Геометрическое доказательство формулы Герона | Ботай со мной
#БотайСоМной #052 Герон 2.0
Геометрическое доказательство формулы Герона
Как поддержать канал: • Как помочь развитию ка...
Разовая помощь (Яндекс.Деньги): money.yandex.ru/to/4100110176...
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
Откуда взялся Герон? • Откуда взялся Герон? Ф...
Тригонометрические формулы: • ✓ Тригонометрические ф...
Четыре окружности в параллелограмме: • Четыре окружности в па...
Онлайн-курсы по математике с Борисом Трушиным:
9 класс. Подготовка к ОГЭ: trushinbv.ru/oge9
10 класс. Подготовка к ЕГЭ: trushinbv.ru/ege10
11 класс. Подготовка к ЕГЭ (задания 1-12): trushinbv.ru/ege11b
11 класс. Подготовка к ЕГЭ (задания 13-19): trushinbv.ru/ege11c
11 класс. Подготовка к олимпиаде Физтех: trushinbv.ru/fizteh11
Другие курсы Фоксфорда: foxford.ru/library/courses?re...
Личный сайт: TrushinBV.ru
ЕГЭ и ОГЭ по математике | Борис Трушин: ege_trushin
Группа сайта TrushinBV.ru: trushinbvru
Личная страница: trushinbv
Группа сайта: / trushinbv
Личная страница: / boris.trushin
Инстаграм: / trushinbv
KZread-канал: / trushinbv
Пікірлер: 97
Надо бы у самого Герона спросить как он выводил эту формулу
@andreymichenco
2 жыл бұрын
Герон провёл высоту и нашёл её, применив теорему Пифагора.
@user-ly2wd9vz8d
Жыл бұрын
Наверное в Александрийской библиотеке было и не сохранилось...
@user-ig4ls1ek9b
Жыл бұрын
По факту
@mega_mango
Жыл бұрын
Я думаю довольно просто: привёл высоту к а, решил простенькую серию уровнений, найдя высоту, умножил а на высоту и поделил на два. Затем, выразил все в буквах В принципе, я даже больше скажу: в начале восьмого класса, когда я только изучил теорему Пифагора, из-за необходимости я тоже самостоятельно вывел формулу Герона. Когда мы начали проходить её в восьмом, для меня стало настоящим откровением, что я, оказывается, сидел и мучился над ней зря :)
@zrtqrtzrt8787
Жыл бұрын
@@mega_mango одна беда: Герон не знал алгебры, значит никаких алгебраических вычислений не мог произвести. Только геометрические построения. Алгебру позже Аль Хорезми рассказал в «Аль джебр и аль мукабала», цифры европейцы узнали от арабов, а те от индусов. А до того греки использовали вместо чисел греческие буквы примерно так же, как римляне использовали латинские буквы для обозначения чисел. И хотя это и называют «римские цифры», но это не цифры в нашем понимании. Ну, например, цифра «десять» X, цифра «сто» С, цифра «пятьдесят» L и т.п. В таких «цифрах» сами римляне с трудом разбирались, не говоря уж о вычислениях с такими «цифрами». У греков было то же самое, только с греческими буквами. Поэтому греки из математики использовали в основном геометрию, для них с такими «цифрами» геометрия была более понятна.
Конгениально! Не поверите - смотрю третий раз за полтора года. Какой-то кайф. Борис Викторович, спасибо, Вас слушать - бальзам на душу!
@trushinbv
3 жыл бұрын
Спасибо )
Большое спасибо за подобные видео! Самая главная польза от подобного не то, что пополняется копилка знаний, а увеличивается понимание предмета в целом. Начинаешь чувствовать математику, как математику, а не отдельная алгебра, отдельная геометрия. Спасибо! Хочется узнать откуда берется формула Пика.
@arthurmolchanov6510
5 жыл бұрын
JPremiere Mixtime ссылка на док-во формулы Пика: kvant.ras.ru/1977/04/celye_tochki_v_mnogougolnikah.htm
@user-gn7ok1mn3w
5 жыл бұрын
про формулу Пика ++++
@user-js5vw5zm8k
5 жыл бұрын
+ Формула Пика!
@GeorgeGoncharovMath
5 жыл бұрын
Аналогично тому, если бы мы отдельно целые клеточки считали и неполные)))))
Огромное спасибо, как же я мучался, думая как же это работает. А Герон крутой чувак, ему тоже спасибо))
У Калинина, Терёшина в планиметрическом приложении, в задаче 3.10 к третьему параграфу ещё более геометрическое доказательство формулы Герона, через вневписанные окружности.
Спасибо братан,благодаря тебе я как Нео из матрицы вижу все теперь.
