La Fonction de Weierstrass est Continue Partout Nulle Part Dérivable !

La fonction de Weierstrass, publiée en 1872 par le mathématicien Karl Weierstrass, est l'exemple d'une fonction continue partout, nulle part dérivable. Sa publication a choqué les mathématiciens du 19ème siècle. Longtemps considérées comme pathologiques, ces fonctions ont été mises de côté et peu étudiées, mais il s'avère au final qu'elles apparaissent absolument partout (en bourse, en traitement du signal, en sismographie, etc...) !
Les animations ont été faites en Python, avec le module Manim :
www.manim.community/
La musique en background est :
Once again - Benjamin Tissot (www.bensound.com/)
🔗 Références :
clairedavid.monsite-orange.fr...
bssm.ulb.ac.be/data/past_conf...
fr.wikipedia.org/wiki/Fonctio....
⏲ Timestamps :
00:00 - Intro
00:32 - Fausse conjecture
01:44 - Fonction de Weierstrass
03:43 - Nerd Time
04:35 - Banach Mazurkiewicz
Pour ceux ou celles qui voudraient me soutenir :
fr.tipeee.com/kobipy/
Un commentaire, un like ou un partage sont aussi appréciés 😉
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Пікірлер: 136

  • @mixro4169
    @mixro4169 Жыл бұрын

    t'es pas un amis de Axel Arno toi? XD

  • @kobipy

    @kobipy

    Жыл бұрын

    Je connais sa chaîne, mais lui et moi ne nous connaissons pas :)

  • @mixro4169

    @mixro4169

    Жыл бұрын

    @@kobipy ah d'accord car ton style de video me fait penser aux siennes

  • @linkdu83
    @linkdu83 Жыл бұрын

    Vidéos de qualité et intéressantes = +1 abonné :) Bonne réussite pour continuer à faire prospérer cette chaine !

  • @kobipy

    @kobipy

    Жыл бұрын

    Merci beaucoup pour ton gentil commentaire 😉

  • @naalty6481
    @naalty6481 Жыл бұрын

    Incroyable vidéo j'ai adoré du début jusqu'à la fin Bonne continuation 😊

  • @kobipy

    @kobipy

    Жыл бұрын

    Merci beaucoup pour ton commentaire chaleureux ! 😉

  • @tomatosbananas1812
    @tomatosbananas1812 Жыл бұрын

    Bonjour bonsoir, je viens de regarder toutes tes vidéos. Nouvel abonné. Je suis électronicien de métier. Je trouve que tes vidéos sont un mix entre les chaines micmaths, scienceclic et voyage au pays des mats. J'apprécie cette pédagogie visuelle qui illustre tes propos. C'est très efficace. Ça donne envie de se mettre à Blender+Python.

  • @kobipy

    @kobipy

    Жыл бұрын

    Merci beaucoup pour ton commentaire encourageant ! 😊

  • @domwindom
    @domwindom Жыл бұрын

    et hop, merci pour cette courte mais excellente vidéo ! Il y a aussi les fonctions de Cantor. J'ai un peu oublié, mais si tu fais une vidéo dessus, je la regarderai !

  • @kobipy

    @kobipy

    Жыл бұрын

    Merci pour ton commentaire :) ! La fonction de Cantor est intéressante : elle est continue et croissante, dérivable presque partout et de dérivée nulle. Peut-être que j'en ferai une vidéo à l'occasion !

  • @py9849
    @py98499 ай бұрын

    Ayant une formation en génie civil, je ne connaissais Weierstrass que par le théorème de Bolzano-Weierstrass, qui permet de résoudre les forces d'appui dans les équilibres hyperstatiques. Je reviendrai sur cette chaine, espérant y retrouver d'autres vieilles connaissances.

  • @kobipy

    @kobipy

    9 ай бұрын

    C'est intéressant de savoir que le théorème de Bolzano-Weierstrass peut s'utiliser en génie civil ! Merci pour votre commentaire ! :)

  • @ChrisSquaredTwo
    @ChrisSquaredTwo Жыл бұрын

    J’attends avec impatience l’épisode suivant

  • @kobipy

    @kobipy

    Жыл бұрын

    Merci beaucoup :) ! Ça prend un peu de temps, mais ça arrive !

