tan⁡(2θ) = 12x/(36 - x^2 ) = (x + 5)/6 → x1 = 3 x2, x3 = -2(2 ± i√11) → f(x) = (x - 3)(x^2 + 8x + 60) - btw: 3 weeks ago, you made the same thing...🙂

*Outra maneira:* Teorema da bissetriz: x/5=6/AC=> AC=30/x. Por Pitágoras, no ∆ABC: (AC)^2= 6^2 + (x+5)^2 (30/x)^2 = 36 + x^2 + 10x + 25 *(30/x)^2 =x^2 + 10x + 61 (1).* Como x>0 (medida do lado BD), note que nesta última expressão, se estudarmos o divisores de 30, vemos que x=3, satisfaz a equação. A equação (1) é equivalente a x^4 + 10x^3 + 61x^2 -900=0, usando o método de Briot-Ruffini, sendo x=3, uma dessas raízes, temos: x^3 + 13x^2 + 100x +300=0. Nesta última equação, como x>0 então x^3 + 13x^2 + 100x +300>0, isso nos diz que as demais raízes são complexas. Portanto, a única solução real é *x=3.*

@denysmarlon5427

Күн бұрын

Tentei por teorema da bissetriz, mas na hora de manipular a equação não consegui achar nenhum algebrismo pra determinar a raiz que não fosse por observação/tentativa

@imetroangola4943

Күн бұрын

@@denysmarlon5427 na prática, temos que observar as raízes por tentativas. Você pode escolher os divisores de 30 que é o mais sensato, como foi feito ou os divisores de 900 que é mais "pesado". Outros métodos de raízes requerem uma matemática mais apurada, uma matemática discreta que contém aproximações.

I used the angle bisector theorem by doing the following: Let length AC = 𝑦. AB/BD = AC/DC (angle bisector theorem) ⇒ 𝑦/5 = 6/𝑥 ∴ 𝑦 = 30/𝑥 ..... (1) Now, using Pythagoras' Theorem: AC² = AB² + BC² ⇒ 𝑦² = 6² + (𝑥 + 5)² ∴ 𝑦² = (𝑥 + 5)² + 36 ..... (2) Substituting equation (1) into (2): (30/𝑥)² = (𝑥 + 5)² + 36 ⇒ 900/(𝑥²) = (𝑥 + 5)² + 36 ⇒ 900 = 𝑥²(𝑥 + 5)² + 36𝑥² ⇒ 𝑥²(𝑥² + 10𝑥 + 25) + 36𝑥² = 900 ⇒ 𝑥⁴ + 10𝑥³ + 25𝑥² + 36𝑥² = 900 ∴ 𝑥⁴ + 10𝑥³ + 25𝑥² + 36𝑥² - 900 = 0 ..... (3) Now, we have equation (3), which is a quartic polynomial. Looking for an integer solution we find 𝑥 = 3 is a solution, leaving a cubic polynomial with unknown constants as a remainder, such that: 𝑥⁴ + 10𝑥³ + 25𝑥² + 36𝑥² - 900 = 0 → (𝑥 - 3)(𝑥³ + a𝑥² + b𝑥 - 300) = 0 ..... (4) Expanding equation (4), we get: 𝑥⁴ + a𝑥³ + b𝑥² + 300𝑥 - 3𝑥³ - 3a𝑥² - 3b𝑥 - 900 = 0 ⇒ 𝑥⁴ + a𝑥³ + b𝑥² + 300𝑥 - 3𝑥³ - 3a𝑥² - 3b𝑥 - 900 = 0 ⇒ 𝑥⁴ + (a - 3)𝑥³ + (b - 3a)𝑥² + (300 - 3b)𝑥 - 900 = 0 ..... (5) ⇒ 𝑥⁴ + (a - 3)𝑥³ + (b - 3a)𝑥² + (300 - 3b)𝑥 - 900 = 𝑥⁴ + 10𝑥³ + 25𝑥² + 36𝑥² - 900 [equation (5) = equation (3)] Such that we get the following equalities: a - 3 = 10 b - 3a = 61 300 - 3b = 0 So that we get a = 13 and b = 100 ∴ (𝑥 - 3)(𝑥³ + 13𝑥² + 100𝑥 - 300) = 0 Taking the remainder cubic polynomial we look again for an integer solution and find that 𝑥 = -5 (x = -5 is a solution of the cubic 𝑥³ + 13𝑥² + 100𝑥 - 300), and we have a remainder binomial, such that: (𝑥 - 3)(𝑥³ + 13𝑥² + 100𝑥 - 300) = 0 → (𝑥 - 3)(𝑥 + 5)(𝑥² + a𝑥 + 60) = 0 ..... (6) Expanding equation (6), we get: (𝑥² + 2𝑥 - 15)(𝑥² + a𝑥 + 60) = 0 ⇒ 𝑥⁴ + a𝑥³ + 60𝑥² + 2𝑥³ + 2a𝑥² + 120𝑥 - 15𝑥² - 15a𝑥 - 900 = 0 ⇒ 𝑥⁴ + (a + 2)𝑥³ + (45 + 2a)𝑥² + (120 - 15a)𝑥 - 900 = 0 ..... (7) ⇒ 𝑥⁴ + (a + 2)𝑥³ + (45 + 2a)𝑥² + (120 - 15a)𝑥 - 900 = 𝑥⁴ + 10𝑥³ + 25𝑥² + 36𝑥² - 900 [equation (7) = equation (3)] Such that we get the following equalities: a + 2 = 10 45 + 2a = 61 120 - 15a = 0 So that we get a = 8 ∴ (𝑥 - 3)(𝑥 + 5)(𝑥² + 8𝑥 + 60) = 0 Looking at the remainder binomial equation 𝑥² + 8𝑥 + 60 we find Δ = 8² - 4.1.60 = -176, which has complex roots, so, the only real solutions to 𝑥⁴ + 10𝑥³ + 25𝑥² + 36𝑥² - 900 = 0 are 𝑥 = 3 and 𝑥 = -5. 𝑥 = 3 is the only positive solution and as 𝑥 is a measure of distance, the only valid solution is: 𝑥 = 3

