*Ich wünsche euch allen ein schönes Wochenende! Falls jemand von euch gerade auf Korsika im Urlaub ist und Zeit, ein Auto und abgesehen davon überhaupt Lust darauf hat, uns Trinkwasser zum Strand zu bringen (Unser Vorrat wird langsam knapp... 😃😅🙈) meldet euch supergern!! Die Kosten übernehmen wir natürlich und als Dankeschön laden wir euch auf jeden Fall supergern auf ein ein exquisites Abendbrot hier an Bord ein!!*

Es geht auch mal wieder nur mit dem Pythagoras. R²=(r+1)²+r² und R=r+1+1

@raphaelb6453

10 ай бұрын

Dann musst du aber noch irgendwie r rausfinden.

@_Udo_Hammermeister

10 ай бұрын

@@raphaelb6453 Es sind 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten. Das kann man auflösen. Ich hatte dabei die linke Gleichung nicht nach R aufgelöst, sondern die rechte Gleichung quadriert, und dann die beiden R² gleichgesetzt.

@magdaliebtmathe

10 ай бұрын

Super Ansatz, Udo! ✌🏼

Habe es mit Geobra Classic gelöst Super Danke !!!

@magdaliebtmathe

23 күн бұрын

Haha! Susi! Super! 🐝🐝🐝

r² +(r+1)² = R² wenn man eine Hilfslinie zieht, die von der Mitte des grossen Kreises zum einem Ende der kleiner Sehne, so kann man mit Hilfe von Pythagoros den grossen Radius finden und dann den kleinen. Dann grosse Fläche - kleine Fläche(halbiert, wegen Halbkreis) müsste und die Antwort geben. Würde mich wundern, wenn man da anderes Ergebnis bekommt :))) Liebe Mathe alleine deswegen, man kann vielles berechnen, obwohl man auf ersten Blick Null Info hat :))) p.s. würde gerne euch Wasser bringen, bin aber in Hannover :)))))) Schöne Zeit wünsche ich Euch!!!

@magdaliebtmathe

10 ай бұрын

Haben Wasser bekommen! 😃😃 Aber 1000 für deine Bereitschaft - der Wille zählt! 😘😍

@AlexanderParabellum

10 ай бұрын

@@magdaliebtmathe Danke! Ist doch klar! 😍😃

Super Aufgabe, sie lächelt einen geradezu an.

@magdaliebtmathe

10 ай бұрын

Haha! Stimmt! Man könnte da echt einen Mund sehen! 🤣💚

Wieder mal ein schönes Video. Ich habe zur Ermittlung der quadratischen Gleichung einfach Pythagoras genutzt. Aus R² = r² + ( r + 1 )² und R = r + 2 kommt man auch zum Ziel. Zur Erklärung : man zeichnet vom Mittelpunkt des großen Halbkreises eine Verbindugslinie zum Berührungspunkt des kleinen Halbkreises auf der Perepherie des großen Halbkreises.

@magdaliebtmathe

10 ай бұрын

Sehr schön gelöst! Viele Wege führen ans Ziel! 🚀🙂😍

Wenn die eine Sehne der Durchmesser ist und die andere Sehne senkrecht dazu steht, dann bekommen wir ein Drachenviereck, bestehend aus zwei rechtwinkligen Dreiecke. Die zweite Sehne ist die doppelte Höhe h genau dieser rechtwinkligen Dreiecke, der Durchmesser des Thaleskreises die Hypotenuse c, und wird von dieser genau in zwei Teile geteilt. Entsprechend sind die beiden Sehnenabschnitte des Durchmessers die Hypotenusenabschnitte p und q. Und wenn wir auf diese besondere Konstellation den Sehnensatz anwenden, bekommen wir genau den Höhensatz h ⋅ h = p ⋅ q.

@magdaliebtmathe

10 ай бұрын

Der Höhensatz ist genial!! 😃✌🏼

Klasse!

@magdaliebtmathe

10 ай бұрын

Yesss! Hat mich gut gefordert, da die Lösung zu finden! 😃💚

Sehr coole Aufgabe! Kann aber von Anfang an nur 3, 4, 5 sein. Der Rest ist Handarbeit. Jeder Handwerker kennt dieses Verhältnis. Damit bringt man rechte Winkel in größere Skalen. Das auf diese Weise zu "konstruieren" ist aber evtl. auch für den Handwerker interessant. 👍

@magdaliebtmathe

10 ай бұрын

Stimmt! Pythagoräisches Tripel! Top gesehen! 🫶🏼

Geometrische Aufgaben sind immer gut. Du solltest jetzt während der Fußball-WM mal den Flächeninhalt und das Volumen eines regelmäßigen Sechzigecks bestehend aus 12 Fünfecken und 10 Sechsecken mit der Kantenlänge 1 berechnen. Also das Ding, das in Fachkreisen Fußball genannt wird. Oberfläche ist noch einfach. Kriegt man hin. Beim Volumen braucht man 22 Einzelpyramiden. Deren V ist dann Grundfläche mal Höhe durch 3. Zur Berechnung der jeweiligen Pyramidenhöhen fällt mir grad nix ein. Hast du die zündende Idee??? Oder jemand aus der Community?

