Hallo du da draußen, in diesem Tutorial geh ich auf den Begriff Integralfunktion ein, vorab eins: ich versuch, das Ganze möglichst einfach zu erklären und gehe dabei nicht auf alle mathematischen Hintergründe und Nachweise ein.
Das musst du vorher wissen:
Gegeben sei eine beliebige Funktion, und du sollst eine Fläche, die diese Funktion in einem bestimmten Intervall, also Zahlenbereich, mit der x-Achse bildet, ausrechnen. Nehmen wir hier mal diese einfache Funktion f(x) = 0.1x^2 - 1.2x + 5, übrigens eine Parabel.
Du sollst nun die Fläche ausrechnen, die diese Funktion im Intervall von 3 bis 5 mit der x-Achse bildet. 3 und 5 sind hier die Integrationsgrenzen, 3 die untere, 5 die obere. Nun rechnest du diese Fläche aus, in dem du die Stammfunktion bildest und dann erst die obere Integrationsgrenze, hier also 5 einsetzt, und dann die untere Grenze, also 3, und dann subtrahierst. Die Buchstaben hinter der Flächenmaßzahl FE bedeuten hier übrigens Flächeneinheiten
Soweit so gut, so läuft das normalerweise wenn du eine Fläche ausrechnest, die eine Funktion mit der x-Achse bildet.
Wenn du nun die obere Integrationsgrenze änderst, statt 5 nimmst du jetzt 7, dann läuft das genau gleich ab, nur setzt du jetzt für die obere Integrationsgrenze eine 7 ein, die untere Grenze bleibt wie sie war.
An dieser Stelle kommt der Begriff Integralfunktion ins Spiel.
Nehmen wir wieder die Funktion, die untere Grenze ist 3, und du sollst nun die Integralfunktion zu einer beliebigen oberen Grenze finden. Die obere Grenze ist also variabel, sie heißt hier klein a
Um auf die Integralfunktion zu kommen, rechnest du das Integral mit einer festen unteren Grenze 3 und einer variablen oberen Grenze a aus, du behandelst die Variable a genauso wie vorhin die obere Grenze 5
Das ganze wird jetzt vereinfacht und du kommst auf diese Gleichung.
Diese Gleichung ist also die Integralfunktion J(a) mit der festen unteren Grenze 3 und der variablen oberen Grenze a
Die Funktion heißt in den meisten Mahtebüchern meist groß J, du kannst ihr aber grundsätzlich auch einen anderen Namen geben. Die kleine 3 hinter dem J bedeutet, dass die untere Grenze die 3 ist.
Eine solche Integralfunktion ist also eine Funktion, in die du nur noch die obere Integrationsgrenze einsetzen musst, und sie liefert dir dann die Fläche, ohne dass du aufleiten und die Stammfunktion finden musst. Deswegen ist eine Integralfunktion, ja, es hört sich komisch an, integralfrei und sieht aus wie eine normale Funktion.
Und was du mit dieser Funktion anstellen kannst, wird jetzt gezeigt:
Wir haben wieder unsere rechts unsere ursprüngliche Funktion, die Parabel, und links die dazugehörige Integralfunktion J(a) mit der unteren Grenze 3
Als erstes soll die Fläche ausgerechnet werden, die f(x) im Intervall von 3 bis 10 mit der x-Achse einschließt. Du setzt also in die Integralfunktion einfach 10 ein und hast den Flächeninhalt.
Aber da geht noch viel mehr.
Mit der Integralfunktion kannst du, unabhängig von der unteren Grenze 3 jede beliebige Fläche ausrechnen, die die Funktion mit der x-Achse bildet. Die untere Integrationsgrenze 3 ist dabei keinerlei Hindernis. Nehmen wir an dass die Integrationsgrenzen jetzt 7 und 11 sind, du willst also also die Fläche im Intervall von 7 bis 11.
Das läuft dann so dass du mit der Integralfunktion als erstes die Fläche von 3 bis 11 ausrechnest, also J(11), davon ziehst du Fläche von 3 bis 7 ab, also J(7) und schon hast du die gesuchte Fläche.
Oder du sollst die Fläche im Intervall von -30 bis -17 ausrechnen, auch hier ist die untere Grenze nicht 3.
Als erstes rechnest du die Fläche von 3 bis -30 aus, in dem du -30 in die Integralfunktion einsetzt. Achtung: Weil bei der Integralfunktion jetzt mit der unteren Grenze 3 und der oberen Grenze -30 gerechnet wird, tatsächlich aber -30 die kleinere Zahl ist, liefert die Integralfunktion jetzt ein negatives Ergebnis.
Dann rechnest du die Fläche von 3 bis -17 aus, hier gilt das Gleiche wie mit der -30, das Ergebnis ist negativ weil -17 nicht die obere, sondern eigentlich die untere Grenze ist.
Von den beiden Flächen bildest du nun einfach den Betrag und hast wieder die tatsächlichen Flächen.
Nun ziehst du von der größeren Fläche die kleinere ab und hast die gesuchte Fläche.
So, das war's, ich hoffe, dir geholfen zu haben, melde dich per Kommentar, wenn du Fragen hast, schönen Tag noch.