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Oh, Susanne wie schön einfach kann Mathe sein! Das ist genau so eine Aufgabe, bei der ich in einer Schulaufgabe vor 50 Jahren verzweifelt wäre und ich bei der Nachbesprechung beinahe geweint hätte. Danach habe ich solche Sachen immer gekonnt, aber da war es auch schon zu spät. Mit Dir als Lehrerin wäre das nicht passiert denn Du erklärst immer so, dass jeder es sofort kapiert. Danke und viele Grüße Klaus

Guten Tag MathemaTrick, neben den täglichen Videos zur Schulmathematik würden mich auch Videos zur universitären Mathematik interessieren.

du bist ein Segen für die Menschheit 😊

@MathemaTrick

2 ай бұрын

Dankesehr!

@mia30vh

2 ай бұрын

@@MathemaTrick ich danke dir sehr. Sei weiterhin gut und Gottes Segen

Ich habe die zweite Klammer noch mit der dritten binomischen Formel faktorisiert. Damit habe ich dann die Gleichung (x-1)(x-1+1)(x-1-1)=0 und kann die Lösungen einfach ablesen.

Danke für deine Erläuterung! Mich gruselt es ja immer ein wenig, wenn die Gleichungen größer und zahlreicher werden. Daher war mein Ansatz: Klammer hoch 3 gleich Klammer geht nur wenn Klammer 1, 0 oder -1 ist. Damit komme ich natürlich auf die gleiche Lösungsmenge wie du. Und es geht im Kopf.

Super erklärt. Viele Grüße von einem alten Mathelehrer.

@MathemaTrick

2 ай бұрын

Dankeschön, liebe Grüße zurück! :)

"Elegant" wäre übrigens, wenn man die Nullstellenform x ⋅ (x − 1) ⋅ (x − 2) = 0 aufstellt und dann jeden Faktor mit 0 gleichsetzt. Aus der Nullstellenform kann man nämlich direkt alle Lösungen ablesen.

@berndkru

2 ай бұрын

Dazu muss man allerdings die Nullstellen erst mal berechnet haben.

@Nikioko

2 ай бұрын

@@berndkru Was ja nicht weiter schwer ist: (x − 1)³ = x − 1 x³ − 3x² + 3x − 1 = x − 1 x³ − 3x² + 2x = 0 x ⋅ (x² − 3x + 2) = 0 x ⋅ (x − 1) ⋅ (x − 2) = 0 x₁ = 0 ∨ x₂ = 1 ∨ x₃ = 2 𝕃ₓ = {0, 1, 2}

Sehr schön!

@MathemaTrick

2 ай бұрын

Dankeschön

Substituieren liegt hier aber auch auf der Hand. x-1 = y

@elektronenschubser6056

2 ай бұрын

Das war auch mein Weg. Ausklammern und 3, binomische ergibt dann y(y+1)(y-1)=0 und man kann die Nullstellen direkt ablesen.

Wegen z³ = z ∀ z ∈ {-1; 0; 1} sieht man sofort, dass 0, 1 und 2 die Gleichung lösen. Da Lösungen der Gleichung Nullstellen der Funktion (x - 1)³ - (x - 1) sind, welche ein Polynom dritten Grades ist und als solche maximal drei Nullstellen hat, kann es keine weiteren Lösungen geben. ✅ Wenn man den langen Weg gehen möchte, bietet sich statt des Wurzelziehens mit Vorzeichenbetrachtung auch die dritte binomische Formel an: (x - 1) ((x - 1)² - 1) = (x - 1) ((x - 1)² - 1²) = (x - 1) (x - 1 + 1) (x - 1 - 1) = (x - 1) x (x - 2) = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 0 ∨ x = 2 ✅

4:40 Hier könnte man auch stattdessen die linke Seite (mittels 2. binomischer Formel) ausmultiplizieren: x^2 - 2x + 1 = 1 Durch Subtraktion von 1 erhält man x^2 - 2x = 0 und kann dann x ausklammern: x(x - 2) = 0 und wiederum den Satz vom Nullprodukt anwenden: x = 0 oder x - 2 = 0 x = 0 oder x = 2. Zusammen mit der vorhin bereits gefundenen Lösung ist die Lösungsmenge also L = {0, 1, 2}.

Verrückt, drei Lösungen, echt crazy 🤣

Ich mache einfach die Fallunterscheidung. Ist x=1, dann geht die Division durch x nicht. Ist x≠1, dann geht sie. Auf jeden Fall haben wir damit die erste Lösung gefunden. Für x=1 trifft die Gleichung zu. Effektiv ist das das gleiche wie bei (x-1)*((x-1)^2-1)=0 den linken Faktor als 0 zu betrachten. Ergebnis x=1. Betrachten wir jetzt den anderen Faktor als 0, dann ist (x-1)^2-1=0. Dann ist x^2-2x+1-1=0, also x^2-2x=0 Einmal umgestellt: x^2=2x. Wieder Fallunterscheidung bei Division durch x. Wenn x=0, dann keine Division nötig, 0 erfüllt aber die Gleichung, also zweite Lösung gefunden. Ansonsten x=2. Und schon haben wir drei Lösungen. So, jetzt ziehe ich mir das Video rein, vielleicht habe ich mir doch einen Schnitzer erlaubt.