  • @Lucky-rf5db
    @Lucky-rf5db Жыл бұрын

    Vidéo très intéressante ! Très surpris par l'existence de cette fonction

  • @kobipy

    @kobipy

    Жыл бұрын

    Merci 😉 !

  • @andydlr7801
    @andydlr78019 ай бұрын

    Superbe vidéo !

  • @kobipy

    @kobipy

    9 ай бұрын

    Merci beaucoup :) !

  • @smaug4092
    @smaug40929 ай бұрын

    Le théorème de Baire permet d'affirmer que les fonctions dérivables en au moins un point, sont aussi rares que les nombres entiers dans |R. En fait c'est la complétion de l'espace C(a,b) des fonctions continues, muni de la norme infinie, qui fait en sorte que de telles fonctions monstre existent...

  • @kobipy

    @kobipy

    9 ай бұрын

    Merci pour cette précision heuristique ! PS : à la précision près qu'il convient d'ajouter pour le lecteur qu'il y a plusieurs notions de rares !

  • @smaug4092

    @smaug4092

    9 ай бұрын

    @@kobipy Absolument !! En fait je voulais dire que les fonctions derivables sont aussi rares que les entiers naturels dans |R; l'ensemble Q étant dense dans |R. Ici le terme rare désigne un espace de Baire de la première catégorie; soit une réunion de fermés d'intérieure vide. Ps: Magnifique vidéo, un travail de vulgarisation remarquable.

  • @kobipy

    @kobipy

    9 ай бұрын

    ​@@smaug4092 Merci beaucoup pour votre commentaire ! :) J'ai été imprécis dans ma remarque. Ce que je voulais signifier à l'eventuel lecteur "inaverti" de nos échanges est que lorsqu'on dit que les rationnels de [0, 1] sont "rares" dans [0, 1], on le dit généralement au sens où Qinter[0, 1] est de mesure de Lebesgue nulle.

  • @paulquinones9834
    @paulquinones9834 Жыл бұрын

    Jolie utilisation de manim, c'est très bien maîtrisé 😉

  • @kobipy

    @kobipy

    Жыл бұрын

    Merci beaucoup ! 😉

  • @Lucasprimedex
    @Lucasprimedex Жыл бұрын

    Très belle vidéo !

  • @kobipy

    @kobipy

    Жыл бұрын

    Je t'en remercie ! 😊

  • @antoinegodeau4684
    @antoinegodeau4684 Жыл бұрын

    Superbe vidéo, signé un étudiant en prépa!

  • @kobipy

    @kobipy

    Жыл бұрын

    Merci Antoine ! Tu es en première ou deuxième année ?

  • @444nuits
    @444nuits Жыл бұрын

    Content de voir les stats de cette vidéo, j'espère que ce n'est que la première d'une longue série en 2023 et plus tard !

  • @kobipy

    @kobipy

    Жыл бұрын

    Merci Clément :) ! Je l'espère aussi. En attendant, je te souhaite une excellente année 2023 !

  • @444nuits

    @444nuits

    Жыл бұрын

    @@kobipy Excellente année à vous aussi !

  • @sud_vpn
    @sud_vpn Жыл бұрын

    Excellente vidéo!

  • @kobipy

    @kobipy

    Жыл бұрын

    Merci beaucoup ! :)

  • @blackpowder9743
    @blackpowder9743 Жыл бұрын

    He scotché ! Merci, je m’abonne!

  • @kobipy

    @kobipy

    Жыл бұрын

    Merci beaucoup 😊 !

  • @YouWantSumMT2
    @YouWantSumMT2 Жыл бұрын

    C'est grave maîtrisé, et très bien vulgarisé, merci beaucoup

  • @kobipy

    @kobipy

    Жыл бұрын

    Merci beaucoup pour ton gentil commentaire ! :)

  • @YouWantSumMT2

    @YouWantSumMT2

    Жыл бұрын

    @@kobipy FAUT BUZZER MAINTENANT ALLEZ LET'S GO LES LIKES ET COM PARTOUT

  • @matthieukarrer
    @matthieukarrer10 ай бұрын

    Excellent !

