Ich hab zwar Abi vor vielen Jahren gemacht, aber schade, dass ich erst ganz schön alt werden musste, um zu erkennen, dass Mathe richtig Spaß machen kann. Verfolge Ihre Videos schon einige Zeit. Vielen Dank für diese Erkenntnis.

@pharithmetik

3 ай бұрын

Gern geschehen - und danke für dein Feedback :)

@MrTiti

3 ай бұрын

Weil die prinzipien und soclhe Aufgaben so rutnergerattert wurden, weil 1) davon ausgegangen wurde, dass man es in der hohen Geschwindigkeit versteht 2) einfach aufgrund von Disziplin und LErnbereitschaft jeder sich das hat (leider oft: hätte) klarmachen müssen und dann am Ende genug Menschen da sind, die Verantwortung übernehmen können. Es ist ja vielen MEsnchen der Gesellschaft, insb. im Hinblick auf die jungen Bewegungen der Weltretter, nicht klar, dass man per Mathematik und Rationalisierung viel besser bescheidwissen kann.

@tiwelus

3 ай бұрын

@@MrTiti ne, ich glaub Mädels waren damals einfach interessanter 😉

@MrTiti

2 ай бұрын

@@tiwelus ok, dann leigt der Grund aber nicht in den BEdingungen oder am Lehrer, sondern in der eigenen Verantwortung das Interesse zu lenken. Dass ich hier bei YOutube schreibe zeigt, welchem Prozess alles unterliegt, bzw man dies so geschehen lässt. ;)

Ausgezeichnet erklärt! Ich finde es toll. wie Sie die Schüler Schritt für Schritt zur Lösung führen. Man sieht, dass Sie mit Herz und Seele Lehrer sind. Chapeau!

@pharithmetik

3 ай бұрын

Danke! Oh ja, das bin ich! :)

@clemensvorbauer1183

3 ай бұрын

die zuhörer sind keine schüler sondern (lehramts-)studenten

@pharithmetik

3 ай бұрын

@@clemensvorbauer1183 Ja, aber ich bin nicht so kleinlich bei Kommentaren hier, Studis sind ja irgendwie auch Schüler*innen und ich bin ein Lehrer :)

@rwbogner

3 ай бұрын

​@clemensvorbauer1183 Danke, das wusste ich nicht. Umso wichtiger sind Pädagogik und Didaktik, sowie ein Professor, der auf so vorbildliche Art und Weise vermittelt, worauf es beim Lehrerberuf ankommt.

@pharithmetik

3 ай бұрын

@@rwbogner Definitiv!

Vielen Dank für das Video und die Vorstellung des Paradoxons, auch wenn ich es schon kannte. Mein Abi liegt schon viele Jahre zurück und ich habe diese Rechnung schon dutzende Male gesehen und auch selbst durchgerechnet, aber das Ergebnis verblüfft mich immer wieder. Man schätzt das intuitiv ganz anders ein. Würde man ein paar Leute auf der Straße befragen, dann würde wohl kaum einer, der diese Rechnung nicht kennt, auf eine fifty-fifty-Chance tippen. Aber vielleicht ist diese Klasse ja so super, daß sie alle das Ergebnis bereits kannten. Nochmals vielen Dank von einem ehemaligen Matheabiturienten, der dann aber einen ganz anderen Berufsweg eingeschlagen hat und sich trotzdem immer wieder an solchen Aufgaben erfreut, für die mathematischen Einblicke und Erklärungen

danke für aktiven Videos :D

@pharithmetik

3 ай бұрын

Gerne :)

Wie geil ist denn das T-shirt

@pharithmetik

2 ай бұрын

Ja, find ich auch :)

Wahnsinn, Ich war mit meiner Frau letzte Woche auf der Karibikkreuzfahrt mit dem 2. grössten Kreuzfahrtschiff mit über 6200 Passagieren und gerade da haben wir uns die Frage gestellt, jeden Tag müssen mindestens 20 Menschen Geburtstag haben. Und nun wird mir dein Video vorgeschlagen. Dafür bekommst du ein Abo. Cool

@pharithmetik

3 ай бұрын

Danke dir :) ... (muss ich kurz loswerden: Kreuzfahrten sind aus Nachhaltigkeitsgründen nicht sooo cool. Aber man kann sich ja z.B. auch solche Fragen im Fußballstadion fragen oder so.)

@hol.GER_sui

3 ай бұрын

@@pharithmetik gebe ich dir absolut recht, nicht nur ökologisch aber auch ökonomische weil die Gäste von Insel zu Insel geschippert werden und dort noch nicht mal die Touristikbranche unterstützen. War auch ein once in a lifetime ding. Mach weiter mit der guten Arbeit.