@magdaliebtmathe

10 ай бұрын

Da muss ich direkt hier an diese Aufgabe denken: kzread.info/dash/bejne/k2x5lbSlh5axaag.html

Nice 👌🤗

@magdaliebtmathe

10 ай бұрын

Finde ich auch!!! 💚💚💚

eine sehr schöne Aufgabe!

@magdaliebtmathe

10 ай бұрын

Finde ich absolut auch, Frank! Verblüffend, dass die wenigen Angaben reichen! 💚

Ich bin ein Fan des Faktorisierens: (r² - 2r - 3) hätte ich zerlegt in (r - 3)(r + 1). Die Mitternachtsformel und die quadratische Ergänzung finde ich unnötig zeitraubend und auch die pq-Formel wäre für mich nur die zweite Wahl. Wie sich c = -3 als Produkt zweier Faktoren darstellen lässt, ist rasch hergeleitet und mit welchen Vorzeichen von 1 und 3 ich auf die Summe b = -2 komme, ebenfalls. Theoretisch könnte man dieses Beispiel auch grafisch lösen, indem man die Nullstellen dieser quadratischen Funktion sucht.

@user-gd9vc3wq2h

10 ай бұрын

Und wie faktorisierst du, wenn es mal nicht glatt aufgeht, also z. B. r^2 - 3r - 2? Dann ist die quadratische Ergänzung der sicherste Weg, weil man sich kein Formeln mit exotischen Namen merken muss.

@schnuffelchen1976

10 ай бұрын

@@user-gd9vc3wq2h Dann würde ich tatsächlich die quadratische Ergänzung wählen, weil ich finde, dass man zeigen sollte, dass man auch versteht, was man inhaltlich tut. Deswegen benutze ich auch in Excel keine vordefinierten Formeln, um auf- oder abzuzinsen. Spätestens dann, wenn man unterscheiden muss, ob es sich um vor- oder nachschüssige Raten handelt, können wohl die wenigsten Personen noch rekonstruieren, ob die Formel das tut, was man gerne hätte. Was das Faktorisieren betrifft, hatte ich in der Schule (natürlich nur bei eleganten Beispielen) grundsätzlich vermittelt bekommen, das Faktorisieren zu wählen. Lautet der Faktor c bei ax² + bx + c zum Beispiel -144, so kann man sich schon eine Weile spielen, um zu prüfen, wie man die -144 in ein Produkt aus zwei anderen Zahlen zerlegen kann/muss, damit auch der richtige Koeffizient für b herauskommt. Das Erfordernis, selbst nachzudenken, geht mir bei den heutigen Lösungsansätzen irgendwie zunehmend ab. Die pq-Formel hatte ich zum Beispiel in der Schule nie kennengelernt und die Mitternachtsformel auch nicht unter diesem Namen.

@magdaliebtmathe

10 ай бұрын

Ah! Dann ist der Satz von Vieta auf jeden Fall was für dich! 😊

Hallo. Ich verlängere die untere 1 auf 2 und der weiße Halbkreis verschwindet vollständig. Somit erhalte ich einen grünen Halbkreis mit dem Radius 2. Da die Fläche des weißen Halbkreises nun nicht mehr existiert und von der Fläche des grünen Kreises abgezogen wurde, wird der Radius des grünen Kreises 4. Fläche grüner Vollkreis also: 4²*PI=50.265. Da es nur ein Halbkreis ist also 25.132. Der "normale" Weg wäre für mich, ein Dreieck zu bauen: Linie vom Berührpunkt Durchmesser des weißen Kreises mit dem grünen Radius, zum Mittelpunkt des Durchmessers des grünen Halbkreises. Somit: (r+2)²=(r+1)²+r² Mit Binomischer Formel und PQ Formel kommt man dann auf die jeweiligen Radien der beiden Halbkreise und kann die Fläche berechnen. Falls ich mich irgendwo vertan habe, bitte um Rückmeldung. Ist schon ziemlich spät gerade ;) Gruß aus dem Hitzegebeuteltem Duisburg und natürlich von meinem lieben Kollegen, dem Dominik!

@magdaliebtmathe

10 ай бұрын

Sehr schön! Viele Wege führen ans Ziel! 🚀🙂😍

Ich habe aufgegeben, und ein CAD Programm angeschmissen. Dadurch bin ich auf Øgr = 10 m und Økl = 6 m gekommen. Mit der Formel (10² × π / 4 - 6² × π / 4) / 2 komme ich auf das Ergebnis 25,1327413m².