  • @kobipy

    @kobipy

    10 ай бұрын

    Merci beaucoup ! :)

  • @lecokase
    @lecokase Жыл бұрын

    excellent le K a la fin en cycle de fourier ou je sais pas trop quoi. j'ai vu un jour une machine sur ce principe qui signait des chèques au nom du trésorier principal des impôts. c'était fascinant

  • @kobipy

    @kobipy

    Жыл бұрын

    Merci ! Oui, c'est bien ça, en "Fourier epicycles". Je ne trouve pas la traduction en français : cycles de Fourier ou épicycles de Fourier peut-être ? Sympa la machine en question, j'aimerais bien voir ça !

  • @jacquestramu2359
    @jacquestramu2359 Жыл бұрын

    Bravo ! très clair.

  • @kobipy

    @kobipy

    Жыл бұрын

    Merci beaucoup :) !

  • @simsimensoum-soum7627
    @simsimensoum-soum7627 Жыл бұрын

    très bien construite cette vidéo merci tu carry mon grand oral :)

  • @kobipy

    @kobipy

    Жыл бұрын

    Merci ! Et bon courage à toi !! :)

  • @guiguillollome
    @guiguillollome11 ай бұрын

    Bonjour, Merci pour ces vidéos très interessantes. Je m'abonne ! Petite question : Est-il possible de définir un "élément de longueur" sur ce genre de courbe particulièrement étrange ? ... Le problème de l'impossibilité de la dérivation pose des questions...

  • @kobipy

    @kobipy

    11 ай бұрын

    C'est une excellente question à laquelle je ne pourrai pas répondre avec exactitude ! Pour les courbes fractales, il me semble délicat de définir une notion de longueur. Pour certaines fractales, comme la courbe de Von Koch, il est possible de dire que la longueur est infinie par l'intermédiaire d'un raisonnement par l'absurde.

  • @guiguillollome

    @guiguillollome

    11 ай бұрын

    @@kobipy merci pour cette réponse. J’avais entendu parler d’une notion, la « dimension de Hausdorff », qui pourrait peut être convenir pour appréhender une notion de « longueur » sur ce genre d’espace particulier.

  • @kobipy

    @kobipy

    11 ай бұрын

    @@guiguillollome La dimension de Haussdorff définit une notion de dimension pour ces courbes fractales. Par exemple, la courbe de Von Koch est de longueur infinie, et de dimension de Haussdorff ln(4)/ln(3). Si je cite souvent cette courbe, c'est parce qu'elle constitue un cas simple d'étude.

  • @kobipy

    @kobipy

    11 ай бұрын

    Sous réserve que cela vous intéresse, vous pouvez regarder ce short qui éclaircit mon message précédent : kzread.infotbqff9oTcis?feature=share

  • @samyhocine5556
    @samyhocine55567 ай бұрын

    Super vidéo ;) J'ai cru entendre parler d'une vidéo sur les dimensions non entières mais je ne l'ai pas trouvé 😅 qu'en est il ? Merci d'avance :)

  • @kobipy

    @kobipy

    7 ай бұрын

    Merci beaucoup ! :) Je ne l'ai pas encore produite ! C'est sur ma (trop) longue liste de projets ;)

  • @samyhocine5556

    @samyhocine5556

    7 ай бұрын

    Ah merci pour la réponse ;) Tout s'explique 😅 Bon courage ;) En tout cas je l'attendrai (imp)patiemment 😄

  • @vercingetorix1058
    @vercingetorix1058 Жыл бұрын

    Bonjour je ne comprend pas bien la comparaison entre la fonction de Weierstrass et les battements cardiaques etc parce que on trouve une infinité de pics que dans la fonction de Weierstrass non ?

  • @kobipy

    @kobipy

    Жыл бұрын

    Tout à fait ! Les deux font partie de la classe de fonctions où il y a "beaucoup" de pics.

  • @paploox5404
    @paploox54049 ай бұрын

    + 1 sub, merci pour la video

  • @kobipy

    @kobipy

    9 ай бұрын

    Merci :) !

  • @osipyr612
    @osipyr612 Жыл бұрын

    La vidéo est super 👌

  • @kobipy

    @kobipy

    Жыл бұрын

    Merci beaucoup :)

  • @didierbienassis8646
    @didierbienassis864610 ай бұрын

    Est-ce ce genre de fonctions que l'on retrouve sur les graphes en économie...un grand merci pour cette vidéo ... apparemment elles sont continues et non dérivables...mais avec un nombre de pics dénombrables ?

