ДЗ: найдите площади частей, на которые диагональ делит желтый треугольник! Будете поражены!

@user-yq4jh7sw1y

22 күн бұрын

ДЗ: обозначим пересечение АМ и PD точкой F. ∆ABF подобен ∆DFM; ранее DM = 4/5; AB = 28/5 → AP = 7/√2 → S(APF) = ½ * 4 *7/√2 * sin(ℼ/4) =7 = S(AKM)/2.

@user-yq4jh7sw1y

22 күн бұрын

ДЗ: второй способ: ∆APF и ∆AKM подобны, общий угол ℼ/4 и /_APD = /_AMK = ℼ/2 - α, где α = /_MAD → AK/AF = 7/(7/√2) = √2; S(AKM) = 2S(APF).

@GeometriaValeriyKazakov

22 күн бұрын

@@user-yq4jh7sw1y Отлично. Спасибо.

@user-yq4jh7sw1y

22 күн бұрын

В первом способе ДЗ не АР=7/√2, а AF = 7/√2, т.к. FM = 1/√2, AM = 4√2.

@GeometriaValeriyKazakov

22 күн бұрын

@@user-yq4jh7sw1y Спасибо.

Трудно решить без знания свойств диагоналей вписанного четырёхугольника. Спасибо за видео.

@GeometriaValeriyKazakov

24 күн бұрын

Согалсен, тут здорово выручает.

Квадрат-------> простейшая аналитическая геометрия. Угловые коэффициенты прямых: k(AM) = t, k(AK) = (1+t)/(1-t) . Координаты точек М и Р как пересечения со стороной и диагональю: M(a, ta), P(a∙(1-t)/2, a∙(1+t)/2). Угловой коэффициент по двум точкам: k(РМ) = - (1-t)/(1+t) ⟹ k(AK)∙ k(РМ) = - 1 ⟹ AP⊥MP = 4.

Поскольку не обнаружил в комментариях решения Д.З., только результат, то предлагаю одно из возможных решений. Диагональ ВД делит площадь треугольника АКМ ровно пополам, независимо от положения точки М. Обозначим точку пересечения диагонали и АМ через Т. Легко показать, что АТ тоже высота, а значит отрезок РТ соединяет основания высот! Поэтому ∆АРТ~∆АМК с коэффициентом подобия к = cos45° = √2/2. Тогда S(APT)/S(AMK) = 1/2 ! А всё из-за того же угла 45° !!

@GeometriaValeriyKazakov

23 күн бұрын

Отлично. Да, площади половинок 3+4=7!

@SB-7423

23 күн бұрын

@@GeometriaValeriyKazakov Да, но это же случайное совпадение. Оно возможно только при АР = 4. При других АР и РК так уже не будет. То есть, по-прежнему диагональ делит треугольник на две равных площади, но половина площади не будет равна (численно) АР+РК. Какой смысл вы вкладываете в равенство 3+4=7 ?

MP - высота, значит углы KPM и MPA равны 90⁰. Рассмотрим треугольник MPA - в нем один угол 45 другой 90, значит на 3 - PMA - остается 45, значит треугольник равнобедренный, значит PM = AP = 4. И по формуле высчитываем площадь, зная что PM - высота

Решение - блеск!!! Казаков - большущий молодец!

@GeometriaValeriyKazakov

24 күн бұрын

Да, что есть, то есть.

Отличная задача!

@GeometriaValeriyKazakov

23 күн бұрын

Спасибо. Согласен. Задача суперская. Но не для нулевых ребят.

∆APD подобен ∆BPK → BK/AB = 3/4; ∆ABK египетский → (3k)^2 + (4k)^2 = 7^2 → k = 7/5; AB = 4*7/5 =28/5; учитывая, что угол MAD = 45* - /_BAK и используя тангенс разности, вычисляем MD = 4/5; AM = 4√2 → ∆APM прямоугольный и равнобедренный и т.п., или S = ½ *7 * 4√2 * sin45 = 14. Можно повернуть ∆ AMD вокруг точки А на 90 градусов, рассмотреть дельтоид с углом 90 градусов и т.д.

@GeometriaValeriyKazakov

23 күн бұрын

Супер!

Это решение красивей, чем у меня. Я провёл вектор СЕ параллельно ВД до пересечения с продолжением АК. Углы ЕАС и МАД совмещаются поворотом на 45 грд. Через их косинусы следует подобие тр. АЕМ и АСД. И т.д...

@GeometriaValeriyKazakov

13 күн бұрын

Да, оно на известном свойстве.

посмотрел... кхы-кхыы... так нечесна-ааа.... супер, спасибо)

@GeometriaValeriyKazakov

21 күн бұрын

Согласен.

Решил используя другую описанную окружность АВКХ (Х-точка пересечения AD и АМ) КХ высота так как противоположенный угол вписанного четырехугольника прямой, КХ=АХ так как АКХ равнобедренный , из подобия треугольников АРХ и АМК АР/АМ=АХ/АК и АХ*АМ=4*7=28 а это и есть удвоенная площадь АКМ, АКМ=28/2=14!

@GeometriaValeriyKazakov

23 күн бұрын

Супер!