@guri311

3 ай бұрын

"mindestens 20 Personen" stimmt so nicht. Das trifft lediglich auf das arithmetrische Mittel aller Tage zu. Im Einzelnen kann man sich - für jede beliebige Zahl an Menschen - IMMER eine Konstellation denken, in der an mindestens einem Tag weniger als 20 Menschen Geburtstag haben. Es könnte sich ja zum Beispiel um eine Kreuzfahrt handeln, die nur für Geburtstagskinder organisiert wurde. Dann hätten sogar an 364 Tagen des Jahres kein einziger Passagier seinen Ehrentag. Egal, wieviele Geburtstagskinder an Bord wären. 😎

@pharithmetik

3 ай бұрын

@@hol.GER_sui Alles klar, mach ich! 😊

@gofred9336

2 ай бұрын

@@pharithmetik Fußballstadien sind auch nicht so toll. Besser auf ein Formel 1 Rennen gehen. Gibts nur 24 Stück im Jahr und da kommen noch mehr Menschen, als ins Stadion.

Cooler Prof!! Meine Hochachtung, super erklärt!

Sehr sympathischer Lehrer. Wünschenswert für jede allgemeinbildende Ausbildung. Alleine die Pause und "ich weiß das du noch nicht überzeugt bist" -> 2. Versuch...toll.

@pharithmetik

21 күн бұрын

🙏❤

Made my day...oder evening! Applaus 🎉

Richtig gut erklärt!

@pharithmetik

3 ай бұрын

Danke 🙏

Toll!

@pharithmetik

2 ай бұрын

Danke! 🙏

Gut und verständlich hergeleitet. Leider waren die Meldungen aus der Hörerschaft sehr leise. Wie auch immer: Sehr cooles Video. Danke

@pharithmetik

3 ай бұрын

Die Studis sind absichtlich nicht zu hören, daher wiederhole ich alles, was sie sagen.

@Adler983

2 ай бұрын

@@pharithmetik Beinahe. Das Auditorium in die Tonspur zu bekommen ist aber auch nur mit Mikro und Geduld möglich. Für die meiste Zeit wären Mikros im Publikum vernichtend für die Aufnahme an sich. Bei Minute 16 wird nicht wiederholt, nur geantwortet, aber man kann sich die Frage ja zusammenreimen aus der Situation plus Antwort.

@pharithmetik

2 ай бұрын

​@@Adler983 Ja, manchmal vergesse ich zu wiederholen, aber ich vermute, in der Regel erschließt sich alles aus dem Kontext.

In meiner Stadt Zweibrücken (Rheinland-Pfalz) leben im Umkreis von 150 m drei Menschen, die am 20.August Geburtstag haben. Kann man das auch berechnen?.

Auf das wirklich Paradoxe ist er eigentlich gar nicht eingegangen. Denn wenn wir statt 23 Personen die Menge nur geringfügig auf 30 Personen erhöhen, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit bereits 70% und - jetzt wird es richtig "paradox", bei 40 Personen schon 90%.

@pharithmetik

2 ай бұрын

Danke für die Hinweise!

Der Klassiker schlechthin! Kann mich noch daran erinnern , wie unser Mathelehrer um Eis für alle gewettet hatte. Er hatte aber gewonnen, wir hatten tatsächlich ein Paar, oder mehr. Kann mich nicht mehr ganz genau erinnern. Dürfte 50 Jahre her sein. Aber ich weiss noch, dass wir alle überascht waren. Also, darauf achten das die Schüler überascht sind, denn die, kennen das noch nicht 😅

@chrimu

3 ай бұрын

Man müsst ihr naiv gewesen sein, wette niemals mit einem Mathelehrer 😅

@pharithmetik

3 ай бұрын

@@chrimu Oder man setzt dann immer auf die Möglichkeit, mit der man überhaupt nicht rechnet :)

Danke wieder ein klasse Video! Wir hatten das auch in der Schule und ich war in der Erinnerung auf einer niedrigeren Wahrscheinlichkeit. Und wieder das 1 daneben wie bei den Arrays ;-)

Bei uns wurde vorher gefragt was wir schätzen.. und da die meisten eine geringe einstellige Prozentzahl in den Raum werfen, sind die dann auch mehr verblüfft später.. Ich glaube instinktiv kann man garnicht auf 50% kommen, außer man hat vorher schonmal davon gehört.

