[수학+] 람베르트 W 함수 | Lambert W function | x^y=y^x 에서 y=?
#람베르트 #역함수 #로그함수
이번 강의에서는 람베르트 W 함수 (Lambert W function) 를 소개하고, x^y=y^x 의 그래프를 설명합니다.
y=e^x 의 역함수를 y=ln(x) 라 하는 것처럼 y=xe^x 의 역함수(?)를 y=W(x) 라고 하고 람베르트 W 함수라고 합니다.
하지만, y=xe^x 은 x=-1 왼쪽에서는 감소함수, 오른쪽에서는 증가함수가 되어 역함수가 존재하지 않습니다.
그래서, 범위를 나누어서, x=-1의 오른쪽 부분의 역함수를 W_0(x), 왼쪽 부분의 역함수를 W_(-1)(x)라고 합니다.
이때, W(x) 는 W_0(x) 또는 W_(-1)(x) 입니다.
그러면, xe^x=2 또는 e^x=3x+1 에서 x 의 값을 W 를 이용해서 쓸수 있고, wolfram alpha 를 이용하면 근사값을 계산할수 있습니다.
한편, x^y=y^x 의 그래프 역시 Lambert W function 을 이용해서 설명할수 있습니다.
![[해석학1] 4.3절 (1) 균등연속함수의 정의 (uniformly continuous function)](/img/d.gif)
Пікірлер: 11
헉 너무나 꿀잼
W Function은 감마함수와 같이 응용수학 및 공대쪽에서 계산적인 문제를 해결하기 위해 만들어진 함수 인건가요? 배경이 궁금합니다.
f(x)=xe^x는 고등학교 미적분에서도 자주보는 함수인데 저런식으로 변형해서 사용할 수 있다는게 놀랍네요! 좋은영상 감사합니다.
@kh_math
11 күн бұрын
감사합니다.
16분 시점에서 W⁰이랑 W‐¹이 각각 x가 (0,e), [e,무한대) 에서만 정의되는데 왜 W⁰과 W‐¹에 exp를 취한 함수가 각각(e, 무한대), (1,e]에서도 정의가 되는건지 궁금합니다. 처음에 W함수를 정의해 주실때는 W⁰과 W-¹이 정해진 정의역에서만 존재하는 함수라고 생각했는데, 사실은 그런게 아닌건가요?? 알려주시면 감사하겠습니다.
@user-wb4hc1sq3p
12 күн бұрын
본 영상 2:08 에서 W₀과 W₋₁은 각각 정의역 [-1/e,∞), [-1/e,0)에서 정의되었습니다. 말씀하신 범위는 W(xe^x)=x가 만족되는, 즉 Wₙ이 xe^x의 left inverse라고 할 수 있는 범위를 나타낸 것입니다. 기본적으로 함수 f의 역사상이 multi-valued function인데, 이것 하나의 single-valued branch는 항상 right inverse of f는 되지만 left inverse of f가 되지는 않습니다. 이를 위해 추가적으로 f의 공역을 제한해야해서 이런 현상이 나타납니다.
@user-lw8wl2ph7y
11 күн бұрын
그러면 동영상에서는 다루지 않은 Wn의 일반적인 경우들이 존재하는건가요?
@user-lw8wl2ph7y
11 күн бұрын
@@user-wb4hc1sq3p 교수님이 영상 앞에서 말씀하신 람베르트 W함수에서의 숫자가 의미하는 바가 있다고 하신 것 처럼 실제로는 확장된 범위에서의 함숫값들이 존재한다는게 맞는 해석일까요 ㅠㅠ
@kh_math
11 күн бұрын
W 안에 있는 1/x*ln(1/x)의 최솟값이 -1/e이므로 W_0, W_(-1)이 정의됩니다. 그리고, 임의의 정수 k에 대해서 W_k 가 정의되는데, 이는 실수범위를 넘어서 복소수범위까지 생각했을때 가능합니다. 이 강의에서는 실수 범위에서만 설명해서 다른 정수 k는 설명하지 않았습니다. 감사합니다.
일대일함수가 아닌디
@kh_math
11 күн бұрын
맞습니다. 그래서 x=-1 을 중심으로 범위를 나누어서 생각합니다.