Тут тоже классический школьный метод: треугольники подобны, катет относится к катету (оба противолежат меньшему углу), как гипотенуза к гипотенузе. Отсюда √3:1 = 2x:√(1 + x²), где x - половинка большей гипотенузы. Возводим в квадрат и сводим к простому линейному уравнению относительно x² = 3, откуда x = √3. Далее правая площадь x/2, а вся площадь втрое больше. Разность - это x = √3, она же искомая жёлтая площадь.

@ddamnkill_aka_vladimir

15 күн бұрын

дз кстати тоже решается через подобие треугольников ACB и KMB, там рассматривается равенство отношений бОльших катетов MB(корень из 3) и CB(1+х) и гипотенуз KB(x) и AB(2 корня из 3), из пропорции составляется квадратное уравнение х^2+x-6 , из него находится, что x=KB=2, тогда CB=3, AC=корень из 3 по теореме Пифагора для тр-ка ACB, проводим AK, по т.Пифагора для тр-ка ACK AK=2, по т.Пифагора для тр-ка AMK MK=1, тогда тр-к AMK=тр-ку ACK, тогда Sж=2S(ACK)=2*(1/2)*1*(корень из 3)= корень из 3.

@GeometriaValeriyKazakov

14 күн бұрын

Спасибо.

@user-bg2ub1tz9w

14 күн бұрын

Если соединить вершину большего острого угла с точкой пересечения высоты и большего катета,получим 3 равных треугольника.Площадь посчитать проще пареной брюквы.

@GeometriaValeriyKazakov

14 күн бұрын

@@user-bg2ub1tz9w Думаю, вы ошиблись. Не ясно "с точкой пересечения высоты и большего катета", которые пересекаются в вершине прямоуго угла.

Коэфф. подобия для треугольников ACB и MBK очевидно √3. Пусть MB = х тогда СB = x√3. Ну а дальше теорема Пифагора 3+3x²=4x² откуда MB=√3=АС. Получаем 3 равных треугольника с площадью √3/2, нас интересуют два из них

@GeometriaValeriyKazakov

14 күн бұрын

Отлично.

После того того как построили FM, становится очевидным решение - повернуть треугольник MFB вокруг точки М на 180 градусов. После этого фигура превращается в обычный квадрат со стороной корень из трёх. Квадрат площадь которого образована по сути тремя одинаковыми треугольниками. Две трети от площади квадрата и будет искомая величина.

@GeometriaValeriyKazakov

14 күн бұрын

Отлично.

Решил за минуту безо всяких построений. Треугольники АBC и BMK подобны. Делаете пропорцию, например, гипотенузы к катету (неизвестные гипотенузу и катет выразим через неизвестную и известную величины - теорема Пифагора). Из пропорции получаете простое уровнение, из которого получаете значение, например, отрезока BM. Дальше пошла простая арифметика...

Через A проведём параллельна МК прямую AA1 до пересечения с продолжением CB, в полученном треугольнике A1AB MK=1 средняя линия, тогда основание AA1=2. Из треугольника A1AC sinA1=√3/2 то есть угол A1=60°, тогда из прямоугольного треугольника A1AB угол B=90-60=30°. Из треугольника KMB MB=1/tg30°=√3 S(KMB)= √3×1/2=√3/2. Коэффициент подобия ABC и KBM k=√3/1, тогда площадь ABC в три раза больше (k^2=3), то есть жёлтая площадь 3√3/2-√3/2=√3.

посмотрел... ну что сказать... задача несложная... тутошние обитатели все решат конечно) но вот рассуждения препода классные... надо смотреть на задачу под разными углами - это помогает потом в решении сложных матэтюдов.. респект маэстро

@GeometriaValeriyKazakov

14 күн бұрын

Спасибо.

В ДЗ такое уравнение: (1 + x):√3 = 2√3:x Где x - гипотенуза малого треугольника. Получаем уже квадратное уравнение x(1 + x) = 6 (свойство пропорций). И тут можно не решать, а подобрать x = 2. Второй корень, очевидно, отрицателен. В малом треугольнике меньший катет равен √(2² - (√3)²) = 1, площадь √3/2. Большой треугольник имеет коэффициент подобия √3, его площадь равна 3√3/2, разность √3, получилось столько же.

После проведения прямой АК и установления равенства треугольников АСК и АМК, можно утверждать о равенстве сторон СК и МК. Тогда искомая площадь САМК равна двойной площади треугольника АСК. Sсамк= (1/2*АС*СК)*2=АС*СК. Отсюда Sсамк=√3*1=√3.