@magdaliebtmathe

10 ай бұрын

Haha, das kenne ich von mir - die Geometrierätsel sind manchmal echt frustrierend. Aber hey, Kopf hoch!! Je mehr Übung man hat, desto leichter fällt es einem, weil die Trickkiste dann einfach voller ist 🧙‍♂️!! Und der Sehnensatz ist wirklich ein sehr spezieller Joker in der Trickkiste, den man nicht unbedingt auf dem Schirm hat.

superschöne Aufgabe

@magdaliebtmathe

10 ай бұрын

Jaaa, Schorsch! Absolut! Hast du gesehen, dass man mit ein bisschen Fantasie sogar einen lächelnden Mund sehen kann? 🤣💚

Ich brauche keinen Sehnensatz. Es reicht ein rechtwinkliges Dreieck: - aus der halben Sehne, die ja der "kleine" Radius ist und der wiederum der "große" Radius - 2, - aus dem großen Radius - 1 und - als Hypotenuse: dem "großen" Radius selber. Der "große" Radius soll R sein, der kleine Radius sprechend (R-2). Pythagoras: R² = (R-2)² + (R-1)² Das gibt aufgelöst eine quadratische Gleichungen mit R, und diese mit q-r-Formel ausgerechnet die zwei Lösungen: R=1 und R=5. Die erste Lösung geht natürlich nicht weil dann der "kleiner" Radius mit R - 2, also 1 - 2 = -1, negativ würde. Es bleibt also als Lösung der "große" Radius R = 5. Des weiteren so, wie auch im Video beschrieben, die Differenz aus dem "großen" und dem "kleinen" Halbkreis, wobei sich der "kleine" Radius eliminieren lässt ( wegen: "kleiner" Radius = R - 2).

@magdaliebtmathe

10 ай бұрын

Sehr schön! Viele Wege führen ans Ziel! 🚀🙂😍

Ich habe diese Aufgabe mit zwei Lösungswegen gelöst. Lösungsweg 1) Sehnensatz (wie bei dir). Lösungsweg 2) Satz des Thales + Höhensatz von Euklid. Da Sehnensatz ein etwas höheres Wissen zu sein scheint, dachte ich, du wirst diesen Satz nicht anwenden und genau deshalb habe ich über den zweiten Lösungsweg nachgedacht. Aber wie man sieht, hast du den Satz doch angewendet.

@magdaliebtmathe

10 ай бұрын

Schick, Timur! Es ist immer wieder faszinierend, wie viele Lösungsalternativen in den Kommentaren zusammenkommen. Danke dafür! 😍

@timurkodzov718

10 ай бұрын

@@magdaliebtmathe Es ist aber schade, dass ich übersehen habe, dass man die Aufgabe mit Pythagoras lösen kann. Hast du diesen Lösungsweg gesehen?

Hallo Magda, habe es wie Du mit dem Sehnensatz gelöst. Nur habe ich dann die Quadratische Ergänzung benutzt, da mir das besser gefällt. r² = 2r + 3 r² - 2r*1 + 1² - 1 - 3 = 0 (r-1)² - 2² = 0 (r-1+2)(r-1-2) = 0 (r + 1)(r - 3) = 0 ==> r = 3 und dann R = r+2 = 5 . Die gesuchte Fläche ist ... (1/2)*pi*5² - (1/2)*pi*3² = (1/2)*pi* (5+3)(5-3) = (1/2)*pi*8*2 = 8*pi

@magdaliebtmathe

10 ай бұрын

Schick!! Ich bin so auf pq-Formel gepolt. Aber hey, letztens habe ich auch mal den Satz von Vieta benutzt. Der ist auch toll! 😍

@RobertHering-tq7bn

10 ай бұрын

@@magdaliebtmathe - Ja, bei ganzzahligen Lösungen kann man damit oft leicht die beiden Lösungen sehen. Ich denke zu selten daran, und die Ergänzung kommt bei mir immer automatisch hoch. Der Satz von Vieta wäre hier sehr gut nutzbar gewesen!

Liebe Magda,. wie immer sehr erfrischen Deine Videos😊❤. Ich warte ja immer darauf, dass der Tisch ein wenig wackelt, wenn du dein Video bei einer Halse aufnimmst😅. Übrigens, den Sehnensatz hatte ich schon längst vergessen. Danke für diese Auffrischung 😊 Genießt noch euren Törn, habt eine schöne Zeit bei hoffentlich ebenso schönen Segelwetter. Ist ja manchmal tückisch in diesem Revier. LG an euch beide🙋‍♂️

@magdaliebtmathe

10 ай бұрын

Danke!! Bisher sind wir glimpflich davongekommen. Hatten ein paar abenteuerliche Situationen, aber alles gutgegangen! ✌🏼⛵️

Wird der untere Abstand mit "a" und der obere Abstand mit "b" bezeichnet, so erhalte ich A = (a+b)/2 * (a + 3b + 2 Wurzel(2) * Wurzel( b * (a+b) ) ) * pi Mit a = b = 1 m folgt dann für die Fläche A = 8 pi m²

