補充一下，影片中說道泰勒展開有其特定的收斂範圍，在其範圍外的級數展開需要使用更通用的羅倫數列 (Laurent series)來展開，簡單來說就是保持正次冪的泰勒級數外也必須把負次冪納入考量。 （該收斂範圍也能在複數平面簡單判定，比方說影片中的例子 8:20 分母帶 (1-x) 在x=1時發散，以x=0作泰勒展開的有效範圍就是以 z=0 (展開點）為圓心到 z=1 (發散點）為半徑畫圓, 圓內/圓外就是泰勒級數收斂/發散的分水嶺）

@TheAacharge

11 ай бұрын

大学高数课会强调各种运算（包括 泰勒展开）的前提条件。 很多 (没上大学或逃高数课的) 自媒体都忽略前提条件以博取眼球。

@user-zm4xp7tq3f

11 ай бұрын

@@TheAacharge 如果你是指這位老師的話，在這部影片中可能忽略了條件沒錯，但這跟「博取眼球」沒有半點關係啊...... 而且老師之前也有出過相關的影片並詳細講解過。

@benjy0218

11 ай бұрын

@@user-zm4xp7tq3f 應該不是說李永樂老師啦，李老師有說使用範圍啊，還舉了個沒按照範圍使用的例子，說的應該是其他愛大驚小怪的營銷號而已

@KDYinYouTube

10 ай бұрын

​@@user-zm4xp7tq3f眼睛是很好的工具，請善用它。

@johnnyzhang5355

5 ай бұрын

一个函数在一点的邻域内各阶导数存在，在这点展开后的余项极限为0，函数不就与展开级数互为等价无穷小，可以等价替换吗？ 你把级数的和函数存在的收敛性，有界性的问题与泰勒级数能够展开的意义搞混了。

畢業15年了，終於弄懂泰勒展開式了。謝謝李老師。

此时，一个拥有初中毕业证的大叔正看得津津有味！

@YT-cf9ko

11 ай бұрын

煉金術（化學）、占星術（物理）、召神術（數學）

其實泰勒公式在我們通信工程裡面很有用，因為在小角度可以直接用X直接代替Sin，1代替COS，其中最簡單的一個例子就是FM調頻電路，信息和調頻載波合在一起就是A COS(調頻頻率 + 信息函數),然後用和差倍角公式展開後就變成Sin 載波 Sin 信息 + COS 載波 COS 信息，其中Sin信息因為信息相對載波很小所以Sin信息等於信息自己本身，兩個Sin的部分就變成一個AM，而兩個COS本身因為COS信息其中的信息很小(相對於載波)，所以COS信息這一項等於一，也就是兩分COS部分只剩COS載波，而COS載波等於Sin載波相移90度，於是乎整個FM調頻就變成了一個A M調幅信號加上一個90度相移的載波

@techauto1886

11 ай бұрын

为甚么每一个字我都认识但是就不知道你在说什么

@ParadiseQ

11 ай бұрын

展开成无穷多项之和是数学中常用的手法 傅立叶变换其实也是这个原理

@bingshenglim8200

11 ай бұрын

我学过这科可是没学到你那么厉害

@user-qu5zm3yn3f

11 ай бұрын

喔，幹！ 你理解得太透徹了吧！ 是當初課堂上老師解釋給你聽的嗎？

把馬克勞林級數跟泰勒展開講的如此淺顯易懂實在太厲害了！

@user-xn5ob9tn8f

3 ай бұрын

只是4:13處的cosX冪級數展開2！的部分有誤

第三位看, 支持. 這樣好具體來理解泰勒公式

李老师这期的视频演示风格好像3blue1brown 两位老师都是讲的特别好的😭太爱了

*谢谢李老师。💓*

讲得真好！

雖然看不懂老師的視頻，但是就愛看，雖然老師有訂閱，但流量比較低，但是我還是支持老師的，畢竟內容已經超越大多數人可以理解的範疇了 從80萬訂閱開始看的人優越感路過..

