Как доказать, что разность квадратов двух простых чисел, превышающих 3, делится на 24?
Доказать, что если p и q - простые числа, большие трёх, то p^2−q^2 делится на 24.
Решать задачу будем в 2 этапа.
На первом этапе докажем, что одно из чисел p+q и p−q делится на 4, а другое - на 2, откуда следует, что их произведение, т. е. число p^2−q^2, делится на 8. При доказательстве будем рассматривать 2 случая: p и q сравнимы по модулю 4; p и q не сравнимы по модулю 4.
На втором этапе докажем, что одно из чисел p+q и p−q делится на 3, откуда следует, что их произведение, т. е. число p^2−q^2 также делится на 3. При доказательстве будем рассматривать 2 случая: p и q сравнимы по модулю 3; p и q не сравнимы по модулю 3.
Поскольку числа 3 и 8 являются взаимно простыми, то из делимости некоторого числа на каждое из них следует делимость на их произведение, т. е. на число 24.
Пікірлер: 11
Прикольно! Вроде на поверхности лежит, но никогда о таком не задумывался. А действительно, разность квадратов простых делится на 3, т.к. эти простые либо оба вида 3n+1 или 3n+2 и тогда их разность делится на 3, либо они 3n+1 и 3m+2, но тогда их сумма делится на 3. В любом случае, разность квадратов делится на 3. А с другой стороны, эти простые либо оба 4n+1 или 4n+3, но тогда их разность делится на 4, а сумма - на 2, либо они 4n+1 и 4m+3, но тогда их сумма делится на 4, а разность - на 2. В любом случае, разность квадратов делится на 8. Итого, она делится на 3*8=24. Думаю, что это краткое содержание ролика. Шас заценим.
Второй пункт можно проще: все квадраты чисел не делящихся на три, имеют остаток по модулю 3 == 1. Ну а 1 - 1 == 0.
Случаи одинаковые: (2n+1)^2 - (2m+1)^2 = 4n(n+1) - 4m(m+1) = 0 mod 8
Наверное, удобнее представить p и q в виде 3n±1 и 3k±1 соответственно. Тогда p^2-q^2=(9n^2±6n+1)-(9k^2±6k+1) = 9n^2±6n-(9k^2±6k), очевидно делится на 3. Аналогично, представив p и q в виде 4n±1 и 4k±1: p^2-q^2=(16n^2±8n+1)-(16k^2±8k+1) = 16n^2±8n-(16k^2±8k), очевидно делится на 8.
@FrolovSergei
3 ай бұрын
Да, и так тоже можно решать, конечно же!
можно решить в лоб конечно (но долго) если число p простое и больше 3, то возможны только числа при делении на 24 дающие остатки 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, а остаток от квадрата всех этих числе по mod 24 будет 1 ну а дальше 1 - 1 = 0 mod 24 - кратность доказана. Конечно 8 чисел возводить в квадрат и вычислять их остатки от деления на 24 - не очень оптимальная задача (хотя опять таки можно уменьшить кол-во числе, поскольку {1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23} = {1, 5, 7, 11, -11, -7, -5, -1} mod 24, по идее только для 11 нужно сделать вычисления, остальное - в уме
@FrolovSergei
3 ай бұрын
Ну, т. е., по сути, достаточно доказать, что p^2-1⋮24, где p - простое, большее трёх. Опять же, раскладываем разность квадратов на множители: p^2-1=(p+1)(p-1). Имеем: из трёх чисел, идущих подряд, ровно одно делится на 3, но p на 3 не делится, поэтому на 3 делится p-1 или p+1. Далее: оба эти числа чётные, причём они идут подряд, а значит, одно из них делится на 4. Вот и получается, что p^2-1 делится на 3 и на 8, а значит, и на 24. Можно и так доказать.
Изи
Не понимаю. Если p=5, а q=4, разве условие выполняется? 25 - 16 = 9 .. о какой делимости на 24 идет речь? Или смысл такой математики в создании доказательства, пусть оно и не работает?
@FrolovSergei
3 ай бұрын
По условию p и q - простые числа, превышающие 3. Число q = 4 из Вашего "контрпримера" простым не является.
@Massaraksh7
3 ай бұрын
4 не простое число