j'ai absolument tout compris (c'est faux). Pourrait on m'expliquer concrètement à quoi ça peut servir de savoir ceci ?

@philcaldero8964

29 күн бұрын

C'est une façon de représenter des solutions d'équation avec un paramètre qui bouge sur une variété et comprendre comment les solutions se modifient en fonction de la topologie de la variété. On sait qu'on ne peut pas résoudre concrètement des équations mets comprendre l'allure peut-être important

Joli petit exercice, avec des coups de théâtre. Les valeurs propres simples peuvent paraître surprenantes au premier regard, mais elles viennent de la disposition du sous-espace {0} x C^{n-1} à donner tout sauf au plus un à droite (en l'occurrence ici lorsqu'on l'intersecte avec un espace propre de U_z), et donc à donner au plus un à ce qui reste. L'idée de découper à l'aide de l'espace {0} x C^{n-1} pour redresser U par rapport à D_z est naturelle. Elle demande des petits réajustements : idée de sous-espace F stable de {0} x C^{n-1} de taille maximale, et caractère hermitien pour avoir à disposition un supplémentaire M de celui-ci. L'idée que l'on puisse trancher pour le cycle (1 ... r) plutôt qu'un autre grâce au déterminant de U_z est jolie, sans doute il y a-t-il quelque chose à creuser dans le lien déterminant/permutation (a priori autre que déterminant/signature donné par les matrices de permutation, ici on obtient un lien entre un déterminant et un décalage cyclique). Dernier point : simple curiosité. Les theta_i sont-ils strictement croissants ? Si ce n'est pas le cas, à quoi pourrait ressembler un contre-exemple ? J'imagine, qu'au fur et à mesure qu'augmente la dimension, on peut potentiellement avoir des comportements de plus en plus en désordre (par exemple faire capricieusement le tour du cercle dans les deux sens un nombre potentiellement grand de fois dans un ordre arbitraire, tant que le décompte total ne donne qu'un tour) ? Je ne fais que deviner, mais je souhaiterais idéalement le voir plus précisément.

@AlainGenestier-tj8fn

Ай бұрын

Les fonctions theta_k sont strictement croissantes. En effet, comme le polynôme caractéristique \chi(X,z) de v_z est de degré partiel 1 en la variable z, la donnée d'une valeur propre \lambda détermine z (z est une fraction rationnelle de \lambda) ; par conséquent, d\theta_k/dt est constamment non-nulle (puisque t est une fonction C^\infty de \theta !).

@dimitrilemeur7703

Ай бұрын

@@AlainGenestier-tj8fn Merci de votre partage et de votre réponse. C'est rassurant géométriquement, l'idée qu'une petite rotation sur un sous-espace de dimension 1 puisse faire de tels ravages avait de quoi inquiéter.

@juliendenjoy

Ай бұрын

​@@AlainGenestier-tj8fnbonjour, Phil Caldero dit que c'est cous qui lui avez communiqué l'exercice. Connaissez vous une application de cet exercice ? (Peut-être que Vincent Lafforgue l'utilise dans un de ses papiers, je ne sais pas). Le contexte m'intéresse, j'ai du mal à voir d'où un tel problème peut bien sortir ... Merci d'avance

@AlainGenestier-tj8fn

Ай бұрын

@@juliendenjoy Cet exercice n'a à ma connaissance pas d'applications. Vincent y a pensé à l'occasion de réflexions au sujet des polynômes à racines entrelacées --dont il espère en effet une application. Je crois qu'il s'agissait pour lui de s'exercer, c'est-à-dire, de jouer avec ce genre d'objets et des tester la portée de certaines méthodes. Ma réponse décevra peut-être ... Je crois que c'est trompeur de laisser entendre que tout doit toujours avoir une application (ou du moins, une application directe). A cet égard, certains titres de leçons d'agrégation me font un peu grincer des dents...

@AlainGenestier-tj8fn

Ай бұрын

J'ajoute que j'aurais bien du mal à expliquer la créativité de Vincent (si seulement je le pouvais... je pourrais alors être aussi créatif que lui !). Cela dit, cette notion de monodromie (à laquelle Philippe Caldero fait allusion dans la vidéo) est une notion assez standard : on suit un objet le long d'un trajet circulaire, et au bout d'un tour, on ne revient pas à la situation initiale.

Bonsoir

Jolie bo, il faut du paracétamol