In diesem Video wird erklärt, wie man die gegenseitige Lage zweier Ebenen untersucht, wenn eine in Parameterform, die andere in Koordinatenform gegeben ist, und wie man - sofern vorhanden - die Schnittgerade bestimmt.
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Inhalt dieses Videos:
Für zwei Ebenen gibt es drei Möglichkeiten der gegenseitigen Lage:
- sie sind identisch
- sie sind parallel
- sie schneiden sich in einer Schnittgeraden
Die Unterscheidung zwischen diesen Möglichkeiten erfolgt durch Untersuchung, ob es gemeinsame Punkte für beide Ebenen gibt. Hierzu setzt man die beiden Funktionsvorschriften gleich.
(Im Video wird dies zuerst am Beispiel von sich schneidenden Ebenen vorgemacht (2:02))
Da die eine Ebenengleichung in Parameterform, die andere aber in Koordinatenform gegeben ist, geht man beim "Gleichsetzen" wie folgt vor:
1. Man nimmt die Parameterform und schreibt zeilenweise die Ausdrücke für x1, x2 und x3 heraus.
2. Diese Ausdrücke setzt man dann für x1, x2 bzw. x3 in die Koordinatengleichung ein.
3. Die dadurch erhaltene Gleichung löst man auf, und vereinfacht soweit es geht.
Am Ende dieser Vereinfachungsrechnerei kann es drei Möglichkeiten geben (08:52) :
a) man erhält eine Gleichung, in der zwei Parameter vorkommen, so dass man anschließend nach einem Parameter auflösen kann - zum Beispiel so etwas wie s=2+2r. Wenn dies der Fall ist, weiß man schon, dass sich die Ebenen schneiden und man kann anschließend die Schnittgerade bestimmen.
Im Video wird die Bestimmung der Schnittgeraden ab (06:15) erklärt. Das Prinzip dabei ist, dass man den einen Parameter in Abhängigkeit des anderen Parameters ausdrücken kann. Wenn man so zum Beispiel den Parameter s durch (2+2r) in der Parametergleichung der einen Ebene ersetzt (wenn s=2+2r), so erhält man eine Vektorgleichung, in der nur noch ein Parameter vorkommt und was somit eine Geradengleichung darstellt - die Gleichung der Schnittgeraden.
b) nach der Auflöserei fallen die beiden Parameter weg und was übrig bleibt ist eine unwahre Aussage wie z.B. 30=4. In diesem Fall sind die Ebenen parallel.
c) nach der Auflöserei fallen die beiden Parameter weg, aber was übrig bleibt liefert eine wahre Aussage wie z.B. 4=4. In diesem Fall sind die Ebenen identisch.
Übrigens: Ganz ähnlich geht man vor, wenn man die gegenseitige Lage einer Geraden (in Parameterform) und einer Ebene (in Koordinatenform) untersucht. Siehe dazu dieses Video: • Lagebeziehung Gerade E...
Dieses Video ist Teil einer Serie, wie man die gegenseitige Lage von Ebenen untersuchen kann, nämlich dann, wenn die Ebenen wie folgt angegeben sind:
- beide Ebenen in Koordinatenform: • Gegenseitige Lage von ...
- eine Ebene in Koordinatenform, die andere Ebene in Parameterform: dieses Video
- beide Ebenen in Parameterform: folgt in Kürze
** Folgende andere Videos, könnten für dich auch interessant sein:
- zum gegenseitigen Umwandeln von Ebenengleichungen:
-- Parameterform in Normalenform (Einführung): • Parameterform in Norma...
-- Parameterform in Normalenform (Methode 1: mittels LGS): • Parameterform in Norma...
-- Parameterform in Normalenform (Methode 2: Normalenvektor mit dem Vektorprodukt bestimmen): • Parameterform in Norma...
-- Koordinatengleichung in Parametergleichung umwandeln: • Koordinatengleichung i...
-- Normalenform einer Ebene in die Koordinatenform überführen (Beispiel 1 - ausführlich).: • Normalenform einer Ebe...
-- Normalenform einer Ebene in die Koordinatenform überführen (Beispiel 2 - kurz): • Normalenform einer Ebe...
** Playlist: Analytische Geometrie: Geraden und Ebenen
• Analytische Geometrie:...
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