придумали, то очень классно! Поздравляю, это наш 2-й способ.

@innaveltman5646

4 ай бұрын

@@GeometriaValeriyKazakov ну да, на лету...точнее, на ходу.

ВС=х, АС=у. Сама биссектриса: СК^2=x*y--BK*AK. Отсюда: х/у=1:2 4=х*y--2. х=\/3, у=2\/3. Зная все стороны--cosb=0. Угол В=90

@GeometriaValeriyKazakov

4 ай бұрын

Отлично.

Обманешь. Решение без вычислений. Боковушки как 2:1. Если в нижнем опустить высоту, то она медиана и половина левой боковушки равна правой, а высота равна единичке. Сл., все три маленьких треугольника равны, но два из них прямоугольные, значит прямоугольный и третий. Ответ:90°

@GeometriaValeriyKazakov

4 ай бұрын

Так это ж наше 1-е решение. Тут никакого обмана: 2-й и верхний равны по 1-му признаку. Здесь главное - 2:1 либо подобием, либо биссектрисой. ВСе четко - 3 математических хода.

90. Считал через подобие, как 1-м способом на видео.

@GeometriaValeriyKazakov

4 ай бұрын

Отлично.

Интересное свойство медиан (что точка пересечения медиан любого треугольника делит каждую медиану в соотношении 2 к 1), не знал об этом свойстве раньше, спс! 👍

@GeometriaValeriyKazakov

4 ай бұрын

Да, это основное свойство.

1) Используя формулу биссектрисы и учитывая, что АК=КС=2, можно записать, КС=√(АС×ВС - АК×КВ) ➡️ 2=√(АС×ВС - 2×1) ➡️ АС×ВС=6 (1.1) 2) Т.к. АК=КС, то ∆-к АКС -- равнобедренный. А поскольку КС -- биссектриса, то ^ВАС=^КСА=^КСВ=а ^АКС=180° - 2а ^ВКС=2а ^АВС=180°-3а Таким образом, ∆-ки АВС и КВС подобные по 3-м углам и мы можем записать: АС/СК=ВС/ВК АС/2=ВС/1 АС=2×ВС С учётом (1.1) 6/ВС=2×ВС ➡️ ВС=√3, АС=2×ВС=2√3 3) Опустим перпендикуляр из вершины К ∆-ка АКС на АС. Точку пересечения назовем М. Т.к. АКС -- равнобедренный ∆-к, то КМ является высотой, медианой и биссектрисой угла АКС. АМ=МС=АС/2=√3 КМ=√(КС^2-МС^2)=√[2^2-(√3)^2]=1 (в соответствие с теоремой Пифагора). Т.о. ∆-ки МКС и КВС равны по 3-м сторонам. Следовательно, угол ^КМС=^КВС=90° ☑️☑️

@AlexandraMarchenkova

4 ай бұрын

Уже можно было после пункта 2), увидев, что КС^2=КВ^2+ВС^2 (2^2=1^1+(√3)^2), сделать вывод: ^АВС=90°

@AlexandraMarchenkova

4 ай бұрын

А можно ещё проще Формулу биссектрисы не использовать, а просто записать соотношение для подобных ∆-ков АВС и КВС АС/КС=ВС/ВК или АС/2=ВС/1 ➡️ АС =2ВС, а, учитывая, что ∆-к АКС -- равнобедренный, то точка, делящая АС пополам -- это точка пересечения высоты/медианы/биссектрисы ∆-ка АКС (назовем ее М) со стороной АС. Тогда ∆-ки МКС и КВС равны по 2-м сторонам и углу между ними ➡️ искомый угол ^АВС=90°

@GeometriaValeriyKazakov

4 ай бұрын

Супер!

не корректный способ - мы не знаем прямой ли ∠АВС, потому из т. К опускаем перпендикуляр на АС в т. М. S▲КВС принимаем за 1 у.е,.тогда S▲АКС = 2 у.е., как имеющая вдвое большее основание, кроме того, S▲АКМ = S▲СКМ = S▲СКВ как имеющие одинаковую сторону и угол а. При таких исходных это возможно ТОЛЬКО если КМ = 1, а ∠АВС = 90°

по теореме синусов практически сразу доказывается что синус угла при вершине А равен 1/2. Фсё.

@GeometriaValeriyKazakov

4 ай бұрын

Спасибо. Напишите подробнее, если не трудно.

Обозначим правую сторону х Из подобия х=3/х х=√3 cosB=(1+3-4)/(2*√3) cosB=0 B=90°

@GeometriaValeriyKazakov

4 ай бұрын

Да. Можно еще через обратную Пифагора.

@user-ig8de5jf6h

4 ай бұрын

@@GeometriaValeriyKazakov это если заранее предположить, что 90° В общем виде, думаю теор косинусов лучше будет

Первое решение - самое очевидное и простое, нафантазировать можно ещё несколько, только надо ли?

@GeometriaValeriyKazakov

4 ай бұрын

Надо, Главное не решение, главное его поиск (Пуанкаре)!