  • @kobipy

    @kobipy

    10 ай бұрын

    En theorie, les graphes en économie se rapprochent le plus d'une courbe monstre. En pratique, le fait qu'il y ait un échantillonnage et une interpolation linéaire entre deux points fait qu'il y a quand même une portion lisse. Si on arrivait à effectuer des mesures précises et de manière continue, alors oui.

  • @didierbienassis8646

    @didierbienassis8646

    10 ай бұрын

    ​@@kobipy un grand merci !!!

  • @regisvoiclair
    @regisvoiclair7 ай бұрын

    Merci ! Je relaie.

  • @kobipy

    @kobipy

    7 ай бұрын

    Merci beaucoup :) !

  • @adityandei
    @adityandei Жыл бұрын

    Incroyable

  • @kobipy

    @kobipy

    Жыл бұрын

    Merci ! 😉

  • @user-pb8yw8cw3s
    @user-pb8yw8cw3s Жыл бұрын

    Amazing !

  • @kobipy

    @kobipy

    Жыл бұрын

    Thanks a lot ! 🙂

  • @farloverex3075
    @farloverex3075 Жыл бұрын

    Je découvre votre chaîne " par récurrence bien-sûr 😊"

  • @kobipy

    @kobipy

    Жыл бұрын

    Merci à vous pour votre commentaire et merci à la récurrence de vous avoir mené ici :) !

  • @bobo32756
    @bobo32756 Жыл бұрын

    Et hop! Je suis le 510ème abonné

  • @kobipy

    @kobipy

    Жыл бұрын

    Merci :) A une unité près, tu aurais été un abonne "premier", 509 étant un nombre premier. PS : 511 n'est pas premier puisque 511 = 7 x 73.

  • @bobo32756

    @bobo32756

    Жыл бұрын

    @@kobipy en tant que dev , je considère être la 509 ème entrée du tableau

  • @kobipy

    @kobipy

    Жыл бұрын

    Validé :) >>> is_prime(tableau.index("Boris")) True

  • @quidam_surprise
    @quidam_surprise Жыл бұрын

    Sympa la chaîne :)

  • @kobipy

    @kobipy

    Жыл бұрын

    Merci beaucoup :) !

  • @uwezimmermann5427
    @uwezimmermann5427 Жыл бұрын

    liked & subscribed!

  • @kobipy

    @kobipy

    Жыл бұрын

    Hi Uwezi, thanks for the comment & your coding ideas/help !

  • @poupepougne
    @poupepougne Жыл бұрын

    propre

  • @kobipy

    @kobipy

    Жыл бұрын

    Merci beaucoup :) !

  • @NRichard
    @NRichard Жыл бұрын

    Courbe de Bolzano ou de Weierstrass, quelle différence ont-elles ?

  • @kobipy

    @kobipy

    Жыл бұрын

    Les deux courbes sont des "monstres mathématiques", au sens où les fonctions associées sont continues partout, nulle part dérivables. Cependant, elles ont une allure différente avec des procédés de construction bien distincts. Voici à quoi ressemble la courbe de Bolzano : eljjdx.canalblog.com/archives/2009/06/28/14224286.html

  • @baptistecamoin7796
    @baptistecamoin7796 Жыл бұрын

    Super intéressant ! (Un 3e élève de prépa). Pourrais tu ameliorer la qualite audio notamment au niveau de ta voix pour la prochaine fois ?

  • @kobipy

    @kobipy

    Жыл бұрын

    Merci beaucoup au troisième taupin ! :) Je vais essayer d'améliorer le son. Pour toi, c'est au niveau du volume, de la tonalité ou de la clarté que ça gêne ? PS : "ou" mathématique évidemment, donc non exclusif !

  • @adrianutge462

    @adrianutge462

    Жыл бұрын

    @@kobipy salut, tu devrais utiliser un plug-in de De-essing sur ta voix! je te laisse faire tes recherches A+

  • @kobipy

    @kobipy

    Жыл бұрын

    @@adrianutge462 Je te remercie du conseil ! Je vais regarder ça de ce pas !

  • @urluberlu4767
    @urluberlu4767 Жыл бұрын

    Bonne année! Abonné 🤩

  • @kobipy

    @kobipy

    Жыл бұрын

    Merci beaucoup :) Je te souhaite une très bonne année en retour !

  • @mixro4169
    @mixro4169 Жыл бұрын

    2:31 c'est pas Godfrey harold hardy?

