merci beacoup, parfait pour les oraux, c'est clair. Bon format.

@CassouMathPrepa

Ай бұрын

Merci à toi 😊

Si de plus on connais le rang de M, on peut en déduire une minoration du nombre de vp communes. Ce qui rend l'exo encore plus intéressant.

@CassouMathPrepa

Ай бұрын

wouah. Va falloir faire une 2eme video ! 😇

Vraiment top les videos, ça aide beaucoup continue !

@CassouMathPrepa

Ай бұрын

Merci à toi 😁

Bravo pour les explications, ça paraît tellement simple :)

@CassouMathPrepa

Ай бұрын

:)

j aime beaucoup comment vous présentez c est très pédagogique

@CassouMathPrepa

Ай бұрын

Merci bien 😁

pour 1 implique 2: On prend y valeur propre commune. Je trigonalise A et B puisque l'on est dans C. A=PTP^(-1) et B=QRQ^(-1) où P et Q sont inversibles, R et T sont triangulaires (inférieure pour R et supérieure pour T) avec comme coefficient de la première ligne et première colonne y. En posant M=P*E(1,1)*Q^(-1), avec E(1,1) la matrice unitaire en le coefficient de première ligne et colonne, on a le but.

J'espère que les candidats ont été guidés car sans indication il faut avoir une sacrée intuition !

@CassouMathPrepa

Ай бұрын

J'avoue c'est pas évident... Le sens (1) implique (2) nécessite déjà une certaine dextérité... il reste accessible si on a de bons refelxes. Pour le sens (2) implique (1), alors il faut vraiment etre spontané (pour un étudiant). J'imagine que l'examinateur peut aider sans que la note ne baisse trop. De facon générale, les exercices des Mines-Pont MP peuvent quand meme etre assez difficiles pour pour un étudiant qui a un niveau deja correct. Dont l'interet de s'entrainer encore et toujours a CHERCHER (et trouver !). Il faut vraiment faire beaucoup d'exercices pour arriver affuté au concours. D'où limportance cruciale des révisions 😉

@EMT-fw2fz

Ай бұрын

Il est assez classique cet exo et toutes ses variantes faisant intervenir l'égalité AM=MB, donc une prime au bachotage, ce qui reste un des objectifs de la prépa quoi qu'on en dise!

On peut trouver l’exo dans le tome d’algèbre d’Éric Leichtnam d’exercices corrigés posés aux oraux de Polytechnique et ENS, p158.

@CassouMathPrepa

Ай бұрын

Du coup il fait comment pour la 2eme implication ? (1)=>(2)

@girianshiido

Ай бұрын

@@CassouMathPrepa L'exercice est énoncé avec des endomorphismes f et g. Il part d'une base de trigonalisation dans laquelle g s'écrit avec m blocs de Jordan dans laquelle il suppose que les valeurs propres qui sont notées lambda_k sont égales pour f et g de k = p+1 jusqu'à m. Il suppose ensuite qu'une telle fonction h existe et écrit plusieurs systèmes qui équivalent à fh=hg en utilisant les coefficients f_{ij}, g_{ij} et h_{ij} des matrices. Il considère ensuite successivement les cas j=1, 2, ... et montre que les h_{ij} sont nécessairement nuls lorsque i et j sont

pour (2) implique (1) je pense qu'on peut faire un peu plus simple, on reprend au moment ou P(A)M=MP(B) ,on suppose par l'absurde que les spectres sont disjoints, donc les polynomes caractéristiques de A et B sont premiers entre eux, j'applique bézout que j'évalue en A, jai donc xhi_B(A) inversible ce qui donne M nul absurde

@undecorateur

6 сағат бұрын

oui c'est ce que j'ai fait aussi

Je pense qu'étudier les valeurs propres de l'application M -> AM - MB permet de résoudre l'exercice plus facilement même si on se place dans un ev moins habituel. Enfin il faudrait également remarquer que M -> AM et M -> MB commutent donc que ces applications sont cotrigonalisables, alors on peut voir une vp de M -> AM - MB comme une différence de vp de M-> AM et M -> MB mais je doute que ces notions soient abordées au programme de PC

@CassouMathPrepa

Ай бұрын

J'ai pas regardé en details mais je vois l'idée. Ca a l'air tres élégant. MAis du coup ici on passerait pas les valeurs propres juste pour montrer que le noyau est non trivial ? Ca demande quand meme plus de boulot il me semble (cotrigonalisation par exemple) ? Ca doit prendre tout son sens si on veut aller plus loin non ? (Voir autre commentaire de @ShivacuuM ??)

Sans indication, c’est vachement difficile

@CassouMathPrepa

Ай бұрын

oui j'avoue. Pas de panique. L'examinateur peut donner des indications si on bloque. Evidemment ca fait baisser la note, mais on peut quand meme s'en sortir avec une note honorable.

Mon tribut à l'algorithme : à 11:53 tu dis "somme" au lieu de "produit" (je fais ça tout le temps).

@CassouMathPrepa

Ай бұрын

yeah. Bien vu l'ami nimois (je pense te reconnaitre :)) ... tu n'es pas Gaston Darboux !!... peut etre un descendant espagnol... 😉🤫) . Tu as l'oreille bien aiguisé.

@UnNimois

Ай бұрын

@@CassouMathPrepa Cher ami, je te dois un e-mail en bonne et due forme mais ne trouve jamais le temps de l'écrire !

@CassouMathPrepa

Ай бұрын

@@UnNimois aaah j'ai peut etre un doute sur ton identité alors, j'ai dû confondre :) ... mais maintenant j'ai une autre idée

pour la premiere implication on aurait juste pu prendre X un vecteur propre associé a la valeur propre l , donc AMX=MXl et donc l est vecteur propre de A avec comme vecteur propre MX

@perquealexandre9029

2 ай бұрын

MX différent de 0 ? même si X différent de 0 car vecteur propre et M différent de 0 rien ne nous assure que MX différent de 0

@CassouMathPrepa

Ай бұрын

Hélas non... si ce que tu dis etait vrai, alors ca voudrait dire que A et B ont carrement les memes valeurs propres (ok ?). En general ce qui se passe c'est que MX=0, donc ce n'est pas un vecteur propre. Comme on le voit dans le 2eme implication le rang de M est petit donc le noyau de M est gros ! 😉

@CassouMathPrepa

Ай бұрын

@@perquealexandre9029 bien vu alexandre !

Bonjour, Pour moi le plus chaud dans cette histoire est le sens 1

@CassouMathPrepa

27 күн бұрын

Merci pour ce commentaire. La question de savoir quel sens est le plus facile est de toute facon tres personnelle et depend du vécu de chacun. Bon j'avoue que le (2)=> (1) est aussi une histoire de prouver l'existence d'une valeur propre. Cependant cette existence-là m'a parue plus simple que celle dans l'autre sens. Construire la matrice M n'est pas si simple, et le passage par Jr que tu proposes est tres interessant, mais je le trouve d'un niveau de difficulté supérieur pour un etudiant moyen (point de vue subjectif j'en conviens). Il me semble que je parle de commencer par voir le cas M inversible dans le video non ? 🤔

@undecorateur

4 сағат бұрын

super demo Je pense que A et B seraient plutôt triangulaires par blocs (A tri. sup., B tri. inf.) avec A11 = B11 bien sûr ça ne change rien à la conclusion