@LiangLao2

11 ай бұрын

教育类视频，尤其是科普高等数学的，普遍有一个特点，就是订阅者不少，但是点击量很低。

大学高数课会强调各种运算（包括 泰勒展开）的前提条件。 很多 (没上大学或逃高数课的) 自媒体都忽略前提条件以博取眼球。

支持❤

並不是所有函數(包括C^n)都能用冪級數逼近 如tanhx 要注意其收斂半徑 在收斂半徑內 是可以一致收斂到該函數的 但包不包括兩端 要看狀況 另 微分方程級數解 得出來的解 若只在小範圍內收斂 是可以用解析延拓 拓展到更大的定義域 不過 只有少數的函數能這樣做

老师请您在出一期视频，讲一下dx乘dy等于rdr滴舌搨

本科的时候学到泰勒级数就觉得特别优美 特别巧妙

不知道李永樂老師可否用一期或幾期視頻介紹一下劉威爾微分代數定理？也就是某些初等函數的原函數（積分）無法用我們熟悉的初等函數表達，只能用級數表達。這內容是否會太超過科普的程度呢？畢竟許多初學者都會問到像是常態分佈函數的「不定積分」是什麼之類的問題，卻不知道這類東西只能用級數表達。以及還有不少有用的函數也只能用級數表達或者給個特殊代稱，而不能化作有限次的多項式或三角、指對之類的和差積商或合成。

@halrison

11 ай бұрын

你能證明連續型常態分配曲線中，距離平均數一個標準差的地方恰好是該函數的反曲點嗎

@semiprimering1510

11 ай бұрын

@@halrison f(x) = k ∫(μ, x) exp - ( t - μ)^2/2σ^2 dt f’’ 就能看出了吧？

李永乐老师，想听你讲讲金融相关的杠杆原理

想問一下可不可以解釋拉格朗日餘項呢？

泰勒公式的证明，很多普通本科数学教授都不讲，期末考试不考，考研名师也不教由来，就是死记硬背背了忘，厉害了，视频质量是真的高，弥补了当年的知识漏点❤

This is Maclaurin series, which is a Taylor series centered at 0.

實驗數學需要大量的筆和紙，不斷的寫寫畫畫，最後得到簡化版公式，沒有異於常人的耐心和經濟壓力，不會有成就

@shibatajohn

5 ай бұрын

伟大的数学家已经在几百年前已经为我们铺好了路

精彩！

李老師可以講講超導題嗎！最近看到報導說南韓研發了常溫常壓超導體 LK-99 想瞭解更多🙏～

@0229294150

11 ай бұрын

可以先看啾啾鞋

有时候数学配合动画，再加上特别的的解释！真的更容易令人明白！

有動畫易明白了很多 開始接近3blown1blue

李老师好。。。请李老师给我们科普一下LK99。或者干脆给我们制作好吗。

李老師，可以聊聊LK-99嗎❤

有没有英文翻译版呢？谢谢

等到第二集了，來看一堆東東 😂

其實負12分之一確實是所有自然數之和的結果（之一）因為級數可以用不同的方式來計算

黑板呢？搁哪去了？

其实真不太懂，就是爱看😂

章节内容： 00:00 火柴人数学动画 01:40 sin(x)泰勒展开 04:06 cos(x)泰勒展开 04:21 e^x泰勒展开 04:55 泰勒展开式 09:12 火柴人大战数学

老師的製作成本是不是增加了不少？開始做動畫了

@quandulei5843

11 ай бұрын

😂

@k.1472

11 ай бұрын

財富自由了

李老师怎么看最新的消息超导体LK-99

@0229294150

11 ай бұрын

可以先看啾啾鞋

太棒了，李老师从泰勒展开导出了全体自然数之和是 -1/12 😂

泰勒公式是高等微積分裡前三重要的定理

那一天有小朋友問我，超導體是不是真的成了？

李老师请您详细讲一下什么叫狭义相对论和广义相对论？

@tomywusaman

11 ай бұрын

講過了, 去找找以前的視頻吧

@YT-cf9ko

11 ай бұрын

當佛祖、耶和華、真主阿拉，跑去找你時，代表已經了解悟道

@YT-cf9ko

11 ай бұрын

天機不可洩露

剛看完超導體的新聞，馬上就來敲碗李永樂老師出這則的科普知識，到底韓國是不是真的做出來了呢？

@0229294150

11 ай бұрын

可以先看啾啾鞋

室溫超導體LK99可以出一期嗎？

👍

9:57 n=2, 4, 6都没有击中目标有什么特定的含义吗？

@4:17cosx的泰勒展開不是這樣吧?

