06.07.2024
Основная цель курса - расширить все ключевые интуиции слушателей с 1-категорий в традиционном смысле (то есть, 1-усеченных 1-категорий или (1, 1)-категорий) до 1-категорий в современном смысле (то есть, (∞, 1)-категорий). Передать понимание, что это такой же естественный объект и развить навык работы с ним. В качестве мотивации, можете ознакомиться с этой серией постов: t.me/ultima_rat/133. После установления основ, большая часть курса будет излагаться на инвариантном языке.
План:
1. Обзор формализма модельных категорий Квиллена (главный инструмент для представления когерентных объектов на традиционном 0-когерентном/дискретном языке).
2. Симплициальные множества как модели типов (то есть, (∞, 0)-категорий / ∞-группоидов). Базовые понятия и конструкции с типами.
3. Категории.
4. Сопряжения, расширения Кана, пределы и копределы, монады.
5. Классы моно/эпи морфизмов, системы факторизации, генераторы.
6. Локально представимые категории, алгебраические категории.
7. Топосы.
8. Моноидальные категории.
9. Стабильные категории.
Все пункты 3-9 подразумевают "связанные понятия, свойства, конструкции, примеры".
Будет несколько листочков с задачами и экзамен в формате решения задач для желающих.
Литература:
J. Lurie, Higher Topos Theory, (2008)
J. Lurie, Higher Algebra, (2017)
D. C. Сisinski, Higher Categories and Homotopical Algebra, (2022)
L. Martini, S. Wolf, Internal higher category theory, (серия работ 2021-2024)
+ S. Balchin, A Handbook of Model Categories, (2021) и разные статьи
Пререквизиты:
Формально минимальных пререквизитов совсем не много:
1. Азы классической теории категорий (пределы, сопряжения, лемма Йонеды)
2. Азы теории гомотопий (достаточно 0-ой и 1-ой главы Хатчера и представления о старших гомотопических группах)
Строго говоря, этого должно быть достаточно, чтобы воспринимать 90% курса, потому что все категорные понятия будут определяться - в этом смысле, знание их классических 1-усеченных аналогов не необходимо.
Но, в действительности лекции будут ориентированы на людей уже знакомых с:
1. Соответствующими темами классической теории категорий. На курсе акцент будет в уточнении и расширении этого понимания на неусеченный случай (вместо того, чтобы организовывать обучение этим понятиям с нуля). Этот пререквизит может быть заполнен, например, этим курсом: t.me/ultima_rat/132.
2. Формализмом модельных категорий, потому что они будут обсуждаться совсем кратко. Этот пререквизит может быть заполнен тремя трехчасовыми докладами • Введение в исчисление ... с семинара по исчислению Гудвилли (матфак ВШЭ, весна 2024).