ВС =х,АС=2х, квадрат АС=произведению ВС иАС минус произведение АК наКВ, найдем х и по теореме сосинусов угол В.

@GeometriaValeriyKazakov

4 ай бұрын

Да, можно и так!

Здравствуйте. Почему из того, что АВ медиана ( второй способ ренения) следует, что точка К это точка пересечения медиан?

@karelalex

4 ай бұрын

Медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1, если смотреть от вершины. А тут точка К как раз в таком соотношении наш отрезок и делит. Какая удача, ура ура.

@GeometriaValeriyKazakov

4 ай бұрын

Спасибо за помощь!@@karelalex

Понятно, что 90 градусов. Решение в уме. По свойству биссектрисы получаем что ВС в два раза меньше чем АС. В равнобедренном треугольнике АКС из т К опускаем высоту на АС -> т.Р. РС - половина АС значит РС равно ВС. Треугольники КРС и КВС равны между собой по двум сторонам и углу между ними. Значит треугольник КВС прямоугольный и угол В равен 90 градусов. Смотрим. Блин. Не надо было писать решение до полного просмотра. Меньше было бы писанины. Второе решение супер!.

@GeometriaValeriyKazakov

4 ай бұрын

Але, не подсматривать! Спасибо. А как вам 2-й способ?

@viktorviktor5820

4 ай бұрын

@@GeometriaValeriyKazakov зачем мне подсматривать? Второй способ супер!

@GeometriaValeriyKazakov

4 ай бұрын

Шутка юмора!@@viktorviktor5820

@GeometriaValeriyKazakov

4 ай бұрын

Рад, что совпал 1 сп.@@viktorviktor5820

Так как АК:КВ=2:1, то К точка пересечения медиан?

@GeometriaValeriyKazakov

3 ай бұрын

Спасибо.

провел с B отрезок ВM=1. Треугольник KBМ - равнобедрений.Потом используя лишь суму углов ВМС равнобедрений. Отсюда следует ВМ=МС=1=КВ. Выходит КВМ равносторонний ну, а дальше все понятно

@GeometriaValeriyKazakov

3 ай бұрын

Спасибо.

Так как АК:КВ=2:1?

@GeometriaValeriyKazakov

3 ай бұрын

Спасибо.

Такое впечатление, что все эти задачи из какого то американского задачника. На вид автор не так уж молод и наверняка учился в советской школе. Так что уважаемый, давайте разбирать задачи посложнее.

@GeometriaValeriyKazakov

4 ай бұрын

Все они (почти) из моей кухни. НО спасибо за комплимент. Давайте посложнее (2 дня назад была): kzread.info/dash/bejne/hn-bwbaSZcqehpM.htmlsi=SEExxKeCh6mrkhNl

Скучно, просто сложите треугольник КВС через биссектрису КС на треугольник АКС и увидите что угол В равен 90 градусов.Даже без сторон 1и2.

@-wx-78-

4 ай бұрын

Вообще-то по биссектрисе можно сложить любой треугольник, неужели они все прямоугольные?! 😉

@user-fm3hh2cg1g

4 ай бұрын

@@-wx-78- Нее только на равнобедренный.

@-wx-78-

4 ай бұрын

@@user-fm3hh2cg1g Я имел в виду что любой треугольник складывается по биссектрисе CK так, что вершина B попадает на прямую AC - из этого вовсе не следует что β=90°.

@user-fm3hh2cg1g

4 ай бұрын

@@-wx-78- Я говорю только на равнобедренный АКС.

@viktorviktor5820

4 ай бұрын

​@@user-fm3hh2cg1gне получится. Возьмите угол С в 40 градусов, АКС также будет равнобедренный с углом при основании 20 градусов. Угол В не будет прямым.

Рассмотрим треугольник КВС. sin(b)/2 =sin(a)/1. a - угол при вершине А. 3a+b=180. sin(180-3a)=2sin(a). sin(3a)=2sin(a); sin(2a)cos(a)+cos(2a)sin(a)=2sin(a); 2sin(a)*cos^2(a)+(cos^2(a)-sin^2(a))sin(a)=2sin(a); 2cos^2(a)+cos^2(a)-sin^2(a)=2; 2(1-sin^2(a))+1-2sin^2(a)=2; 2-2sin^2(a)+1-2sin^2(a)=2 4sin^2(a)=1 sin(a)=1/2

@GeometriaValeriyKazakov

4 ай бұрын

Отлично!

Так как АК:КВ=2:1, то К точка пересечения медиан?

@viktorviktor5820

4 ай бұрын

Каких медиан? Ход мысли хороший, надо добить .

Так как АК:КВ=2:1, то К точка пересечения медиан?

@-wx-78-

4 ай бұрын

Не совсем так. AB медиана △ACD, K делит её в отношении 2:1 от вершины, из которой медиана проведена ⇔ K точка пересечения медиан △ACD.

@user-hy4ku7wi3g

4 ай бұрын

@@-wx-78- понятно, спасибо

@GeometriaValeriyKazakov

4 ай бұрын

Спасибо. Кто ж еще поможет Вы и Аdept!