Ich sehe da eher Sinus & Cosinus (R-1)/R=sin(x) (R-2)/R=cos(x) Mit Additionstheorem sin²x+cos²x=1: (R-1)²/R²+(R-2)²/R²=1 R²-2R+1+R²-4R+4=R² R"-6R+5=0 R=3+-sqrt(9-5)=3+-2 R1=5 R2=1 Über den Sinn und Unsinn der Lösung R=1 müsste man nochmal neu nachdenken. Jedenfalls kommt damit der Flächeninhalt 0 raus. Die beiden Halbkreise sind demnach deckungsgleich. Für mein Verständnis ist das mathematisch trotzdem korrekt. (Nur vielleicht nicht im Sinne der Aufgabe)

@wollek4941

10 ай бұрын

Darauf muss man erstmal kommen. Habe es gerade nachvollzogen. Sogar noch von R in r umgewandelt. Erste Sahne. 😂👍 R = 1 = r fliegt aber immer raus. Die Halbierende r muss ja irgendwie auf dem Halbkreis von R liegen.

@magdaliebtmathe

10 ай бұрын

Oh smart!! Richtig clever mit den Additionstheoremen! 🫶🏼

Cool :-) Den Sehnensatz kannte ich noch gar nicht (oder habe ihn einfach vergessen). Mathe ist schon cool... (hätte ich das damals in der Schule mal auch so gesehen *lach*)

@magdaliebtmathe

10 ай бұрын

Jaaaa, er ist ein bisschen unbekannter - leider!! 😃

@michaelb902

10 ай бұрын

@@magdaliebtmathe Die Geometrie und ich waren wohl nie die weltbesten Freunde, was aber auch an meiner schulischen Laufbahn lag... In der Hauptschule kamen bis zur 10 diese ganzen coolen Sachen nicht auf den Plan und ab der 11 in der Oberprima wurde der Kram dann als selbstverständlich vorhanden vorausgesetzt. Shit happens ;-) Mathe LK war da leider nicht drin - meinten zumindest meine Lehrer. Das dumme Gesicht meines Mathe-Lehrers bei Ehemaligentreffen, als ich ihm offenbarte, dass ich es mir beruflich in der IT gemütlich gemacht habe, war dann aber eine würdige Entschädigung *lol* ... Ich freue mich auf jeden Fall schon auf weitere skurile Aufgaben aus diesem Bereich (vielleicht kann ich mich mit der Geometrie ja doch noch so richtig anfreunden)...

HK-Arial gr. D minus HK-Arial kl.D II = (25/2)π - (9/2)π= 8π

@magdaliebtmathe

9 ай бұрын

Super, Anestis! Da bist du offensichtlich gut im Training! 🚀🦊

Jo... hier arbeiten wir wieder mit dem Sehnensatz bzw. Höhensatz: r = R - 2 m r² = (R - 2 m)² = R² - 4R ⋅ 1 m + 4 m² (R - 2 m)² = 1 m ⋅ (2R - 1 m) R² - 4R ⋅ 1 m + 4 m² = 2R ⋅ 1 m - 1 m² R² - 6R ⋅ 1 m + 5 m² = 0 (R - 5 m) ⋅ (R - 1 m) = 0 R₁ = 5 m ∨ R₂ = 1 m Da r = R - 2 m > 0, kann R₂ ausgeschlossen werden. A = π/2 ⋅ (R² - r²) = π/2 ⋅ (R² - R² + 4R ⋅ 1 m - 4 m²) = π/2 ⋅ (4 ⋅ 5 m ⋅ 1 m - 4 m²) = π/2 ⋅ 16 m² = 8π m² ≈ 25,13 m²

@unknownidentity2846

10 ай бұрын

Konsequent mit Einheiten operiert.👍 Daran erkennt man den Naturwissenschaftler.

@magdaliebtmathe

10 ай бұрын

Beautiful! 😃😍

🤯

@magdaliebtmathe

10 ай бұрын

😃😃

1:36 statt Sehnensatz ist mir der Thaleskreis eingefallen. Da wo der weiße Halbkreis den grünen schneidet, gibt es ja zwei Schnittpunkte, links und rechts. Jeder bildet wegen Thales ein rechtwinkliges Dreieck, für das der Höhensatz h^2 = p * q gilt. Hier ist h = r + 1 p = R + r q = R - r (Kontrolle: p + q = 2R). Jetzt gilt also h^2 = p * q, also (r + 1)^2 = (R + r)(R - r) = R^2 - r^2 (gemäß 3. bin. Formel). Links die 1. Binomische Formel anwenden: r^2 + 2r + 1 = (R + r)(R - r) Rechts kann man R = r + 2 ersetzen (aus Zeichnung ersichtlich): r^2 + 2r + 1 = (r + 2 + r)(r + 2 - r) (r + 1)^2 = (2r + 2) * 2 (r + 1)^2 = 2*(r + 1) * 2 (r + 1)^2 = 4 * (r + 1) Da r > 0, ist auch r + 1 > 0, und so kann man getrost durch (r + 1) teilen: r + 1 = 4 r = 3 Damit ist R = r + 2 = 3 + 2 = 5. Zu berechnen ist die grüne Fläche, d.h. großer minus kleiner Halbkreis: Fgruen = 1/2 * pi * R^2 - 1/2 * pi * r^2 = 1/2 * pi * (R^2 - r^2) = 1/2 * pi * (5^2 - 3^2) = 1/2 * pi * (25 - 9) = 1/2 * pi * 16 = 8 * pi = 25,13 (gerundet).