Очень хотелось бы послушать про обратные тригонометрические функции, про их область определения ( значения ) и тд. Так как лично я там немного все таки путаюсь, как и многие я уверен!!! Пожалуйста дядя Боря)) давайте))
@AngryBro
5 жыл бұрын
Было уже, вроде
@NXN-QUXT
2 жыл бұрын
Обратные тригонометрические функции по факту многозначные, их просто ограничивают искусственно
Красиво. Спасибо, Борис Викторович!
Спасибо, это очень интересно.
Большое спасибо за информацию Борис
Большое спасибо за Вашу работу!
Спасибо, Борис Викторович )
Есть доказательство формулы Герона в журнале под названием «Квант»(аж целых три). Спасибо за видео. Ссылка: kvant.mccme.ru/1986/10/formula_gerona.htm
Большое спасибо за красивое геометрическое доказательство, действительно красиво связали с формулой tgα+tgβ+tgγ=tgαtgβtgγ. Но эта формула почти сразу получается из формулы для tg(α+β).
1. Присоединюсь к тем, кто хотел бы узнать, как сам Герон пришел к этой формуле. Может быть историков математики поспрашивать? 2. Увидел вписанную окружность, и побежал смотреть формулу Брахмагупты. Но нет, там окружность описанная, хотя что то в этом есть.. Истина где то рядом!
Спасибо большое за видео из Германии.
Мечты сбываются, спасибо! С тангенсами будем разбираться, но и так уже прекрасно.)
Замечательно!
Очень круто!
Круто, мужик! Это доказательство мне больше всего понравилось. Интересно, как создатель додумался до этой формулы в своё время.
Феноменально! "Глядя на мир, нельзя не удивляться". К.Прутков
четко просто еееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееее боииииииииииииииииииииииииииииииииииииииииииииииии
Какая-то магия)
Боря ты гений
Круто
Спасибо, много интересных фактов, и вроде бы всё так, но остаётся ощущение жульничества. Все время казалось, что мы придём к чему-то типа 1=1.
Неплохо)
Круто...
Потрясающе! Почему в школе мы этого не проходили?
Кайф)
Гениально, мистер Герон был не промох, до такого догадаться...)))
Ой, а у нас не так объясняют🙃🙂🙂, ХАРООШ
Можно через комплексные числа доказать, это и геометрично и алгеброично.
@MiroslavOstapenko
3 жыл бұрын
Страшна мне
@mega_mango
Жыл бұрын
Нах...
Еще существует интересный вывод формулы Герона через вневписанную окружность. Из названия видео, я думал, что вы про это доказательство будете рассказывать.
@humaniora_for_all
4 жыл бұрын
Где можно почитать?
Расскажите про углы Ейлера?
Love is...)
Здравствуйте, не могли бы вы, пожалуйста, объяснить китайскую теорему об остатках
Б.В. очень интересно, могли бы вы рассказать о рядах Фурье, его геометрической смысл и откуда это разложение вообще взялось?))
@math26ru
4 жыл бұрын
@Никита Липницкий спасибо дружище)
@math26ru
4 жыл бұрын
@Никита Липницкий помню как-то я писал wild mathing с просьбой сделать видео о фрактальной геометрии, мне ответили, но видоса я так и не дождался)) наверное ты прав такие темы в какой-то степени не понятны, но считаю, что их необходимо изучать, ведь именно подобные темы заставляют восхищаться и удивляться. Трушин понятно объясняет, но английские каналы умеют прекрасно визуализировать, а это для меня отличный способ понять и запомнить новый материал. Никита, где ты учишься?
@MiroslavOstapenko
3 жыл бұрын
А где Никита?
Борис, добрый день. Не хотите микрофон-петличку повесить? Или Вам так удобнее?
Помню как написал вам этот факт в году 2015.И в начале вы даже сказали,что это не верно.Оказалось,что это номер из ММО 2006 года.
Ойй, а если вспомнить формулу tg(a+b), то равенство в одну строчку выводится.
А в какой многоугольник можно вписать окружность?
@birdsunion3294
5 жыл бұрын
КоЧоК БоМбА в любой 20!8
@KOPOJLb_King
3 жыл бұрын
Если треугольник, то в любой. Если четырехугольник, то только в том случае, если суммы длин противолежащих сторон равны. Остальные по подобному алгоритму :)
Если бы в др Греции были гонения на ведьм и колдунов - не видать нам формулы герона
Добрий день. Тільки тепер наштовхнувся на це відео. Борис, у мене запитання таке - у другому рядку чому ви не розписали тангенс суми двох кутів. Тоді б формула з тангенсами була б тривіальною...