(6H)/ASino°+ (5H)/ASino° ={ 36H/ASino°+25H/ASino° }= = 61HA/A^2Sino°^2 180°61HA/A^2Sino°^2 = 1.119HA/A^2Sino°^2 1^1.10^103^2 2^52^53^2 1^11^13^2 3^2 (HA/A^2Sino°^2 ➖ 3HA/A^2Sino°^2+2)

I think that the two methods were similar to another problem that you did previously on your channel.

@murdock5537

Күн бұрын

Always the well known pyth. triple 3-4-5 🙂

How did you break down the 3rd degree equation? It can be divided by (x+-n), n submultiple of 180

x/6=tgθ...(x+5)/6=tg2θ=(x/3)/(1-x^2/36)..(x+5)(1-x^2/36)=2x...(x+5)(36-x^2)=72x..x=3

@ludmilaivanova1603

Күн бұрын

sorry, could you please show how you solved the equation x^3 - 5x^2 - 36x+180 =0? I mean, no guessing. Thank you.

@giuseppemalaguti435

Күн бұрын

​​@@ludmilaivanova1603l'equazione è,in realtà,x^3+5x^2+36x-180=0..x(x^2+5x+36)-180=0...x(x^2-6x+9)+11x^2+27x-180=0..x(x-3)^2+11(x-3)(x+60/11)=0...x=3 è una soluzione..in realtà,non ho fatto così,ho semplicemente provato i primi divisori di 180, cioè 1,2,3...in alternativa,devi usare la formula risolutiva di 3 grado

@ludmilaivanova1603

Күн бұрын

@@giuseppemalaguti435 Se dividiamo la nostra equazione di 3 gradi per (x-3) e non otteniamo resto, allora (x-3)=0 e x=3. L'ho fatto e ho ottenuto (x^2+8x+60). Ma all'inizio c'è ancora un'ipotesi. Dovremmo indovinare quale può essere la risposta. Grazie per la risposta.

@giuseppemalaguti435

Күн бұрын

​@@ludmilaivanova1603non so di quale ipotesi parli...sicuramente non ci sono altre soluzioni reali...x^2+8x+60(non l'ho verificata,ma mi fido)'non dà soluzioni reali

@ludmilaivanova1603

Күн бұрын

@@giuseppemalaguti435 forse non mi sono spiegato bene: possiamo scrivere l'equazione x^3+5x^2+36-180= (x-3)(x^2+8x+60)

Eso me pareció muy fácil para una olimpiada ,sabía cómo resolverlo con solo verlo,por trigonometría 🎉

❤❤❤❤❤❤🎉🎉😊😊

tan(θ) = x/6 tan(2θ) = (x+5)/6 tan(2θ) = 2tan(θ)/(1-tan²(θ)) (x+5)/6 = 2(x/6)/(1-(x/6)²) 12(x/6) = (x+5)(1-x²/36) 2x = x - x³/36 + 5 - 5x²/36 72x = 36x - x³ + 180 - 5x² x³ + 5x² + 36x - 180 = 0 1 + 5 + 36 - 180 ≠ 0 ❌ x ≠ 1 8 + 20 + 72 - 180 ≠ 0 ❌ x ≠ 2 27 + 45 + 108 - 180 = 0 ✓ x = 3 x² + 8x + 60 x - 3 | x³ + 5x² + 36 - 180 - (x³ - 3x²) 8x² + 36x - (8x² - 24x) 60x - 180 - (60x - 180) (x-3)(x²+8x+60) = 0 x₁ = 3 | x² + 8x + 60 = 0 √b²-4ac = √8²-4(1)60 = √64-240 = √-176 ❌ x₂, x₃ ∈ ℂ x = 3