@magdaliebtmathe

10 ай бұрын

Sehr smart, mit Thales! Es ist exht immer wieder faszinierend, wie viele Lösungsalternativen in den Kommentaren zusammenkommen. Danke dafür! 😍

Lösung: Wir nehmen den vertikalen Durchmesser des großen Kreises als die 1. Sehne und den horizontalen Durchmesser des kleinen Kreis als die 2. Sehne und können ganz leicht den Sehnensatz verwenden, um die Radien zu berechnen: Radius kleiner Kreis: r Radius großer Kreis: 1 + r + 1 = r + 2 1. Sehne: a = 1; b = r + 1 + (r + 2) = 2r + 3 2. Sehne: c = r; d = r Sehnensatz: ab = cd 1 * (2r + 3) = r * r 2r + 3 = r² |-2r - 3 r² - 2r - 3 = 0 r = -(-2/2) ± √((-2/2)² + 3) r = 1 ±√(1 + 3) r = 1 ± √4 r = 1 ± 2 |1-2 = -1 macht keinen Sinn, da es sich um einen Radius handelt r = 3 Damit ist der kleine Radius r = 3 [m] und der große Radius (r + 2) = 3 + 2 = 5 [m] lang Die gesuchte grüne Fläche ist daher: A = 1/2 * π * (r + 2)² - 1/2 * π * r² A = 1/2 * π * (5² - 3²) A = 1/2 * π * (25 - 9) A = 1/2 * π * 16 A = 8π [m²]

@magdaliebtmathe

10 ай бұрын

Und sogar an die Einheit gedacht. Ich könnte es nicht besser machen. 😃

Lösung: R = Radius vom großen grünen Halbkreis, r = Radius vom kleinen weißen Halbkreis. (1) R = r+2 Pythagoras: (2) (r+1)² +r² = R² | (1) in (2) ergibt: (2a) (r+1)² +r² = (r+2)² ⟹ (2b) r²+2r+1 +r² = r²+4r+4 |-r²-4r-4 ⟹ (2c) r²-2r-3 = 0 |p-q-Formel ⟹ (2d) r1/2 = 1±√(1+3) = 1±2 ⟹ (2e) r1 = 1+2 = 3 und r2 = 1-2 = -1 [in der Geometrie ungültig] ⟹ (2e) in (1) ergibt: (1a) R = 3+2 = 5 Grüne Fläche = Fläche des grünen Halbkreises - Fläche des weißen Halbkreises = π*5²/2-π*3²/2 = 8π ≈ 25,1327

@magdaliebtmathe

10 ай бұрын

Sehr hübsch gelöst! Das war echt anspruchsvoll, finde ich! 😊

Heute also mal Alles im grünen Bereich. Aber wie groß ist der denn nun? Es seien R und r die Radien des großen bzw. des kleinen Halbkreises. Dann gilt zunächst einmal ganz offensichtlich: . .. ... .... ..... R = r + 1m + 1m = r + 2m Des Weiteren bilden die Mittelpunkte der beiden Halbkreise und einer der beiden Endpunkte des Durchmessers des kleinen Halbkreises ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen r und r+1m sowie der Hypotenusenlänge R: r² + (r + 1m)² = R² r² + (r + 1m)² = (r + 2m)² r² + r² + (2m)r + 1m² = r² + (4m)r + 4m² r² − (2m)r − 3m² = 0 r = (1m) ± √(1m² + 3m²) r = (1m) ± √(4m²) r = (1m) ± (2m) Natürlich ist nur eine der beiden Lösungen sinnvoll: r = 3m ⇒ R = 5m ⇒ A(grün) = (π/2)*(R² − r²) = (π/2)*(25m² − 9m²) = (8π)m² PS: Erster mit sinnvollem Kommentar.🙂

@GetMatheFit

10 ай бұрын

Sehr schön. Ich habe es auch mithilfe des Pythagoras gelöst. Also genau so wie du. Dann erspare ich mir mal die Schreibarbeit und sage DANKE. Zu Magda: Das hast du gut gesehen - den Sehnensatz - Respekt. LG Gerald

@m.h.6470

10 ай бұрын

Mit dem Sehnensatz kommt man auf genau die gleiche quadratische Gleichung... der Unterschied ist, dass der Sehnensatz auch ohne rechte Winkel funktioniert 😉

@GetMatheFit

10 ай бұрын

@@m.h.6470 Stimmt. In diesem Fall hätte man auch den Höhensatz anwenden können. Da ist der rechte Winkel von Bedeutung.