Prof Boris.( Sempre molto bravo)! Vorrei tuttavia segnalarle un aspetto che non è ancora stato indagato dai matematici antichi e moderni, ed è veramente sorprendente. Si tratta del significato del ( 1/2) nella formula dell'Area dei triangoli). MI sono domandato perché e cosa rappresentava , poi ho compreso che è una costante goniometrica . Ho pensato che però è una funzione angolare del (sin 𝛉=30°), del cos 2ϑ=60°, e della tg 𝛃=26°,56505118 che è l'angolo acuto minore compreso fra (cateto b) e(ipotenusa c)del triangolo retto della tripla pitagorica (3-4-5).Nel caso in esame :A= ab(tg𝛃)=(3*4*(0,5)=6 Tuttavia 𝛃/2=53,13010236/2=26°,56505118.. Ho compreso che tg (𝛃∕2)era da scartare e così anche il sen 30° perché tutti e due non rappresentavano il valore medio dei tre angoli interni di ogni triangolo. Dunque ecco che quando , 1/2=cosϑ, è uguale alla media dei tre angoli; (𝞪+𝛃+𝛄)/3=180/3=60° si ha>> 1/2 =cos60°=cos(𝝿/3). Dunque ,torniamo ad Erone ed alla sua formula ,che alla luce di quanto qui detto, calcoliamo l'area della tripla pitagorica di cui sappiamo già il valore(A=6) e dove [P(cos 𝝿/3)=(12*05)=6] ,che si dovrebbe riscrivere : A=√[Pcos(𝝿∕3)(p-a)(p-b)(p-c)] =√[(12*0,5)(6-5)(6-4)(6-3)=√ 6[ 1*2*3)]=√(6*6)=√36=6 Faccio osservare che nel caso del triangolo equilatero la forma diventa: A=(l/2)*(l/2√3] =(l/2)^2√3 = 8,1185118 ( quando l=5*(cos 30°)=4,330127.. dove P=3*4,33..=12,99.. ed p=Pcos60°=6,495. verifica con formula di Erone>> A=. √[P(cos60°)(p-l)^3]= =√ [12,99(cos 6o°(6,495-3,33)]=√[6,495(2.165)^3]=√(65,911)≃ 8,1185.. che è uguale a quello calcolato più sopra: dunque è verificata. Proporrei allora che A di Erone sia riscritta come sopra-indicato. Cordialità(ioseph) LI, 26/5/22 (Viva la Russia!)(giuseppelucianof@gmail.com)
@zrtqrtzrt8787
Жыл бұрын
giuseppeluciano ferrero, просто начерти прямоугольник со сторонами a и b. Затем проведи диагональ этого прямоугольника. Смотри: прямоугольник разбился на 2 прямоугольных треугольника, катеты которых равны a и b, а гипотенуза совпадает с диагональю исходного прямоугольника. Поскольку площадь прямоугольника равна a×b, то, поскольку треугольники, образованные разбиением прямоугольника диагональю прямоугольника, равны друг другу и их получилось ровно два, то, чтобы получить площадь прямоугольного треугольника, нужно взять половину площади прямоугольника, т.е. a×b/2. Но для прямоугольного треугольника a и b - катеты, поэтому получается, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, просто в силу того, что прямоугольник разбивается диагональю на два равновеликих прямоугольных треугольника, катеты которых равны сторонам исходного прямоугольника, а гипотенуза совпадает с диагональю прямоугольника. Так что никаких синусов и косинусов в данном коэффициенте нет и приближённых значений тоже нет. Формула абсолютно точная. Площадь прямоугольного треугольника равна половине площади прямоугольника и в силу этого равна половине произведения катетов.
Дано: ΔABC. Проведем высоту CC₁=h. Пусть АС₁=х, тогда ВС₁=с- х Из ΔACC₁: b²-x²=h² Из ΔCBC₁: a²-(c-x)²=h² b²-x²=a²-c²+2cx-x² 2cx=b²+c²-a² x=(b²+c²-a²)/2c h²=b²-((b²+c²-a²)/2c)² 4(ch)²=(4b²c²-(b²+c²-a²)²)=(2bc-b²-c²+a²)(2bc+b²+c²-a²) 4(2S)²=(a²-(b-c)²)((b+c)²-a²) 16S²=(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+b+c) Дальше наш уважаемый лектор уже показал. По сути, фГ сводится к нахождению высоты по известным сторонам. И НИКАКИХ ТАНГЕНСОВ!!! 😀😀😀😀
@vadimgrecheskiy8895
5 жыл бұрын
Это стандартное доказательство из учебника. Суть была в том, чтобы избежать этого доказательства и показать более "геометрическое" доказательство.