我還是只看的懂火柴人vs麥塊 老師解釋大概理解，但是又不理解了

讲讲韩国的室温超导啊

这世界可以没有马斯克这样的天才，不能没有李永乐这样的老师！

就六個字好看

立留言为证，李永乐老师下一个视频 是关于 常温超导的

👏🍀💓

4:07 cos泰勒展开错了😂

這集比較難睡.

这种画图软件叫什么名字？

頭香

接下来讲讲傅里叶

7:48講錯嗎

李永乐老师，求求您讲一集飞蚊症吧，被折磨的快死了。而且对于这个病，整个科学领域没有什么求证的原理和有效的措施，您有如此强大的知识储备，汇集和搬运能力。求求您讲一集飞蚊症吧，救救孩子！救救孩子吧！

@lindisforet7045

11 ай бұрын

严重的飞蚊症应该去医院而不是求助于教师

@yesfast1895

11 ай бұрын

@@lindisforet7045 医生根本不管，因为他治不了。

4:18 cos泰勒展開為什麼長的跟前面列出來的不一樣

@Wade_Chen

11 ай бұрын

一樣吧? sinx的展開方式換成cosx ，老師沒有寫推導過程而已

@user-ey9ub7ov6v

11 ай бұрын

​@@Wade_Chen4:07 处错了

@user-ey9ub7ov6v

11 ай бұрын

4:07 错了

@Wade_Chen

11 ай бұрын

@@user-ey9ub7ov6v 你是對的 分母寫錯了

请继续延展到黎曼猜想

來了

以西式经济学推导紅楼梦,即茅台的价❤❤❤

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@jannat3879

11 ай бұрын

I don't trade, I invest with a professional assigned by a crypto company that trades for us and returns profits on weekly basis for me and you can invest your capital and get weekly Returns of investment (ROI) without any extra fees attached.

@jannat3879

11 ай бұрын

专业人士是Mrs Belicia Naufeld🥇✅

f(x),x=0時叫馬克勞靈級數

泰勒展开和傅里叶展开有什么区别？

@KeevnWang

11 ай бұрын

一个是用多项式逼近，一个是用三角函数逼近

@ParadiseQ

11 ай бұрын

泰勒是用多项式 但多项式本身没有其他的物理属性。用三角函数逼近的话 三角函数本身带有周期 这样可以用无限不同周期的波形来拟合任意波形 物理意义更大一些。信号工程里傅立叶级数应用更多一些。

@YT-cf9ko

11 ай бұрын

@@ParadiseQ 就算是學校或補習班老師，他們也是領薪水過日子，沒空也沒心情跟學生討論泰勒展開跟傅里葉展開有啥分別，圖書館、書店、網路，資料一大堆，有興趣自己找。

@ParadiseQ

11 ай бұрын

@@YT-cf9ko 那我只能说 你没遇到好老师。

@YT-cf9ko

11 ай бұрын

@@ParadiseQ 所謂‘好老師‘的定義是？我遇到很多好老師啊！，您誤解我的意思了，我不清楚您的‘好老師‘是什麼類型，我也不知道您是誰，其實您自己就是‘好老師‘啊。

牛顿探根公式

听到一头雾水，这数学公式是什么行业在用的？

@chunliangzhang2506

11 ай бұрын

太多啦！ 只拿我接触的领域讲，宏观经济学，金融学，金融工程，经济统计，不懂泰勒展开，会被同行笑话的。。。

@ParadiseQ

11 ай бұрын

无穷多项简单的方程可以拟合比较复杂的公式 这是工程里常用的手段

@rileech4160

11 ай бұрын

以前听老师用马来文讲解一个都没听懂，现在听中文讲解也是一样没听懂是拿来干嘛的😅

全体自然数和等于-1/12并不是什么荒谬结论啊，有很多应用都用到这个结论！

没有把泰勒展开和收敛范围的本质讲清楚