Niveau: Terminale Maths Spécialités
Chapitre: Loi des grands nombres, Somme de variables
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Terminale Maths Spécialité Sujet 0
Exercice 3
Partie A
Le premier exercice est constitué de deux questions Q1 et Q2. Chaque question est notée sur un point. Une réponse correcte rapporte un point; une réponse incorrecte, incomplète ou une absence de réponse rapporte zéro point. On considère que :
- Un candidat pris au hasard a une probabilité 0,8 de répondre correctement à la question Q1.
- Si le candidat répond correctement à Q1, il a une probabilité 0,6 de répondre correctement à Q2 ;
- s'il ne répond pas correctement à Q1, il a une probabilité 0,1 de répondre correctement à Q2.
On prend un candidat au hasard et on note :
- A l'évènement : "le candidat répond correctement à la question Q1" ;
- B I'èvènement : "le candidat répond correctement à la question Q2".
1. Construire l'arbre pondéré représentant la situation de l'énoncé.
2. Calculer la probabilité que le candidat réponde correctement aux deux questions Q1 et Q2.
3. Calculer la probabilité que le candidat réponde correctement à la question Q2.
On note :
- X1 la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à la question Q1;\\
- X2 la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à la question Q2;\\
- X la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à l'exercice, c'est-à-dire $X=X_1+X_2$
4. Déterminer l'espérance de X_1 et de X_2. En déduire l'espérance de $X$. Donner une interprétation de l'espérance de X dans le contexte de l'exercice.
On note :
$X$ la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à l'exercice, c'est-à-dire X=X_1+X_2. On souhaite déterminer la variance de X.
5. Déterminer P(X=0) et P(X=2). En déduire P(X=1).
6. Montrer que la variance de X vaut 0,57 .
7. A-t-on V(X)=V(X_1)+V(X_2) ? Est-ce surprenant?
Partie B.
Le deuxième exercice est constitué de huit questions indépendantes. Chaque question est notée sur un point. Une réponse correcte rapporte un point ; une réponse incorrecte et une absence de réponse rapporte zéro point. Les huit questions sont de même difficulté : pour chacune des questions, un candidat a une probabilité 3/4 de répondre correctement, indépendamment des autres questions.
On note Y la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note au deuxième exercice, c'est-à-dire le nombre de bonnes réponses.
1. Justifier que Y suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Donner la valeur exacte de P(Y=8).
3. Donner l'espérance et la variance de Y.
Partie C .
On suppose que les deux variables aléatoires X et Y sont indépendantes.
On note la variable aléatoire qui, à un candidat. associe sa note totale à l'examen : Z=X+Y.
1. Calculer l'espérance et la variance de Z.
Soit n un nombre entier strictement positif.
Pour i entier variant de 1 à n, on note Z_i la variable aléatoire qui, à un échantillon de $n$ élèves, associe la note de l'élève numéro i à l'examen. On admet que les variables aléatoires Z_1, Z_2, ....., Z_n sont identiques à Z et indépendantes.
On note M_n la variable aléatoire qui, à un échantillon de $n$ élèves, associe la moyenne de leurs n notes, c'est-à-dire : M_n=(Z_1+Z_2+....+Z_n}/n .
2. Quelle est l'espérance de M_n ?
3. Quelles sont les valeurs de n telles que l'écart type de M_n soit inférieur ou égal à 0,5 ?
4. Pour les valeurs trouvées à la question précédente , montrer que la probabilité que 6,3 inférieur ou égale M_n inférieur ou égale 8,3 est supérieure ou égale à 0,75 .
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00:00 Partie A Question 1
01:10 Partie A Question 2
01:53 Partie A Question 3
03:00 Partie A Question 4
06:04 Partie A Question 5a
09:39 Partie A Question 5b
10:30 Partie A Question 5c
12:46 Partie B Question 1
14:21 Partie B Question 2
15:40 Partie B Question 3
16:28 Partie C Question 1
18:16 Partie C Question 2a
24:46 Partie C Question 2b
27:59 Partie C Question 2c