Бином Ньютона: формула, доказательство и Треугольник Паскаля
Бином Ньютона - это формула, которая обобщает привычные нам формул сокращённого умножения (квадрат суммы и куб суммы, например). С помощью Бинома Ньютона можно разложить на слагаемые любую степень суммы. При этом у начинающих учеников возникает несколько проблем:
1. Формула Бинома Ньютона содержит знак суммы - это компактная запись множества слагаемых специального вида;
2. Сами слагаемые тоже не простые. Там есть степени (и это не проблема), а есть биноминальные коэффициенты;
3. Доказательство формулы Бинома Ньютона - отдельная история. Существует несколько способов доказать её, но мы будем опираться на метод математической индукции.
Таким образом, из этого урока вы узнаете:
1. Что такое Бином Ньютона, как выглядит эта формула, что с ней можно делать и что она вообще означает;
2. Что такое биноминальные коэффициенты. Как считается число сочетаний из n элементов по k элементов, при чём тут факториалы и комбинаторика;
3. Кстати, о факториалах. Мы дополним стандартное определение факториала с помощью рекуррентных формул. В частности, 0! = 1 - прямо по определению. Это ни в коем случае не противоречит "классическому" определению факториала (произведение всех натуральных чисел от 1 до n), но позволяет легко считать большие биноминальные коэффициенты;
4. Затем мы рассмотрим важнейшее свойство биноминальных коэффициентов, на основе которого построим треугольник Паскаля - ещё одну замечательную конструкцию, которую можно использовать для разложения степеней в многочлены даже в том случае, если вы не знаете, что такое Бином Ньютона;
5. Ну и вишенка на торте - мы докажем саму формулу Бинома Ньютона, опираясь на свойства биноминальных коэффициентов и математическую индукцию.
6. А в качестве опции рассмотрим более наглядный метод группировки слагаемых. После чего станет понятно, почему они группируются именно так, как предложено в доказательстве, а никак иначе.:)
В целом хочу отметить, что тема Бинома Ньютона - большая и сложная. Её нельзя объяснить и доказать в коротком видео. Точнее, объяснить-то как раз можно, но доказать - тут нужно детально разобраться в каждом элементе формулы. Поэтому видео получилось довольно объёмным, но при этом максимально полным и информативным.:)
00:00 0. Формула бинома Ньютона
01:55 1. Значок суммы
10:30 2. Биноминальные коэффициенты
16:25 3. Треугольник Паскаля
23:37 4. Доказательство Бинома Ньютона
42:08 5. Другой способ суммирования
Меня зовут Павел Бердов, и я веду этот канал для тех, кто изучает школьную математику 7-11 классов (алгебра, геометрия и стереометрия), готовится к профильному ЕГЭ по математике (или ОГЭ), а также изучает высшую математику в университете (в т.ч. уровня мехмата МГУ). Помимо теории предлагаю вашему вниманию задачи для самостоятельного решения. Поэтому смотрите, изучайте, решайте - и сдавайте экзамены и контрольные работы на пятёрки.:)
Пікірлер: 64
Друзья! С этого дня возобновляется публикация новых роликов по математике. В связи с этим есть пара вопросов: 1. Какие темы вам интересны? На недавнем голосовании определились два лидера - подготовка к ЕГЭ и высшая математика. А что конкретно? 2. Как вам нововведение с моей симпатичной мордашкой в правом нижнем углу? Нужна ли трансляция с вебки? Или она только отвлекает?:)
@aristotle1337
2 жыл бұрын
1. Рекуррентные соотношения, теория чисел, гиперболические функции, доказательство неравенств, функциональные уравнения. Кстати, на канале были видео про матрицы, но развитие эта прекрасная тема так и не получила, к сожалению 2. Не знаю, как у остальных, но у меня проблемы с концентрацией внимания на чём-то, а Ваши видео хороши тем, что только доска и тема урока
@alxbavy
2 жыл бұрын
Добрый вечер! 1. Относительно высшей математики, думаю, для многих людей после ЕГЭ актуально "въехать" в матанализ, чтобы в дальнейшем понимать, что творится на практике и лекциях - лично мне было бы интересно послушать про пределы: с самого, так сказать, "нуля" до "про", затронув такие темы как доказательство сходимости по критерию Коши, всякие теоремы, которые нужны в работе с пределами, например, "о двух миллиционерах", о разрывах и т.д. Очень нравятся Ваш формат подачи, потому что Вы закрепляете на практике всё, что рассказали в теории, поэтому с нетерпением жду продолжение серии роликов по высшей математике и матанализу. :) 2. Очень интересное решение. Лично у меня возникает ощущение, будто бы я лично работаю с Вами в ламповой атмосфере.
@slxxxr
2 жыл бұрын
Здравствуйте, очень ждал вас и ваши видео! Хотелось бы видео сложных тем ЕГЭ(планиметрия, параметры ну и может 18ую) и высшую математику желательно тоже. Насчёт вебки не знаю, мне лично с ней лучше
@mishanyapo957
2 жыл бұрын
Ну думаю параметры были бы неплохим дополнением к вашему каналу.
@user-nv8hz7jl5s
2 жыл бұрын
@@mishanyapo957 Да!Параметры было бы классно!!!!!!!!!!
Ролики Павла как дорогое вино- раз в год, зато КАК:)
@blackmaths
2 жыл бұрын
Ахах, думаю, теперь будут чаще.:)
Наконец-то кто-то разбирает подобные темы настолько подробно, невероятных и неописуемых масштабов благодарность за ролики!
А я всё ждал, когда же ты появишься!