@unknownidentity2846

10 ай бұрын

@@m.h.6470 Dem ist in der Tat nichts hinzuzufügen. Aber mir ging es so wie vermutlich vielen anderen auch: Der erste sinnvoll erscheinende Lösungsweg wird einfach weiterverfolgt, falls er sich nicht als Sackgasse erweist. Ich selbst habe auch schon bei ähnlichen Problemen mit dem Sehnensatz hantiert.

@unknownidentity2846

10 ай бұрын

@@GetMatheFit Na das schreit doch regelrecht nach mehr Arbeitsteilung in der Zukunft. Sobald einer von uns einen Lösungsweg beschrieben hat, bestätigt der andere dessen Korrektheit und äußert darüber noch seine Bewunderung. Halbe Arbeit, aber doppelt so viel Spaß.🙂 Ausnahmen sind natürlich stets statthaft. Es soll ja tatsächlich auch schon vorgekommen sein, dass wir auf verschiedenen Wegen zum Ziel gelangt sind.

Sehnensatz für Arsch, Pythagoras FTW!

@magdaliebtmathe

10 ай бұрын

🤣

HI Magda, mal sehen, wie weit mich meine Lösungsidee bringt: g sei der Radius des großen Halbkreis k sei der Radius des kleinen Halbkreis Ag sei die Fläche des großen Halbkreis Ak sei die Fläche des kleinen Halbkreis Agrün sei de gesuchte grüne Fläche Ich lasse zunächst die Einheiten weg. Aufgrund der Aufgabenstellung gilt: g und k sind beide > 0 da es hier um Radien und Flächen geht. Da nichts anderes angegeben ist, unterstelle ich als "Grundmenge" R g,k€R>0 1) g = 2 + k 2) Agrün = Ag - Ak = (pi * g^2 * 1/2) - (pi * k^2 * 1/2) |pi * 1/2 ausklammern 2.1) Agrün= (pi/2) * (g^2 - k^2) | 1) in 2.1) einsetzen 3) Agrün= (pi/2) * ((2+k)^2 - k^2) = (pi/2) * ((4 + 4k + k^2) - k^2) = (pi/2) * (4 + 4k) = (pi/2) * 4(k+1) = 2pi * (k+1) Die grüne Fläche beträgt somit 2pi * (k+1) m^2 Edit: Offensichtlich habe ich zu früh aufgehört mit rechnen.... Die Bedingung (k+1)^2 + k^2 =g^2 habe ich bisher noch gar nicht berücksichtigt. Also so dann... 4) (k+1)^2 + k^2 =g^2 | 1) in 4) 4.1) (k+1)^2 + k^2 = (2+k)^2 | 4.2) k^2+2k+1 + k^2= 4 + 4k + k^2 |-k^2 4.3) k^2 + 2k + 1 = 4 + 4k -4, -4k 4.4) k^2 - 2x - 3 = 0 | z.B. pq-Formel p: -2 q: -3 k1/2 =1 +/- Wurzel (1 + 3)| k1: 1 + Wurzel (4) = 1 + 2 = 3 k2: 1 - Wurzel (4) = 1 - 2 = -1 k2 ist keine Lösung im Sinne der Aufgabe, weil k ein Radius repräsentiert und k daher >0 sein muss mit k=3 ergibt sich dann: Agrüm = 2pi * (k+1) m^2 = 2pi * (3+1) m^2 = 2pi * (4) m^2 = 8pi m^2 jetzt bassds 🙂 Hoffentlich haben euch urlabende Mathefraks inzwischen mit Trinkwasser versorgt. Lasst es euch weiter gut gehen. LG auch an Manu aus dem Schwabenland.

@magdaliebtmathe

10 ай бұрын

Hey! Tatsächlich haben wir Wasser bekommen! Das war toll!! 😍😍😍

1 Pythagoras reicht: großer Radius R kleiner Radius r R²=r² + (R - 1 )² R² = ( R - 2 )² + ( R - 1 )² hat als Lösungen R = 5 und R = 1 ,R = 1 macht keinen Sinn usw... sehr schöne Aufgabe, Magda - aber nicht zu schwer...

@magdaliebtmathe

10 ай бұрын

Gut, Doro!! Hätte mich auch gewundert, wenn du sie nicht geknackt hättest. 😃

Spoiler: Hab einen Ansatz ohne den Sehnensatz gefunden, falls man den (wie ich) nicht kennt:D Zum einen kann man R = 2+r feststellen, wie du das gemacht hast. Als zweite Gleichung für ne Art LGS kann man vom Mittelpunkt der unteren Halbkreisseite eine Linie zum Eckpunkt des kleineren Halbkreises ziehen (Hoffentlich versteht man das 😂), welche die Länge R natürlich hat. Nun kann man dort ein rechtwinkliges Dreieck erkennen mit den Seiten R, r und (r+1), wodurch Pythagoras möglich ist. Dann hat man R² = r² + (1+r)² als Gleichung. Jetzt kann man die erste Gleichung einsetzen, alles umformen und kommt am ende sogar auf die exakt selbe Gleichung wie du vorhin: r²-2r-3=0. Dann kann man den Rest wie du rechnen:D

@wilmafeuerstein9028

10 ай бұрын

Genau so habe ich es auch gelöst.

