Назовите пожалуйста пример множества промежуточной мощности межде алеф нуль и континуум, при условти отвержения континуум-гипотезы

@smth_about_math

19 күн бұрын

При обсуждении континуум-гипотезы я упоминал о том, что при добавлении её в аксиоматическую систему, система остаётся не противоречивой, но в то же время, если мы в аксиоматическую систему добавим обратное утверждение, то система всё ещё будет без противоречий. Как следствие мы говорим о том, что континуум-гипотезу нельзя было ни доказать, ни опровергнуть. При этом ни в одном из случаев не приводилось множество, мощность которого больше мощности счётного множества и меньше континуального. Иными словами без добавления дополнительных аксиом мы не можем доказать корректность или неправильность континуум-гипотезы. На данный момент, множество, о котором вы написали не было найдено, причём большинство математиков склоняются к тому, что континуум-гипотеза верна и такого множества не существует

@olegolegov3680

8 күн бұрын

Что скажете о множестве всех подмножеств N?Согласно теореме Кантора мощность А^N больше чем мощность N. Покажите что мощность A равна мощности континуума. А может таки меньше?

@smth_about_math

8 күн бұрын

Мощность множества всех подмножеств натуральных чисел (можно записать 2^N) действительно является множеством мощности континуум. Показать это можно следующим образом. Множество всех подмножеств натуральных чисел эквивалентно множеству бесконечных векторов из нулей и единиц (то есть для элемента X - подмножества N в бесконечном векторе будут стоять 1 на позициях с номерами, которые входят в X, а на всех остальных местах - нули). Кроме того, легко понять, что интервал (0, 1) ~ R, для этого, например используем функцию y=ctg(x/pi). А теперь осталось рассмотреть интервал (0, 1) в двоичной системе счисления, это числа вида 0,… (где вместо точек бесконечные последовательности нулей и единиц, в случае если число конечно, просто дописываем бесконечное число нулей). Также здесь, как и в десятичной системе счисления есть числа записывающиеся двумя способами (в десятичной системе пример: 0,(9) и 1), для таких чисел выберем форму записи из нулей. А теперь осталось увидеть, что можно биективно отобразить множество бесконечных векторов из нулей и единиц на двоичный интервал (0, 1). Действительно, каждому вектору просто будем ставить в соответствие такое число, у которого часть после запятой совпадает с этим вектором - понятно, что разные вектора переходят в разные числа и при этом в каждое число отображается вектор - следовательно, это взаимно однозначное соответствие. Итак, получили 2^N ~ бесконечные вектора из 0 и 1 ~ (0,1) ~ R

Хм. Континуум гипотеза состоит в том равномощны ли алеф один и континуум. Понятно что мы можем построить бесконечную систему бесконечных множеств взяв первым счетное и просто беря следующим множество подмножеств предыдущего. То есть разных бесконечностей много

@MrKCTT

Күн бұрын

Нет, тут вопрос: между алефноль и алеф1-континуум есть что-то 🤔

Какие практические задачи решаются с помощью теории множеств?

@smth_about_math

19 күн бұрын

Сведения из теории множеств используются во многих других науках и отраслях. Теория множеств в первую очередь позволяет получить некоторый математический аппарат для работы

@Krylowandrey

18 күн бұрын

@@smth_about_math Например?

@smth_about_math

14 күн бұрын

Теория множеств используется в теории управления, теории информации, функциональном анализе, компьютерных науках и так далее

Ус-ся. Ну понятно, что "ничего" нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Потому как не понятно что доказывать или опровергать. Вот уж действительно шекспировский вопрос: Есть ничего? Или нет ничего? Вот в чём вопрос! (далее по тексту)

Фигня какая-то. Что значит континнум? Просто несчётное множество? Я понял, что именно так! И получается что 1-ая гипотеза звучит так: Существует только 2 типа бесконечных множеств: счётное и несчётное. Ну и? А какое ещё м.б. множество? Счётнонесчётное? Или несчётносчётное? Ну так прежде чем говорить об отсутствиии такого счётнонесчётного (и наоборот) множества сначала дайте определение этого множества! А то получается: "Ничего" не существует! Надо думать, что ничего не существует. Или в этом и заключается 1-ая проблема Гильберта: Доказать что "Ничего" не может содержать "Что-то"? Так?

@epsilon.sw_

5 ай бұрын

Мощность континуум это мощность множества действительных чисел.