@blackmaths
2 жыл бұрын
Год угрохал на психологию. Разобрался во всех своих косяках. Теперь настала пора разобраться в математике, ахах :)
Ура! Павел, спасибо большое, что прислушиваетесь к зрителям)
@blackmaths
2 жыл бұрын
Ахах, в этом смысл работы блогера.:) Так что жду новые заказы: какую тему разбирать по математике, что копать и т.д.
@user-cj1ki9vy5c
2 жыл бұрын
@@blackmaths Здравствуйте, Павел. Опишите, пожалуйста, приём извлечения кубического корня в столбик. Заранее признателен! Благодарю за Ваш труд.
@blackmaths
2 жыл бұрын
Так ведь уже всё опубликовано: kzread.info/dash/bejne/mJ9sq7iQhpnVeKg.html - радианная мера угла; kzread.info/dash/bejne/m6VnzpRxYrraj9Y.html - что такое синус, косинус, тангенс и котангенс.:) Или что-то другое интересует?
Хочу сказать Вам огромное спасибо, что вернулись с классными видосиками по математике)
Как же это круто! Спустя всего 20 минут с начала видео я уже осознал, что набросать в программке для расчета как любой конкретной строки треугольника Паскаля, так и вывода самого треугольника до любой строки! Да и на бумажке биноминальные коэффициенты посчитаю без проблем. Подписка без вариантов!
Урааа, новое видео! 🥳
@blackmaths
2 жыл бұрын
Ахах, так вы же вчера были на "тайном стриме" и теперь знаете, что ролики по математике будут выходить регулярно.:)
Огромнейшее спасибо за видео ! Очень помогли разобраться в теме
С возвращением, Павел)
@blackmaths
2 жыл бұрын
Да, пора бы уже вернуться.:)
Великолепное великолепие!
спасибо огромное ! очень помогло!
Хотелось бы, чтоб вы разобрали поподробнее метод мат. Индукции и доказательства в математике в целом, поскольку тема очень важная и трудная, а никто ей не уделяет внимание :(. И так же хотелось бы увидеть на вашем канале видео по теории вероятностей, при чём и в высшей математике
@blackmaths
2 жыл бұрын
Так матиндукция уже есть же.:) kzread.info/dash/bejne/paubldxtddSefZM.html
@Terxx15
2 жыл бұрын
@@blackmaths Да, но я считаю, что эта тема не достаточно подробно разобрана. Потому что есть задачи, где нужно, к примеру доказать кратность значения такого выражения чилслу и так далее. Количество разновидностей задач на мат. Индукцию куда больше, чем было разобрано в видеоуроке
Спасибо за возможность вспомнить математику! подписалась
@blackmaths
2 жыл бұрын
Ахах, ну вообще Бином Ньютона - это такая довольно-таки жёсткая математика.:)
Красавчик, спасибо!
могли бы вы рассказать что нибудь про оснащенное Гильбертово пространство?
Давай что нибудь более хай левел. Тип введение в комбинаторику, тервер, теория автоматов, тензорный анализ и т.д много интересных областей. По подготовке к ЕГЭ и так много материалов
@aristotle1337
2 жыл бұрын
да, после видосов Павла ЕГЭ не кажется чем-то сложным, нужно канал на уровень повыше перевести
@blackmaths
2 жыл бұрын
Ахах, после поступления в универ ЕГЭ в принципе не кажется сложным.:) А вот комбинаторика и тервер - тема.:)
Здравствуйте Павел, спасибо А ссылку не увидела по теме как сворачивать ряд в формулу?
Здравствуйте с возвращением вас 🤟. 1)Может снимите уроки про векторы .Не только в вашем канале ,но и во всех русскоязычных каналах нету нормальных уроков про векторы. 2)лично я предпочитаю без трансляционного экрана
Добрый день Павел Очень интересует задача какая формула для вычисления вероятности того, что в случайной перестановке из 100 элементов не будет цикла длиннее 25
Павел, можете записать ролик про теорему о трёх перпендикулярах?
@blackmaths
2 жыл бұрын
Дааааа, это одна из тем, над которой я буду работать в ближайшее время. Точнее, так: теорема о трёх перпендикулярах и признак перпендикулярности прямой и плоскости. Эти две темы будут объединены в один большой урок.:)
@cyberdefender1859
2 жыл бұрын
@@blackmaths спасибо)
Хотелось бы увидеть решение задач с целой и дробной частью числа, хотя тема конечно не совсем школьная.
@blackmaths
2 жыл бұрын
Вполне школьная тема. Я бы даже сказал, 9 класс.:)
Куда же ты пропал?
Можно что то за 9 класс? Например подготовка к оге?
@blackmaths
2 жыл бұрын
Да, это вполне реально. А какие конкретно темы интересуют?
Величайший
@aristotle1337
2 жыл бұрын
ВИ КА ВИ КА ВИ КА!
Параметры , лимиты , производные и интеграл
@blackmaths
2 жыл бұрын
Отличный список. Особенно параметры и интегралы - по ним у меня вообще толком нет видосов.:)
бином ньютона, это школьная тема?
Ты вернулся? А где хомечки?
@blackmaths
2 жыл бұрын
Магнитные хомячки всегда с нами. Они незримо присутствуют в окружающем пространстве-времени. Их суть непостижима. Их деятельность засекречена.:)
кайфарик! ! !
Jijijija
Ну и как это все можено применить в жизни?
@blackmaths
10 ай бұрын
Зависит от того, чем вы в жизни собираетесь заниматься.:)
Заебись.
Полезнота какая
Прежде чем говорить о биномиальных коэффициентах, надо их вывести.
кто из тиктока?
@blackmaths
2 жыл бұрын
Не, в этом видосе нет хомячков.:)
биномиальные, а не биномиНальные
@blackmaths
Жыл бұрын
Да, вы правы.:)