Die Annahme, dass einer der beiden Faktoren gleich null sein muss, wenn das Produkt gleich null ist, stimmt aber nur eingeschränkt, weil es könnten ja beide Faktoren jeweils null sein und daher das Produkt null mal null gleich null ergeben.

@SG49478

2 ай бұрын

Wenn beide Faktoren null sind, dann ist auch einer der beiden Faktoren null. Das eine schliesst das andere nicht aus. In der Mathematik heisst einer der beiden Faktoren immer "mindestens einer der beiden Faktoren", das heisst der Fall dass die Aussage für beide zutrifft, ist auch erlaubt. In diesem Fall geht übrigens beide null nicht, weil das für kein mögliches x erfüllt wäre.

für die zweite Gleichung gibt es einen anderen Weg: x²-2x + 1 - 1 = 0; x²-2x = 0; x(x-2)=0; daraus folgt x=0 und x=2

@m.h.6470

2 ай бұрын

Warum die Klammer auflösen? Die zweite Gleichung ist a² - b² mit a = x - 1 und b = 1. Das ist die 3. Binomische Formel und daher: (x - 1)² - 1 = 0 (x - 1 + 1)(x - 1 - 1) = 0 x(x - 2) = 0

Wow, ich hätte es ausmultipliziert .

Viel besser als Lehrer Schmidt

Hallo Susanne, guten Morgen, hier mein Lösungsvorschlag: da es keine Einschränkung bezügl. des Definitionsbereichs gibt, (zumindest ist keine angegeben) unterstelle ich, dass auch komplexe Zahlen zugelassen sind, sofern man sie braucht. Fall 1: Trivial-Lösung (x - 1) = 0 --> x = 1 0^3 = 0 wahre Ausssage. x1 = 1 Fall 2: "alle anderen Fälle" (x-1) 0 --> x 1 Hier kann ich zunächst umschreiben: (x - 1)^3 = (x - 1) | (x - 1)(x - 1)^2 = (x - 1) da (x - 1) 0 ist, darf ich auf beiden Seiten durch (x - 1) dividieren (x - 1)(x - 1)^2 = (x - 1) |:(x - 1) für x1 (x - 1)^2 = 1 | 2. binom. Formel anwenden x^2 -2x + 1 = 1 |-1 x^2 -2x = 0 |x ausklammern x (x - 2) = 0 Nach dem Satz vom Nullprodukt, ist ein Produkt 0, wenn mindestens 1 Faktor 0 ist. x (x - 2) = 0 | Satz vom Nullproedukt. x = 0 oder (x - 2) = 0 x2= 0 (x - 2) = 0|+2 x = 2 x3 = 2 Somit sind die Lösungen x1 =1, x2 = 0 und x3 =2 oder anders geschrieben x = L{0;1;2} In diesem Fall wurden die komplexen Zahlen gar nicht gebraucht 🙂 Allen eine schöne Restwoche und ein schönes Wochenende, wenn es soweit ist. LG aus dem Schwabenland.

@bjornfeuerbacher5514

2 ай бұрын

"(x - 1)^2 = 1 | 2. binom. Formel anwenden" Deutlich schneller geht's hier, wie im Video gezeigt, mit Wurzelziehen (man darf halt nur das plusminus nicht vergessen). "oder anders geschrieben x = L{0;1;2}" Diese Schreibweise ergibt keinen Sinn. Du meinst wahrscheinlich: x € L = {0; 1; 2}

@markusnoller275

2 ай бұрын

@@bjornfeuerbacher5514 Hallo bjornfeuerbacher. Ja, Du hast recht. Lieben Dank für den Hinweis. Eine schöne Restwoche. LG aus dem Schwabenland.

Man könnte auch die 3. Binomische Formel anwend3n, nachdem man das x-1 abgetrennt hat: (x-1)^2-1=(x-1-1)×(x-1+1)=(x-2)×x=> x=0 oder x=2 (x=1 hatten wir schon vorher). So spart man sich die Fehlerquelle Wurzel.

Ich hab durch (x-1) geteilt, was natürlich nur für x ungleich 1 geht. Dabei sieht man direkt die erste Lösung x=1. Dann binomische Formel und minus 1 auf beiden seiten bringt: x^2 -2x. X ausklammern und man sieht direkt die anderen beiden Lösungen.

Du hast gesagt man könnte auch durch (x-1) teilen am Anfang. Wenn x = 1 ein gültiges Ergebnis wäre dann wäre es ja Division durch 0. Hab ich grad ein Knoten im Kopf? x = 1 ist doch ungültig?

