Чуть что - это ролик с Цезарем! kzread.info/dash/bejne/e4J4mKNqh8uWfLQ.htmlsi=vCPcbyy8Rikp4git

По свойству прямоугольного треугольника сумма катетов всегда больше гипотенузы, значит или косинус или синус равен 0, отсюда вытекает, что сумма любых степеней косинуса и синуса равна 1 (я выиграл в простоте решения,😊)

@GeometriaValeriyKazakov

5 ай бұрын

Спасибо. Молодец! А как с ДЗ? Там 1/2.

@stasne4146

5 ай бұрын

Пардон, виноват( Но дз иногда очень занимательны. Постараюсь не пропускать

@GeometriaValeriyKazakov

5 ай бұрын

Именно ДЗ показывают для чего я применяю те или иные способы. Спасибо за комментарий.@@stasne4146

По правилу треугольника, sinx+cosx=>1, равенство только при cosx=1 и sinx=0, или cosx=0 и sinx=1. Возведя обе системы в 4 степень, получим sinx^4+cosx^4=1.

По первому варианту гораздо проще решение будет если понять что если 2sinx*cosx=0, то либо sinx=0, либо cosx=0. Из исходного уравнения получим 2 пары значений (0;1) (1;0) и если мы возводим в любую степень 0 получаем 0, 1 получаем 1. Сумма будет 1 в любом случае.

@GeometriaValeriyKazakov

5 ай бұрын

Конечно, при любых степенях. Но вот, что нам делать с ДЗ?

Пусть sin x = a, cos x = b. Тогда a + b = 1 a² + b² = 1 И это система. Которую можно решить и геометрически: первое уравнение изображает прямую, второе - окружность. Они имеют не более двух общих точек, которые, как легко видеть, (1; 0) и (0; 1). А требуется найти a⁴ + b⁴. В том и в другом случае это равно 1.

@GeometriaValeriyKazakov

5 ай бұрын

Очень интересно!

Пойду сразу с общей задачи: рассмотрим sin(x) + cos(x) = A, требуется вычислить sin⁴(x) + cos⁴(x) Тогда (sin(x) + cos(x))² = A², откуда sin(x)cos(x) = (A²-1)/2. В итоге sin⁴(x) + cos⁴(x) = (sin²(x) + cos²(x))² - 2(sin(x)cos(x))² = 1 - (A²-1)²/2 = A² + (1-A⁴)/2 При A = 1 ответ 1, при A = 1/sqrt(2) получаем 7/8, при A = 1/2 ответ равен 23/32 P. S. Значение A здесь не любое, а в отрезке [-sqrt(2), sqrt(2)]: это можно установить благодаря формуле вспомогательного угла sin(x) + cos(x) = sqrt(2)sin(x+pi/4)

@ds9633

5 ай бұрын

Лучше оставить 1 - (A²-1)²/2. Проще и быстрее вычислять.

@GeometriaValeriyKazakov

5 ай бұрын

Спасибо. Хоть один ДЗ делает. Отправим на олимпиаду. @@ds9633

@GeometriaValeriyKazakov

5 ай бұрын

Тоже неплохо! Общие рассуждения всегда хорошо.

Валерий! Ваш способ решения напомнил мне сатирическую статейку советских времён. 2 функционера пошли в баню и возникла дискуссия о качестве научных работ. Тот, кто критиковал это качество, предложил провести эксперимент. Его знакомая рвалась в науку и он предложил дать ей задание на научную разработку тему "Почему не получается попариться". Дама развила бурную деятельность, уставила всю баню научными приборами и после длительной работы написала диссертацию с выводом - "В бане холодно". Перекликается ! Вы не находите ? Ведь очевидно, что первое уравнение есть условие, когда ТОЛЬКО если одно слагаемое равно 1, а другое 0. Причем кому 0, а кому 1 - не важно. Получается две пары значений. Возведение в 0 и 1 в любую степень не меняет значения. Лишь бы они были из первого квадранта, чтобы сумма была положительной.

@GeometriaValeriyKazakov

5 ай бұрын

Да, согласен. Но это нужно доказать (см. 1-й способ). И потом, смотрите ДЗ. Там не 1.

Спасибо

@GeometriaValeriyKazakov

5 ай бұрын

Вот самый лучший комментарий!

Это можно иначе (проще ?) : (sinx)^4+(cosx)^4=1-2(sinx)^2*(cosx)^2. Из заданного соотношения sinx *cosx =0, тогда (sinx)^4+(cosx)^4=1

@GeometriaValeriyKazakov

5 ай бұрын

Спасибо. Имеено так мы и решили сп. 2. Рад, что совпало!