@georgebliss964

10 ай бұрын

I used the same method.

@magdaliebtmathe

10 ай бұрын

Oh schick! Tolle Alternative! Viele Wege führen ans Ziel! 🚀🙂😍

Ach ja... Statt mit dem Höhensatz geht es natürlich auch mit Pythagoras: r² + (r + 1 m)² = R² r² + (r + 1 m)² = (r + 2 m)² 2r² + 2r ⋅ 1 m + 1 m² = r² + 4r ⋅ 1 m + 4 m² r² - 2r ⋅ 1 m - 3 m² = 0 (r + 1 m) ⋅ (r - 3 m) = 0 r₁ = - 1 m ∨ r₂ = 3 m Da r > 0, kann r₁ ausgeschlossen werden. A = π/2 ⋅ (R² - r²) = π/2 ⋅ ((r + 2 m)² - r²) = π/2 ⋅ (r² + 4r ⋅ 1 m + 4 m² - r²) = π/2 ⋅ (4r ⋅ 1 m + 4 m²) = π/2 ⋅ (4 ⋅ 3 m ⋅ 1 m + 4 m²) = π/2 ⋅ 16 m² = 8π m²

@magdaliebtmathe

10 ай бұрын

Sooo viele schöne Lösungen hier in den Kommentaren! Bin ganz geflasht von der Vielfalt! 😃😃

Eine andere Lösung (in m^2) wäre: 1. Erkenne das 3-4-5 Dreieck (und verwerfe die einzige andere wohlbekannte Möglichkeit r = -1, da r > 0). 2. Erkenne, dass Pythagoras nicht nur mit Quadraten funktioniert, sondern mit allen 2 dimensionalen Formen. ==> A_grün = 0.5 PI 4^2 = 8 PI Rein algebraisch: r^2 + (r+1)^2 = (r+2)^2 | maximal zwei Werte für r möglich, da Polynomgrad 2; beide wohlbekannt und leicht erkennbar ( r = -1 and (-1)^2 + 0^2 = 1^2 ) or ( r = 3 and 3^2 + 4^2 = 5^2 ) | r > 0 r = 3 and 5^2 - 3^2 = 4^2 r = 3 and 0.5 PI 5^2 - 0.5 PI 3^2 = 0.5 PI 4^2 r = 3 and A_grün = 8 PI

@wollek4941

10 ай бұрын

Wenn ich kurz meinen Senf dazu gehen darf: 🙈😂 Es gilt sogar r > 2. Denn für r = 1 heben sich beide Flächen auf und für r = 2 löst sich der kleine Halbkreis auf. Also r als Radius vom großen Halbkreis.

@wollek4941

10 ай бұрын

Wo ist eigentlich das 3-4-5 Dreieck? 🤔 Ich suche das schon die ganze Zeit und finde es nicht. 🙈 Genau wie dem Pythargoras. Ich stehe komplett auf dem Schlauch. 😂

@derwolf7810

10 ай бұрын

@@wollek4941 Wähle r und R analog zu der Lösung im Video. Sei A der Mittelpunkt des (vervollständigten) großen Kreises, B der rechte Berührpunkt der beiden Halbkreise und C der Mittelpunkt des (vervollständigten) kleinen Kreises. Damit erhält man dann die Seiten a := BC = r, b := CA = r+1 und c := AB = R = r + 2. Und was den Pythagoras angeht: Normalerweise malt man an die Seiten eines rechtwinkeligen Dreiecks Quadrate. Man kann aber auch jede andere Form (z.B. Dreiecke, Kreis, Halbkreis, Micky Mouse Piktogramme, Schattenriss eines Autos) wählen, insofern man diese für die verschiedenen Seiten gleichmäßig skaliert (und diese "echt" zweidimensional ist. Es gibt Flächen, die nur im zweidimensionalen eingebettet sind, z.B. fraktale Flächen mit eine Dimension von beispielsweise 1,75. Oder anders gesagt: Vermeide unendlich viele Löcher, Seiten und Ecken in der Fläche, die du wählst).

@wollek4941

10 ай бұрын

@@derwolf7810 jetzt habe ich das verstanden. 😂👍 Man da kriege ich einen Knoten im Kopf. 🙈😂 Pythargoras hatte ich inzwischen gefunden.