@Matze93SG

2 ай бұрын

Deswegen zeigt man zunächst, dass x=1 eine Lösung ist und dann nimmt man im weiteren Verlauf an, dass x≠1 ist. Jetzt kann man durch (x-1) dividieren.

@juergenilse3259

2 ай бұрын

x=1 ist eine Loesun der Gleichung, die man aber ausschliessen muss,um durch (x-1) teilen zu duerfen ... Man muesstedann den Fall x=1 noch einmal separat betrachten.Klammert mandagegen (x-1) aus, muss man diesen Fallmicht separat betrachten, sondern dieser Fall wird bei der Loesung mittels"Satz vom Nullprodukt" automatisch als ene Loesung mtgeliefert...

Gibt es drei Lösungen, weil es sich hierbei um eine Funktion dritten grades handelt? Ich mag deine Videos.

@TheBongoJeff

2 ай бұрын

Der Grad gibt an wie viele Nullstellen eine Funktion höchstens haben kann. D.h. es können auch gar keine Nullstellen vorhanden sein. Außerdem gibt Grad-1 die maximale Anzahl von Extremstellen an.

Für algo

Wieso teilt man am Anfang nicht einfach durch (x-1)? Dann bleibt "(x-1)² = 1", gleiche Lösungen.

@walter_kunz

2 ай бұрын

Hat sie zu Beginn erklärt!

@TheGreener121

2 ай бұрын

@@walter_kunznein

@walter_kunz

2 ай бұрын

@@TheGreener121 Doch ab 0:36 sagt sie "Kann man machen, wenn man weiß was man da tut ... Fallunterscheidung wenn x-1 gleich 0 wird..."

2 1 0

Man muß nur überlegen welche Zahlen in beliebiger Potenz das selbe ergeben. Dann noch das Vorzeichenspiel

Lösung: (x - 1)³ = (x - 1) |-(x - 1) (x - 1)³ - (x - 1) = 0 (x - 1)((x - 1)² - 1) = 0 Satz vom Nullprodukt: x -1 = 0 → x₁ = 1 (x - 1)² - 1 = 0 3. Binomische Formel mit a = x - 1 und b = 1 (x - 1 + 1) * (x - 1 - 1) = 0 Satz vom Nullprodukt: (x - 1 + 1) = 0 → x₂ = 0 (x - 1 - 1) = 0 → x₃ = 2 Daher ist x ∈ {0, 1, 2}

@Nikioko

2 ай бұрын

Ich würde erst die 3. binomische Anwenden, um die Nullstellenform zu bekommen, um dann mit dem Satz vom Nullprodukt alle drei Lösungen direkt aus der Nullstellenform abzulesen.

@m.h.6470

2 ай бұрын

@@Nikioko Ja, habe ich auch überlegt, aber für die Notation wären es zwischendurch sehr viele Klammern, die es unübersichtlich machen würden.

Oder man sieht schon gleich am Anfang, dass 0, 1 und 2 die offensichtlichen Lösungen der Gleichung sind. 😄

@m.h.6470

2 ай бұрын

Es zu sehen und es zu beweisen sind zwei vollkommen unterschiedliche Dinge...

@RealNelsonC

2 ай бұрын

@@m.h.6470 Wenn ich alle drei Lösungen einsetze, ist es bewiesen. Mehr als 3 Lösungen können es nicht sein, da die Gleichung 3. Grades ist.

@semiconnerd

2 ай бұрын

@@RealNelsonCGenau so!

@bjornfeuerbacher5514

2 ай бұрын

Man muss dann natürlich noch begründen, dass es _nur_ diese 3 Lösungen geben kann. Aber das geht ja auch sehr schnell.

@Bombastin

2 ай бұрын

​@@bjornfeuerbacher5514ich denke es gibt noch weitere komplexe Lösungen

(x − 1)³ = x − 1 x³ − 3x² + 3x − 1 = x − 1 x³ − 3x² + 2x = 0 (x − 1) ⋅ (x² − 2x) = 0 (x − 1) ⋅ x ⋅ (x − 2) = 0 x₁ = 1 ∨ x₂ = 0 ∨ x₃ = 2 𝕃ₓ = {0, 1, 2}

@Nikioko

2 ай бұрын

Natürlich kann man auch so weitermachen: x³ − 3x² + 2x = 0 x ⋅ (x² − 3x + 2) = 0 x ⋅ (x − 1) ⋅ ( x − 2) = 0 x₁ = 0 ∨ x₂ = 1 ∨ x₃ = 2 Aberdas wäre ja zu billig gewesen. 🤣

@porkonfork2024

2 ай бұрын

👍👍👍@@Nikioko

Ich habe 0IQ

@Matthias-dp1oz

2 ай бұрын

Der Märchenonkel Musäus, seine Heldin Libussa und ich danken Ihnen für die Lösung von 30 Äpfeln

Verstehe ich nicht?