Задача не исчерпана, вернее есть её варианты. Допустим, мы ничего не знаем о размерах отрезков АР и РК. Но мы знаем, что диагональ РД пересекает прямую АМ (2-ую сторону < КАМ = 45⁰) в т.Е. При этом АЕ = 7 \/2/2, ЕМ = \/2/2 (размеры подобраны соответственно исходной задаче). И надо определить площадь того же жёлтого треуг. АКМ.. Проведём отрезок КЕ. < КАЕ = 45⁰ и < КВЕ = 45⁰ опираются на отрезок КЕ. 4-ёхуг. АВКЕ можно вписать в окруж. < АВК = 90⁰, тогда протеволеж. < АЕК =90⁰ (и оба угла опир. на диаметр АК). КЕ перпенд. АМ. Треугольник АЕК прямоуг и равнобедр.: КЕ = АЕ = 7 \/2/2, но КЕ - высота треуг АКМ. Sакм = 1/2 • АМ • КЕ = 1/2 • (7 \/2/2 + \//2) • 7 \/2/2 = 14.

@GeometriaValeriyKazakov

22 күн бұрын

Спасибо.

Я не только до конца досмотрела, а ещё отрывок между 1:45 и 2:27 посмотрела несколько раз потому что запуталась в углах. 😅🔥😀

@GeometriaValeriyKazakov

24 күн бұрын

Правильно. Я то медленного мгу и повторять 2 раза могу, но зрителей потеряю. Быстрых много. А самой можно хоть 3 раза смотреть.

@user-lc4ib4qb3q

24 күн бұрын

@@GeometriaValeriyKazakov У меня так же. Я снимаю ролики по истории России и про старинные кирпичи с клеймами. Стараюсь рассказывать быстрее, а если кто-то что-то пропустил, можно вернуться к этому отрывку. 😅🔥😀

можно ещё через P провести перпендикуляр к AK, он пересечёт CD в точке M', PM' = AP =>

@GeometriaValeriyKazakov

24 күн бұрын

Да, можно.

Диагональ делит желтый треугольник поровну по 7кв.од. Решал похоже, через окружность.

@GeometriaValeriyKazakov

23 күн бұрын

Супер. То есть, игра на числах 3+4=7!!! Как мы их?

@user-nd1pm9sn5h

23 күн бұрын

@@GeometriaValeriyKazakov да, интересно получается!

@GeometriaValeriyKazakov

23 күн бұрын

@@user-nd1pm9sn5h

Замечательная задача. Если я не ошиблась, то диагональ делит площадь треугольника пополам.

@GeometriaValeriyKazakov

24 күн бұрын

Абсолютно верно, и тогда моя задумка игра на числах: 4+3=7!

@Olga-fv6jy

24 күн бұрын

@@GeometriaValeriyKazakov Мне кажется, результат не зависит от этих чисел. Если вашу идею с окружностью повторить еще раз для угла CBD, то найдем еще одну высоту ∆AKM. Отсеченный треугольник подобен ∆ AKM, k=cos45° =1/√ 2. Поэтому его площадь равна половине площади ∆AKM.

Я тут полез рассматривать свойство бисекриссы, нашел сторону квадрата, некоторые отрезки, провел высоту, думал, как бы доказать, что она лежит на диагонали. В результате не выдержал и посмотрел решение. В очередной раз Казаков обманул своей описанной окружностью! Обидно, блин)))

@GeometriaValeriyKazakov

24 күн бұрын

Зато запомнится.

Сначала прочёл "ФГМ", лол!😁

@GeometriaValeriyKazakov

24 күн бұрын

Бывает!

2:25

@GeometriaValeriyKazakov

24 күн бұрын

PAM=45 по усл, PDM=45 как угол между диагональю и стороной квадрата (так у меня написано в ролике).

Из Вас так эти задачи и лезут! 😂

@GeometriaValeriyKazakov

21 күн бұрын

Да! У меня талант, как у Моцарта. Он писал каждый день.

Это, действительно, просто, а вот найти затем S квадрата - посложнее, и, хотя ответ не столь красив - для ДЗ сгодится.

@GeometriaValeriyKazakov

23 күн бұрын

Да, из подобия 3:4. В тр ABK 3x,4x,5x=7,x^2=(7/5)^2,16x^2=16*(49|25). Не оч.

@adept7474

23 күн бұрын

@@GeometriaValeriyKazakov Не оч. сложно, или не оч. красивый ответ? P. S. А дальше ещё интереснее: тр-к, вписанный углом 45° в вершину квадрата, делит своими другими двумя вершинами стороны квадрата в отношении (a - b)/b и (a - b)/2b (a > b). В Вашей задаче a = 4, b = 3.

@GeometriaValeriyKazakov

23 күн бұрын

@@adept7474 Да, хорошее продолжение или развитие. Нужно не забыть. Потом что-ниубдь придумаю. Я шел от площадей половинок 3+4=7. А вон оно еще как!

@adept7474

23 күн бұрын

@@GeometriaValeriyKazakov Рад, что Вам понравилось, но не верю, что удивлены.

@SB-7423

23 күн бұрын

@@GeometriaValeriyKazakov А мне ответ нравится, особенно в общем виде! По-моему красивый. АР = m, PK = n, S(ABCD) = [m∙(m+n)]^2/(m^2 + n^2).