@magdaliebtmathe

10 ай бұрын

Schick! Es ist immer wieder faszinierend, wie viele Lösungsalternativen in den Kommentaren zusammenkommen. Danke dafür! 😍

Please write bigger

@magdaliebtmathe

10 ай бұрын

On which device Are you watching the videos? Maybe use a laptop instead of a smartphone? Writing bigger would mean that I’d need to scroll much more through a document, which I would like to avoid as in my experience it distracts the viewer. 🙃

@s.j.r7656

10 ай бұрын

Thank you for your good videos I meant to write bigger if possible. Because I watch your videos on my mobile phone

R = √r²+(r+1)² R = r+2 √r²+(r+1)² = r+2

@magdaliebtmathe

10 ай бұрын

✌🏼✌🏼✌🏼

Sehnensatz 🤔⁉️ Das hast du dir doch ausgedacht 🧐⁉️ Ich hab was anderes raus. 🤓 Wir haben zwei leicht gestreckte Parabelfunktionen in der Scheitelpunktform mit ½ π r² und ½ π (r-2)² die voneinander abgezogen werden. Die doppelten Nullstellen liegen bei S₁ (0/0) und S₂(2/0). Übrig bleibt eine Linearfunktion, die jedem r ein A zuordnet. A = 2 π r - 2 π Für r = 1 sind beide Halbkreise gleich groß. Es gilt A = 0. Für r = 2 verschwindet der kleine Halbkreis, übrig bleibt der große mit A = 2 π. Richtig ist, dass für r = 5 gilt: A = 8 π. 🤓👍 Anm.: Mein r meint hier das R. 😉 Aber für jedes r ₁ = r ₀ +1 gilt auch: A ₁ = A ₀ + 2 π. 😇 An der Stelle komme ich nicht weiter. 😂

@wollek4941

10 ай бұрын

Eidernaus. 🥴 Jetzt habe ich drei Stunden Rasen gemäht und dabei gedanklich mit Thales ein rechtwinkliges Dreieck konstruiert (kam mir eh komisch vor, dass da nix mit Dreiecken oder Pythargoras vorkam 😁) und mit dem Höhensatz des Euklid folgendes gefunden: h² = pq mit h = r+1 und p = 2r+2 und q = 2 Eingesetzt und aufgelöst ergibt sich: (r+1)² = 4r+4 r² -2r -3 = 0 Also der Sehnensatz. 😜 Ich finde es gerade überaus creepy, dass der Sehnensatz offenbar mit den Höhensatz verbunden ist. 😳 Mit der pq-Formel findet sich für r>0 (genauer: r>2) r=3 und R=r+2=5. Mit den Radien lassen sich die Flächen finden oder ich setze in die oben beschriebene Linearfunktion ein und komme zu: A = 8 π m² Den Großteil der anderen Antworten habe ich aber immer noch nicht verstanden. 🙈😂

@wollek4941

10 ай бұрын

Man, ich werde alt. 🤪 Mit R als Hypothenuse findet sich nun auch der alte Pythargoras. 🙈 Der kann entweder wieder zum Sehnensatz umgeschrieben werden, oder man erkennt in r² +(r+1)² = (r+2)² die Seitenlängen 3+4+5=12. Das ist das gute, alte Zwölfknotenseil, quasi eine Sonderform des Pythargoras. Die Lösungsmenge kann nur L{3,4,5} sein und für R=r+2 gilt notwendigerweise: r = 3 R = 5 und somit A = 8 π. Anm.: R = 5 gilt eh, weil R = H und H = (r+2)². Die Lösung r = 1 fällt also immer raus. Das kann man auch damit argumentieren, weil 1. sich die Halbkreise nicht mehr auf dem Thaleskreis berühren und 2. sich beide Flächen dann aufheben, was die Aufgabe sinnlos macht (analog zum Ergebnis r

@magdaliebtmathe

10 ай бұрын

😃😃😃 Vielleicht beruhigt es dich, dass ich den Sehnensatz selbst noch nicht lange kenne 🤭.

@wollek4941

10 ай бұрын

@@magdaliebtmathe Ich hab jetzt die ganze Diskussion durchgeackert. Megaspannend. Ich hatte irgendwie das pythargoräische Dreieck mit R am Berührpunkt nicht gesehen. 🥴 Echt krass, dass wenn man r² + (r+1)² = (r+2)² erkannt hat, sofort ohne rechnen L{3,5} für r, R rauskommen muss. Und der Sehnensatz, Höhensatz und Pythargoras hängen ja alle miteinander zusammen. Verrückt. 🤭 Es kommt immer irgendwie dieselbe Parabelfunktion raus. 🤗

Viel zu kompliziert. Einfacher: R = r+2 R² = r² + (r+1)² Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte. Einfach Auflösen, man benötigt nur die PQ Formel.

@magdaliebtmathe

10 ай бұрын

Auch sehr schön! Viele Wege führen ans Ziel! 🚀🙂😍

Uuund schon wieder erster

@goldfing5898

10 ай бұрын

Mit der eigenen Lösung?

@magdaliebtmathe

10 ай бұрын

😃😃

ungünstig, die Sehne auch klein r zu nennen😂 hab von Sehnensatz noch nie was gehört. Nur Höhensatz🤔

@magdaliebtmathe

10 ай бұрын

Man lernt nie aus! 😃✌🏼