  • @kobipy

    @kobipy

    Жыл бұрын

    C'est bien lui ! 😉

  • @lecokase
    @lecokase Жыл бұрын

    oh en voilà une bonne chaîne Hop Abonnage

  • @kobipy

    @kobipy

    Жыл бұрын

    Merci beaucoup ! 😉

  • @wardocampbell
    @wardocampbell9 ай бұрын

    +1 abonné

  • @kobipy

    @kobipy

    9 ай бұрын

    Merci !! :)

  • @archeacnos
    @archeacnos9 ай бұрын

    Ce que les maths m'ont appris, c'est bien que les trucs les plus usuels sont TOUJOURS des cas super précis et minoritaires X)

  • @kobipy

    @kobipy

    9 ай бұрын

    Oui tout à fait !! On étudie souvent les cas les plus simples, qui s'avèrent être minoritaires ! Et de ces cas minoritaires, on est capable de faire plein de choses, ce qui est assez incroyable ! ;)

  • @eladnanimohammedamine1271
    @eladnanimohammedamine1271 Жыл бұрын

    Le fait que les mathématiciens de l'époque rejette ces fonctions montre qu'il ne faut surtout pas se fier de manière absolue à l'avis de nos contemporains en sciences, ils peuvent se tromper, la preuve ces fonctions servent aujourd'hui danq certains domaines.

  • @kobipy

    @kobipy

    Жыл бұрын

    Il faut savoir rester critique effectivement ;) !

  • @alexandrestrauss5340
    @alexandrestrauss5340 Жыл бұрын

    Je ne commente jamais mais bravo pour ta vidéo. Un modèle du genre qui doit demander pas mal de travail (Imaginons alors 3Blue1Brown lol) En guise de conseils, essaye d'être peut-être un peu plus dynamique dans ta voix (pas fou mais dynamique) et n'hésite pas à rentrer un peu plus dans le jargon mathématique. C'est pas grave de perdre quelques personnes en route si tu leur donnes l'intuition de la chose avant, au contraire ca les stimulera dans l'envie de comprendre cette matière. Bonne chance pour la suite !

  • @kobipy

    @kobipy

    Жыл бұрын

    Merci beaucoup pour tes conseils ! Je vais essayer de les mettre en pratique dans ma prochaine vidéo ! Pour la voix, je vois de quoi tu parles : je vais essayer d'y mettre un peu plus de "peps". Concernant l'entrée dans le jargon mathématique, je vais essayer d'afficher le vocabulaire ou qqchose comme ça !

  • @AKATOMAY
    @AKATOMAY Жыл бұрын

    Fractale 👌

  • @kobipy

    @kobipy

    Жыл бұрын

    Oui ! :)

  • @marylucchampel
    @marylucchampel9 ай бұрын

    Excellente video mais l'audio est catastrophique. On dirait que vous chuchotez et il y a des problèmes de captation micro aussi. Rien qui ne soit pas améliorable. Bonne continuation à vous.

  • @kobipy

    @kobipy

    9 ай бұрын

    Merci du conseil ! C'est mon axe de progression principal, j'essaie d'améliorer le son à chaque vidéo ! Ce n'est pas encore gagné cependant.

  • @marylucchampel

    @marylucchampel

    9 ай бұрын

    @@kobipy Au niveau du contenu, il aurait été sympa de démontrer (ou de dire comment se fait la démonstration) que cette fonction est non-dérivable partout. Dire qu'il y a des pics partout, c'est pas très satisfaisant, mathématiquement parlant.

  • @kobipy

    @kobipy

    9 ай бұрын

    @@marylucchampel Oui, je vous rejoins sur l'idée de la démonstration qui aurait pu être sympa (bien que technique !) !

  • @marylucchampel

    @marylucchampel

    9 ай бұрын

    @@kobipy Pour que la somme des Un existe, il faut que la limite des Un en l'infini soit nulle hors (ab)^n diverge pour ab>=1. CQFD

  • @kobipy

    @kobipy

    9 ай бұрын

    @@marylucchampel Cependant, cela ne garantit pas la continuité de la somme de la série, et encore moins sa dérivabilité. La démonstration propre est autrement plus technique, si mes souvenirs sont corrects !

  • @evan_2261
    @evan_226110 ай бұрын

    Triple monstre

  • @kobipy

    @kobipy

    10 ай бұрын

    Triple monstre ?