@user-dh6ul4yv5x
5 жыл бұрын
@@vadimgrecheskiy8895 использование тригонометрического тождества более «геометрично»? Не смешите мои якобианы!
@davidblbulyan3077
4 жыл бұрын
@@user-dh6ul4yv5x Ну дык тригонометрическое тождество - это просто теорема Пифагора, только записанная чуток по-другому...
@gleboluvov5410
3 жыл бұрын
@@davidblbulyan3077 чел тыыыы
Привет...
Хотелось бы увидеть вывод формулы вычисления криволинейной трапеции (Ньютона-Лейбница) так, чтобы было понятно как 2+2=4. При выводе ссылаться на аргументы как "2+2=4"). Вывод желательно сделать геометрическим способом (можно вспомогательное что-то использовать, но понятное) через множество сумм прямоугольников (или ещё чего). Суть производной мне понятна по геометрической части, а определённого интеграла с точки зрения нахождения площади (точнее понимания почему так рассчитывают) не совсем. Способы которые я находил для выводы формулы площади криволинейной трапеции меня не совсем удовлетворили (это способ через производную s(х), и оценки интегралов - просьба их не учитывать, а если применять при доказывании то все этапы объяснять как 2+2=4). Пожалуйста заполните мой пробел в понимании вывода данной формулы и её применения).
@nicksm7980
5 жыл бұрын
Зельдовича открывали?
@kosiak10851
5 жыл бұрын
было же. Именно у Трушина "Что такое интеграл | Осторожно, спойлер!"
На самом деле не очень геометрической докозательство, существует очень красивое докозательство через вневписанную окружность.
@alexneugodov9429
3 жыл бұрын
Вы украли мой коммент:) Где я видел это доказательство, не подскажете - у Коксетера или у Кушнира? Не может быть, чтобы я сам до него додумался. Из года в год повторяю его, а откуда взял уже забыл. Эх, летит время!
Не для среднего ума :-(
Есть объяснение для восьмых классов, ни черта не поняла
@trushinbv
4 жыл бұрын
У вас уже была теорема косинусов?
Для полной наглядности в таких случаях лучше приводить в качестве примера, вычисление по этой формуле используя конкретные числа и углы какого-либо треугольника.
НЕ ИГНОРИРУЙТЕ ПОЖАЛУЙСТА!!!!!!!! Решите пожалуйста вот эти задачи , потому что на просторах интернета гуляет несколько разных решений с разными ответами и непонятно кого слушать( В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер AA1 = 7, AB = 16, AD = 6. Точка K - середина ребра C1D1. а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку B перпендикулярно прямой AK, пересекает отрезок A1K. б) Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью ABC. · В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S боковое ребро вдвое больше стороны основания. а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SE и вершину C, делит ребро SB в отношении 3 : 1, считая от вершины S. б) Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SE и вершину C, делит ребро SF, считая от вершины S.
@trushinbv
5 жыл бұрын
Закиньте сюда -- vk.com/ege_trushin -- через "Предложить новость". Там большинство задач мои ученики довольно быстро решают.
Ведь формула Герона даётся в 8 классе, когда ни о какой тригонометрии ещё и слыхом не слыхано! Зато уже узнав теорему Пифагора, можно разбить любой треугольник высотой на 2 прямоугольных треугольника. И дальше как в предыдущем видео (за год до этого)
Знания атлантов. А у них то откуда?
Борис, ты очень криво пишешь! Если посмотреть в конец не смотря видео, то разобрать что-то очень сложно.
@trushinbv
5 жыл бұрын
Вы фильмы тоже так смотрите? ) Смотрите последние 5 минут и пытаетесь все понять?
@angelganibal
5 жыл бұрын
@@trushinbv Здравствуйте! Я где-то полгода назад смотрел на фоксфорде видео про теорию чисел, там был другой ведущий, и он сам говорил, что "лучше меньше говорить, но ровнее писать, чем делать очень много попутных разъяснений и криво писать"! Извините, что в первом комментарии обратился на ты а не Вы.
@trushinbv
5 жыл бұрын
@@angelganibal, ну, у всех разные подходы. Я считаю, что важнее именно поговорить, чтобы было больше понимания того, что происходит. А если преподаватель мало говорит и больше пишет, то это ничем не отличается от книжки.
@angelganibal
5 жыл бұрын
@@trushinbv Да, согласен. Спасибо!
@angelganibal
5 жыл бұрын
@@trushinbv Здравствуйте, Борис Викторович! Решите пожалуйста задачу: Сумма квадратов n простых чисел, каждое из которых больше 5, делится на 6. Докажите что и n делится на 6. Заранее спасибо!