-1 racine évidente donc tu favorises par x+1 et tu te trouve avec deux équations à résoudre

@jerroldcharles5949

2 жыл бұрын

J aime pas etre tutoyé des individus sur un exo évident

@orchestrecommunistedebourg5295

2 жыл бұрын

i est aussi solution évidente, si on pose le problème dans l’ensemble des nombres complexes…

On peut aussi reconnaitre les premiers termes d'une série géométrique de premier terme 1 et de raison x. Ainsi on constate que le polynôme 1+x+x^2+x^3 est égal à (1-x^4)/(1-x). Ensuite on cherche les racines du polynôme 1-x^4 dans les complexes, on en trouve quatre (1, -1, i, -i). Ensuite on cherche lesquelles de ces racines sont solution de la question initiale.

@davidseed2939

2 жыл бұрын

x=1 can be immediately rejected since it was articially intoduced by multiplying by that root (x-1) leaving (x= -1,±i)

@becomepostal

2 жыл бұрын

@@davidseed2939 You're right but it requires some advanced level of knowledge about rational fractions, that's why I preferred to give an "easier" way to proceed.

@davidseed2939

2 жыл бұрын

@@becomepostal i dont think it is very advanced. if you generate the fraction (x^4-1)/(x-1) then clearly x/=1 otherwise the fraction is 0/0

@becomepostal

2 жыл бұрын

@@davidseed2939 That's not my point. My point is you need to know how polynomials and rational fractions can share roots. While the number of roots of a polynomial is limited by the degree of this polynomial, the way the number of roots works for a rational fraction (say, a fraction of polynomials, in fact) is a little bit trickier (because there are several ways to represent a fraction).

@jean-claudepecqueur625

Жыл бұрын

Un truc ? Avec ma tablette , si j ’ appuie qq secondes sur le chiffre ( 2 par exemple ) le chiffre passe en exposant ...pratique !

Ce polynôme est factorisable en (x+1)(x+i)(x-i) et on a les solutions. En fait -1 est racine évidente, du coup on fait la division polynomiale de x^3 + x^2 + x + 1 par (x+1) , on trouve ( x^2 + 1 ) dont les racines évidentes sont i et -i .

Merci beaucoup mon frère

Tiens, j'étais passé par une méthode moins conventionnelle. À partir de l'équation de départ, passer le 1 à droite, puis diviser tout par x (qui ne peut être nul, donc c'est bon). On trouve que x^2+x+1 = -1/x. Du coup, en remplaçant le 1er terme par le second dans l'équation de départ, je trouve que x^3-1/x = 0. Soit x^4=1. Sur les quatre racines (dans C), trois résolvent l'équation de départ.

@Matazart

2 жыл бұрын

Très belle initiative, merci de l'avoir partagée. En plus comme 1 n'est pas racine de X^4-1, on sait directement que les 3 autres racines sont solutions de l'équation de départ.

English Subtitle please... if possible do upload the video in English....

Une "astuce" pour vérifier les racines évidentes 1 et -1 : ° 1 est racine si la somme des coefficients vaut 0. ° -1 est racine si les deux sommes alternées des coefficients sont égales (car les termes de degré pair sont égaux à leur coeff, tandis que les termes de degré impair sont égaux à l'opposé de leur coeff). Ici j'additionne d'une part les coeff de x^3 et de x: on trouve 2. D'autre part les coeff de x^2 et la constante: on trouve 2 aussi. Donc -1 est racine.

@Laggron93

11 ай бұрын

@@sonysunderland7235 Absolument. Soit P un polynôme de degré n. Je vais noter a[k] le coefficient du terme de degré k. Si on veut évaluer P(1): P(1) = a[n] . 1^n + a[n-1] . 1^(n-1) + ... + a[1] . 1 + a[0] Or 1^k = 1 quel que soit k. Donc P(1) = a[n] + ... + a[0] Il suffit de vérifier la somme des coefficients. Si on veut évaluer P(-1), le principe est le même, si ce n'est que (-1)^k vaut 1 pour les termes de degré pair et -1 pour les termes de degré impair donc: P(-1) = a[0] - a[1] + a[2] - a[3] etc... Il suffit de vérifier la somme alternée des coefficients. (il est possible que j'utilise mal le terme "alterné" cela dit)

À mon avis, tu as fait comme je pense: on peut constater qu'on a une suite géométrique, calculer sa somme permet donc facilement de trouver la solution, on peut aussi mettre aisément x+1 en facteur ce qui nous permettra dans les deux cas de trouver -1 comme solution de cette équation.

@Matazart

2 жыл бұрын

C'est une bonne d'idée de voir ça comme la somme des 4 premiers termes d'une suite géométrique, mais je n'ai pas fait comme ça. Il y a deux autres solutions si on utilise les nombres complexes 🙂

@lazaremoanang3116

2 жыл бұрын

Ah, je vois, ça veut dire qu'il faut au moins faire terminale pour utiliser ta méthode. Ok, si on résout cette équation dans C, on aura deux autres solutions que seront i et -i donc mettre x+1 en facteurs reste valable maintenant comme tu n'utilises pas la suite géométrique qu'on peut aussi utiliser ici,

@lazaremoanang3116

2 жыл бұрын

tu peux utiliser les racines quatrièmes de l'unité sachant que x sera différent de 1.

@gillesphilippedeboissay109

2 жыл бұрын

x la raison, il faut supposer |x|

@gillesphilippedeboissay109

2 жыл бұрын

au final ça revient à factoriser un polynôme de degré 4 : 1-x^4

Les polynômes formant un corps sont munis d'une division qui s'effectue exactement comme une divison normale, sauf qu'on utilise une base x au lieu d'une base 10.

{-1,i,-i} content d'avoir trouvé à l'instinct

J'ai réalisé une division polynomiale pour ma part. -1 étant une racine évidente.

♥️👍merci

On peut la résoudre aussi avec le triangle Pascal !

Moi j’ai : 1+x+x^2+x^3=(1-x^4)/(1-x) , on a donc -1 , i et -i comme solution

Il ne faut une racine du polynome et faire la subdivision euclidien sur x_racine par consequent tu factorise le polynome et tu resouds l'equation du 2 degre et c'est fini.

@saadaouibrahim4853

2 жыл бұрын

Division euclidienne

Factoriser par 0?

(x+1)(ax^2+bx+c)= ax^3+(a+b) x^2+(c+b) x+c a=1 a+b=1 b=0 c+b=1 et c=1 donc (x+1)(x^2+1)=0 donc x=-1,x=-i , x=i trois solutions

(x^4-1)/(x-1)=0 donc les solutions sont -1,i et -i

Pour factoriser, tu peux aussi poser la division x3+x2+x+1 / x +1 (sous entendu que tu ais vu que -1 était une solution évidente)

@Matazart

Жыл бұрын

En pratique, ça revient à faire exactement la même chose ;)

Pas vu la vidéo mais c'est i ou -i

@yaroledono2968

Жыл бұрын

Et -1