@ddamnkill_aka_vladimir

15 күн бұрын

для начала докажите, что треугольник ACK равен треугольнику AMK

@GeometriaValeriyKazakov

14 күн бұрын

Замечу совершенноо напрасном и необоснованном установелнии. По какому признаку они равны? Это ж ловушка для малышей. Бывает. Ищите норм. путь.

@P.S.Q.88

14 күн бұрын

@@GeometriaValeriyKazakov Действительно, равнозначность этих треугольников доказать не просто, оказывается. Даже подобие треугольника АСК с двумя другими: АМК и ВМК не просто. Легко только доказать подобие и равенство треугольников АМК и ВМК.

Благодарю. Я решил дз. Если в вычислениях не ошибся, тоже ответ √3.

@GeometriaValeriyKazakov

6 күн бұрын

Отлично.

тр-ки AMK и BMK равны по двум сторонам и углу между ними, дальше разворачиваем тр-к АМК по оси АК (желтый 4-угольник - дельтоид, два противоположных угла равны (прямые), поэтому он симметричен относительно большой диагонали) и он совпадет с тр-ком АСК (общая сторона и прямые углы), а отсюда все три тр-ка равны и имеют стороны 1 и √3, площадь одного √3/2, площадь искомого четырехугольника равна площади двух тр-ков то есть √3.

@user-hn1eu7gh1j

15 күн бұрын

Для утверждения, что АМКС - дельтоид, мало только двух равных противолежащих углов...

@user-pb2sx9xq5g

15 күн бұрын

​@@user-hn1eu7gh1j это свойство дельтоида. если 2 угла между неравными сторонами равны - это дельтоид, если 2 других так же равны между собой - это параллелограмм. Если все стороны при этом равны - ромб, если все углы равны то они прямые и это квадрат.

@GeometriaValeriyKazakov

14 күн бұрын

Спасибо. Идея замечательная. Только снизу все написали, не обязательно совпадет.

@user-pb2sx9xq5g

14 күн бұрын

@@GeometriaValeriyKazakov тогда не понял, а почему не совпадет? дельтоид же симметричен относительно одной из диагоналей. Или сомнения что дельтоид? Так по определению если противолежащие углы между неравными сторонами равны то это дельтоид.

Достроил слева большой треугольник так цифры без дробей но бумаги больше :) Дальше как у автора. Посмотрел сегодня пару индусских роликов. Походу они не любят задачи где можно найти клроткий путь. Только хардкор с кучей формул. Хорошо для программистов-кодировщиков но убивает фантазию. Наши и американские чаще на найти красивый ход. Наверное потому индусы пишут код а американцы программы от идеи до отладки. А наши программисты или уже в Америке или на дому для американцев.

@GeometriaValeriyKazakov

14 күн бұрын

Согласен. Дам сегодня от индуса.

AE||MK до пересечения с СВ.АЕ=2*1. Угол ЕАС=30(т.к.cos=√3/2). Тогда САВ=60... Продолжать?

Я оьозначил правую часть нижн катета за х Тогда по подобию гип √3х То есть катеты 1 √3х/2 и х х²=3х²/4+1 х²/4=1 х=2 Ну и дальше простой счет Ответ √3

@GeometriaValeriyKazakov

14 күн бұрын

Отлично.

Совсем простая аналитическая геометрия. С(0, 0), А(0, √3), В(а, 0), М(а/2, √3/2). Угловой коэффициент прямой МК: к(МК) = а/√3 . Пересечение прямых МК и ВС даёт точку К: K((a^2-3)/(2a), 0). MK = 1 ⟹ 3/(2a) = 1/2 ⟹ a = 3 . И только теперь CK =1!! ⟹ ∆ACK ≅ ∆AMK ⟹ S(ACKM) = 2∙(√3∙1/2) = √3 .

@GeometriaValeriyKazakov

14 күн бұрын

Отлична. Мы в 8 кл еще не изучаем.

ДЗ: желтый четырехугольник - дельтоид (его противолежащие углы между двумя неравными сторонами прямые, то есть равны) со сторонами 1 и √3 и прямым углом между ними , есть готовая формула площади дельтоида по неравным сторонам и углу между ними: S=absinA=1*√3*1=√3.

@GeometriaValeriyKazakov

14 күн бұрын

Отлично.

Задача, как всегда, красивая и (как не всегда) несложная. Пусть АМ=ВМ=х. Тогда: 2х:\/3=\/(x^2+1):1(подобие тр-ков). х=\/3. ВС=3(Пифагор), Sbmk=\/3/2, Sabc=3/2\/3. Samkc=\/3

@GeometriaValeriyKazakov

14 күн бұрын

Сложная-сложная. Много же написано всякого.