@SB-7423

5 ай бұрын

@@GeometriaValeriyKazakov Просто это не требует решения уравнения. Может быть Вы просто хотели повторить для учеников решение уравнений?

@GeometriaValeriyKazakov

5 ай бұрын

Да, я сказал, что качнем два способа. Первый - естественный для обычного ученика - решить ур и проверить, а второй - наш с вами! У нас обучающий канал, но не развлекательный. @@SB-7423

@SB-7423

5 ай бұрын

@@GeometriaValeriyKazakov Извините, у меня не было времени посмотреть как следует ролик, "пробежал" только первую часть . Все делаю на перемене или украдкой на уроке.

@GeometriaValeriyKazakov

5 ай бұрын

Да, ладно, не извиняйтесь. Спасиюо, что задача заинтересовала! @@SB-7423

Простая задача, решается в уме. Возведем первое уравнение в квадрат. Получим, sinX*cosX=0. Основное тригонометрическое тождество возведем в квадрат, учитывая полученный ранее результат, получим в ответе 1.

@GeometriaValeriyKazakov

5 ай бұрын

Да, можно было и так. Но дело в ДЗ. Если 1/2 - не прокатит.

@viktorviktor5820

5 ай бұрын

Почему не прокатит? Решаем также. Первое уравнение возводим в квадрат и получаем sinX*CosX=(M²-1)/2. Основное тригонометрическое тождество возводим в квадрат и с учётом полученного значения для sinX*cosX, получим окончательно sin⁴X+cos⁴X=1-(M²-1)²/2.

@viktorviktor5820

5 ай бұрын

​@@GeometriaValeriyKazakovи чем отличается моё решение от вашего? По моему то же самое.

Разве нельзя было например получив 2sinxcosx=0, сразу рассмотреть 2 случая: sinx=0 или cosx=0. Если sinx=0, то cosx=1 (-1 быть не может, потому что sinx+cosx=1). Возводим 1 и 0 в 4 степень, находим их сумму. И второй случай аналогично.

@GeometriaValeriyKazakov

5 ай бұрын

Да, вы абсолютно правы, можно бдло. Но что мы будет делать, если не 1, а 1/2?

@user-iq7bk7lw3f

5 ай бұрын

@@GeometriaValeriyKazakov если синус равен 0, косинус равен 1, а не 1/2.

2 способ пришел на ум сразу. Он проще

@GeometriaValeriyKazakov

5 ай бұрын

Да. Но только не проходит при 1/2 (см. ДЗ)

sin(x)+cos(x)=1 (1) На декартовой плоскости sin(x) и cos(x) -- это (за небольшим исключением) катеты прямоугольного ∆-ка АВС, гипотенуза АВ которого равна радиусу R=1 и точка В расположена на этой окружности. Для треугольника сумма катетов больше гипотенузы (берём модули sin(x) и cos(x)), т.е. можно записать |sin(x)|+|cos(x)|>1 (исключением являются несколько точек на окружности радиуса R). И только в точках, лежащих на окружности радиуса R=1 и имеющих координаты (0, 1), (1, 0), (-1,0), 0,-1), ∆-к вырождается в отрезок, равный либо sin(x) (при этом косинус равен 0), либо cos(x) (при этом синус равен 0). Точки с координатами (0, 1), (1, 0) и будут удовлетворять уравнению (1). Им будут соответствовать углы 0°, 90°, 360°, 450°... Для этих точек (sin(x))^4+(cos(x))^4=1

@GeometriaValeriyKazakov

5 ай бұрын

Спасибо. Здорово! Даешь ДЗ!

ДЗ 3) ответ 1-(м*м-1)(м*м-1)/2 надеюсь не ошибся.

@GeometriaValeriyKazakov

5 ай бұрын

Да, спасибо, похоже так. Сверьтесь, там выше былл тоже ответик. И тогда становится понятно, зачем 1-й способ и вся петрушка.

Задача была слишком лёгкая

@GeometriaValeriyKazakov

5 ай бұрын

Спасибо. Это кажется. Попрбудте ДЗ для 1/2.

можно решить x+y = 1 x²+y² = 1 = (x+y)² - 2xy = 1 - 2xy откуда xy = 0 то есть или sinx = 0 cos x = 1 или cos x = 0 sinx = 1 тогда x^4 + y^4 = 1

@GeometriaValeriyKazakov

5 ай бұрын

Спасибо.