  • @vzbeats_
    @vzbeats_ Жыл бұрын

    la video est geniale comment elle ne peut avoir que 2000 vues ????

  • @kobipy

    @kobipy

    Жыл бұрын

    Ah, c'est très gentil de ta part :) ! Merci ☺

  • @vzbeats_

    @vzbeats_

    Жыл бұрын

    @@kobipy je suis seulement en 2nde jai pas tout compris mais c’etait passionant !!

  • @kobipy

    @kobipy

    Жыл бұрын

    @@vzbeats_ Tu m'as l'air de beaucoup aimer les maths. Le meilleur (mathématiquement parlant) reste à venir pour toi ! 🙂

  • @flamitique7819
    @flamitique7819 Жыл бұрын

    Très intéressan ! Signé un autre élève en prepa 😉

  • @kobipy

    @kobipy

    Жыл бұрын

    Décidément, ces taupins sont partout ! Merci pour ton commentaire ! Au passage, tu es en quelle année, par simple curiosité ?

  • @flamitique7819

    @flamitique7819

    Жыл бұрын

    @@kobipy Je suis en 2eme année, en MP à Ginette 😉

  • @kobipy

    @kobipy

    Жыл бұрын

    @@flamitique7819 Top ! Bon courage pour cette dernière ligne droite jusqu'au concours !

  • @melikabbes3048
    @melikabbes30489 ай бұрын

    courbe monstre!

  • @kobipy

    @kobipy

    9 ай бұрын

    Oui ! Merci pour le commentaire :)

  • @SingeMalicieux
    @SingeMalicieux9 ай бұрын

    D'où vient cette récente mode de nommer les années "dix-huit-cent..." ou "dix-neuf-cent..." ?!? Ce n'est pas ainsi qu'on parle correctement français. Mais je vois déjà nombre de personnes nées en "vingt-cent-et-quelques" venir me faire la morale 😂

  • @kobipy

    @kobipy

    9 ай бұрын

    Je n'ai pas l'impression que ce soit une mode "récente", l'ayant toujours dit ainsi depuis un certain nombre d'années ;) Quant aux origines d'une telle appellation, je ne saurai vous renseigner ;)

  • @nohamharzonis3346
    @nohamharzonis33469 ай бұрын

    Conjecture de Fermat :: Élémentaire. On se demande où est le problème. Au lieu de chercher à résoudre Fermat par l'égalité, on peut démontrer par l'algorithmie qu'il n'a pas de solution. A puissance p + Bp = Cp Devient (C-1)p + (c-2)p C-1 et Ç-2 sont les plus grandes valeurs possibles pour obtenir C Si p

  • @kobipy

    @kobipy

    9 ай бұрын

    Ahah :) ! Il n'y a plus qu'à publier un article sur arxiv !

  • @ing.pacolh7458
    @ing.pacolh745810 ай бұрын

    En fait elle est dérivable parce que si tu zoom tu t'aperçois que la discontinuité ça n'existe pas.

  • @kobipy

    @kobipy

    10 ай бұрын

    Avec ou sans zoom, il n'y a pas de discontinuités, ce qui reflète la continuité de la fonction (et non sa dérivabilité). Il y a des oscillations dans les oscillations, ce qui reflète sa non-dérivabilité : il n'y a pas un seul point en lequel la fonction est dérivable.

  • @lepetitcanard4465
    @lepetitcanard44655 ай бұрын

    C'est vertigineux

  • @kobipy

    @kobipy

    5 ай бұрын

    Merci :) !

  • @XDestructor6318
    @XDestructor6318 Жыл бұрын

    Évite de parle trop prêt du micro on peut sentir que ta bouche a trop de salive et ce même sans écouteurs. Un peu dérangeant

  • @kobipy

    @kobipy

    Жыл бұрын

    Merci du conseil ! ;)

  • @ing.pacolh7458

    @ing.pacolh7458

    10 ай бұрын

    Tu aurais dû aller te faire cuire un œuf maintenant c'est trop tard tu as dit ta ... Heureusement il y a le droit à l'oubli pour te sauver

  • @yanism6539
    @yanism6539 Жыл бұрын

    propre

  • @kobipy

    @kobipy

    Жыл бұрын

    Je t'en remercie :) !