ДЗ решается через подобие треугольников ABC и KBM. AB/BK=BC/BM. BK=x. 2√3/x= (x+1)/√3. x^2+x-6=0, x=2. ∠B=30°. AC=√3. S(ACKM)=2S(BKM)=√3. Слишком простая задача.

@vladbulgakov2104

14 күн бұрын

Конечно простая, если взять и "на глаз" присвоить длину неизвестным сторонам 😄 Главное ответ сошелся, а победителей не судят.

Зря про 60 секунд в заголовке. Это ж во-о-т такая подсказка. Сразу начал что-то подозревать про трапецию их двух этих же треугольников, а дальше уж дело техники) А без подсказки ох ковырялся бы.

@GeometriaValeriyKazakov

14 күн бұрын

Отлично.

А CF в расчете равно ли FB у Вас? Как это записано в начале решения.

@GeometriaValeriyKazakov

14 күн бұрын

Получается по т Фалеса из тр. ABC.

Невыпуклый дельтоид, получающийся если продлить KM до пересечения с AC, обладает рядом выдающихся свойств.

@GeometriaValeriyKazakov

14 күн бұрын

Согласен.

Проведем AD⊥AB. тогда AD||KM, DK=BK. KM - средняя линия ∆ABD. AD=2*KM=2. CD=1. ∠CAD=30°. ∠B=30°. BD=2*AD=4, DK=BK=2, CK=1. Имеем 4 равных треугольника: ACD, ACK, AKM, BKM. S(ACKM)=2*1/2*1*√3=√3.

@GeometriaValeriyKazakov

14 күн бұрын

Супер.

А ИНТЕГРАЛ ГДЕ для желтизны. Я желтого четырёх угольника не вижу. Я вижу линейный градиент желтого на зелёный.

@GeometriaValeriyKazakov

14 күн бұрын

Да, делаю полупрозразный цвет, мне так больше нравится, чем чистый. Хотел усилить желтый, но подумал - весна!

Просто как пареная репка. Но за 2 минуты я не смог придумать.))

@GeometriaValeriyKazakov

14 күн бұрын

Да, без МF у меня не получилось доказать, что АСК равен другим треугольникам...

@GeometriaValeriyKazakov

14 күн бұрын

Согласен. Не просто.

Из подобия треугльников катет в большом (впрочем и в мелком тоже) относится к половинке гипотенузы как sqrt(3):1, значит к целой гипотенузе как sqrt(3):2, что подозрительно точно совпадает с косинусом пинашесть. Наверное это значит, что угол B как раз и есть то самое пинашесть. После чего легко находим все стороны всех треугольников. (затем считаем площадь по палетке и округляем её до корня из трех )))

@GeometriaValeriyKazakov

14 күн бұрын

Спасибо.

Ответ 2 * на корень из 3

@GeometriaValeriyKazakov

14 күн бұрын

Это дз? Там просто \/3

Я решил за 45 сек., корень из 3. СК=1, разворачиваю треугольник АМК, по стороне АК. Получился прямоугольник со сторонами 1 и корень из 3.

@GeometriaValeriyKazakov

15 күн бұрын

А почему он обязательно совпадет? Волшебство или шаманство?

@user-hn1eu7gh1j

15 күн бұрын

С чего, вдруг, СК=1?

@user-gf6uj3vm8o

15 күн бұрын

@@user-hn1eu7gh1j посчитай.

@user-yw6nd4rq3i

15 күн бұрын

а что, любой четырехугольник, у которого противоположные углы прямые, это прямоугольник? Так тогда ничего разворачивать не надо, AMKC сразу прямоугольник, находим его площадь перемножив стороны. Ой.....

@user-zo8zo3cg9b

14 күн бұрын

Вокруг СКМА можно описать окружность, тк против. углы прямые, а АК будет диаметром. Можно "подвигать" точку М по дуге, углы так и будут прямыми а гипотенуза одинаковая, но катеты будут меняться. Поэтому ещё не значит что они равны

Я оба варианта решала через подобие треугольников ABC и KBM (по острому углу B). В Д/з получается AB/KB=CB/MB. Пусть КВ=х, тогда 2 кор. из 3/х=1+х/кор. из 3. Решая квадратное уравнение получаем два корня 2 и -3, второй посторонний. Значит КВ=2. Тогда по т. Пифагора МК=1, а АС=кор. из 3. Находим площади обоих треугольников 3 кор. из 3/2 и кор. из 3/2. Отсюда площадь желтого четырехугольника - корень из 3.

@GeometriaValeriyKazakov

14 күн бұрын

Правильно. А мы еще не проходили подобие.

@svetlanayudacheva1662

14 күн бұрын

@@GeometriaValeriyKazakov эх, а я смотрю, как-то слишком легко решается)))

Корень из 3

@GeometriaValeriyKazakov

14 күн бұрын

Да, интересует легче ли ДЗ?

Принял за ам=мб=Х. АБ=2Х. Из подобных треугольников АБС и КМБ, вывел что сб= корень(3)Х. Далее по пифагору нашёл Х= корень(3). Нашёл чему равен СК=1. Ну и далее понятно.

@GeometriaValeriyKazakov

14 күн бұрын

Отлично.

Проводим в исходном тр-ке АВС отрезок АК. Получаем два равных прямоугольных тр-ка АМК и ВМК (по двум катетам). Пусть площадь каждого из них «х». Площадь исходного тр-ка АВС = 3х (по заданному соотношению сторон подобных тр-ков АВС и ВМК). Следовательно, площадь прямоугольного тр-ка АСК также равна «х». Т.о. имеем два равновеликих(!) прямоугольных тр-ка (АМК и АСК) с общей гипотенузой АК. Следовательно, их высоты (как и все остальные линейные размеры) одинаковы. Отсюда получаем ответ: √3. Насчет ДЗ нужно подумать, сработает ли такая схема… Скорей всего, «да», так как общая гипотенуза АК двух прямоугольных тр-ков является диаметром описанной вокруг них окр-ти, и по сумме углов можно прийти к равенству этих тр-ков. Но это не точно)… пока не проверял…

@GeometriaValeriyKazakov

14 күн бұрын

Спаситбо. А почему катеты равны? В условии вроне нет ничего

@sergeybezhenov7174

14 күн бұрын

@@GeometriaValeriyKazakov Впервой паре тр-ков один катет общий, а два других равны по половине гипотенузы. Это в условии есть. Во второй паре имеем равные по площади тр-ки с общей гипотенузой, значит их высоты равны, следовательно, и катеты тоже. И да, этого в условии напрямую нет.

АВС и КМВ подобны, коэф. равен \|3| (по меньшему катету). Гипотенузу меньшего обозначить за x, тогда АВ = \/3|, а уже можно найти сам x по теореме пифагора, он равен 2. По равенству треугольников слева понятно, что СК = 1 ( или по подобию). Далее площадь 1,5 \|3| - 0,5 \|3|

@user-zo8zo3cg9b

15 күн бұрын

но решал дольше минуты, так как после смены icq немного снижается

@GeometriaValeriyKazakov

14 күн бұрын

Спасибо.

@user-zo8zo3cg9b

14 күн бұрын

@@GeometriaValeriyKazakov а про десятиугольник разберёте?

@GeometriaValeriyKazakov

14 күн бұрын

@@user-zo8zo3cg9b Не знаю пока, думаю. Он связан с треугольником 36,36,72 градуса. А это олимпиадка

@user-zo8zo3cg9b

14 күн бұрын

@@GeometriaValeriyKazakov я кстати нашёл решение, если интересно могу скинуть

Докажите, что CF = FB

@user-wk1sm6wv4x

15 күн бұрын

Теорема Фалеса. Так как точка м- середина отрезка ав

@GeometriaValeriyKazakov

14 күн бұрын

Там же все рассказано AM=MB, MF||AB - т. Фалеса.

@indrasan9592

14 күн бұрын

Спасибо

Угадаю ход решения? Квадраты подобных катетов, как 3:1. Пл. КМВ=1/3 от пл АВС. Проведём АК. Пл АКМ=1/3. Сл. пл АСК=1/3=АКМ. У двух прям треугольников равны площади и общая гипотенуза, сл. они равны. СК=КМ=1 Ответ:√3 _________ Гы! У меня короче

ну навскидку... половина гипотенузы возьмем за t... если не мудрствовать лукаво... что мы видим... что ctgB=t... a sinB= √3/2t... значит 1+t^2=(4/3) t^2... t=√3... оо В=30гр... ну неплохо так... площ KMB=√3/2... а 3√3/2... ответ √3

@GeometriaValeriyKazakov

14 күн бұрын

Спасибо.

sqrt3

@GeometriaValeriyKazakov

14 күн бұрын

Отл.

из равенства треугольников МК=СК=1 и всё площадь 1/2*1*корень3*2 равно корень3

@user-wk1sm6wv4x

15 күн бұрын

Почему они равны? Из рисунка?

@makar2602

14 күн бұрын

@@user-wk1sm6wv4x два угла и общая сторона

@GeometriaValeriyKazakov

14 күн бұрын

@@user-wk1sm6wv4x Спасибо.

@GeometriaValeriyKazakov

14 күн бұрын

Нет такого признака равенства!