@pharithmetik

3 ай бұрын

Ja, das stimmt. Viele rechnen nicht damit :)

@Anson_AKB

2 ай бұрын

Ich wäre wohl gleich auf ">=50%" gekommen, weil wir zwar mehr als 23 in der Grundschule waren, aber ich selber so ein "Zwilling" war und wir außerdem noch "echte Zwillinge" in der Klasse hatten, die also auch am gleichen Tag miteinander Geburtstag hatten. Und in einer anderen Schule hatten dann vier Leute an drei Tagen hintereinander Geburtstag (also auch ein "Zwillingspaar"). Jahre später habe ich dann von weiteren acht Leuten gehört, daß sie auch an meinem Geburtstag Geburtstag haben. wegen der größeren Anzahl war es zwar nicht mehr so überraschend, aber daß es dann gleich acht waren doch ... Was wohl die meisten Leute verwirrt ist wohl der Unterschied zwischen _"irgendwer_ an _irgendeinem_ Tag gemeinsam" und "zwei *bestimmte"* oder "an einem *bestimmten* Tag".

@pharithmetik

2 ай бұрын

@@Anson_AKB insbesondere dein letzter Satz ist total super!

An meinem Wohnort (Rheinland-Pfalz) gibt es im Umkreis von ca. 150m 3 Personen, die am gleichen Tag Geburtstag haben. Kann man dies auch berechnen?

@DjTongewalt

3 ай бұрын

Natürlich, wenn du genau weisst, wieviele Personen in dem Umkreis von 150m wohnen.

Mathe kann so spannend sein; bei so einem trockenen Thema wie z.B. Statistik! Vielen Dank

@59erUlli

3 ай бұрын

Wie könnte man eigentlich statistisch folgen Sachverhalt berechnen: In dem Jahr der Erhebung gab es im Februar eine "2-wöchige Schneephase". In der Mitte dieser Phase gab es zudem noch einen Stromausfall von 5 Tagen. Wie hoch ist die "Geburtstagswahrscheinlichkeit" lm folgenden November?😅

@pharithmetik

3 ай бұрын

Danke 🙏

@pharithmetik

3 ай бұрын

@@59erUlli Ja, wer hat die Lösung? 🤣

Vulkaniergruss an die Kamera. 🖖

@pharithmetik

3 ай бұрын

Gruß zurück! 😂

In meiner Grundschulklasse war es sogar mehr als ein mal. Die Schaumkussschlachten an den Tagen waren legendär :-)

Wäre noch super gewesen die Geburtstage des Kurses zu checken :)

@pharithmetik

3 ай бұрын

Bei 150 Leuten eine Herausforderung :))

Gute Einschlafhilfe der Typ.

@pharithmetik

2 ай бұрын

Ach Mensch, deswegen schlafen immer alle Studis im Hörsaal! 😛

Mein Schwager, sein Bruder (kein Zwilling!) und deren Mutter haben alle am selben Tag Geburtstag

@pharithmetik

21 күн бұрын

Verrückt!

Als ich zum ersten Mal von dem Geburtstagsparadoxon erfahren hatte, war ich sehr verblüfft und habe am Abend direkt meiner Frau diese Frage gestellt. Sie hatte ohne groß nachzudenken gesagt, die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Personen in der Klasse am gleichen Tag Geburtstag haben, liegt bei 50%. Da war ich noch mehr erstaunt, vor allem als ich sie fragte, wie sie denn darauf kommt. Ihre mathematische Herleitung war ganz einfach: entweder es haben mehr als zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag oder eben nicht. Also muss die Wahrscheinlichkeit 50% betragen 😊

@pharithmetik

3 ай бұрын

Najaaaaaaaaa.... 😊

@dannylamann3558

3 ай бұрын

Oh mein Gott.. 😅🤦‍♂️

@wotanscry1594

2 ай бұрын

aus dem gleichen Grund klingle ich immer an meiner eigenen Wohnung wenn ich heimkomme. Weil es ja sein könnte das ich schon da bin und dann könnte ich mich selber reinlassen. Da ist die Chance ja auch 50/50 jedes mal. 😝😝😝

@pharithmetik

2 ай бұрын

@@wotanscry1594 🤣

@dannylamann3558

2 ай бұрын

Ein idealer Würfel fällt mit 50% Wahrscheinlichkeit auf eine sechs, denn entweder er fällt auf eine sechs, oder eben nicht. 😅

Ich hab das Paradoxon das erste Mal in Verbindung mit einem Fussballspiel gehört. Denn hier rennen genau 23 Personen auf dem Spielfeld herum. Da wirkt die 23 nicht so "wahllos".... Das bei einem Fussballspiel zwei Personen auf dem Platz zusammen Geburtstag haben ist wahrscheinlicher als das alle an unterschiedlichen Tagen Geburtstag haben.

@pharithmetik

3 ай бұрын

Cool, endlich macht die 23 Sinn! 😊

@denktnachdenktselbst1032

2 ай бұрын

Bei RB Leipzig sind es sogar Torwart Nr.1 und Nr.2, jedoch beim Kader von 24

Empathie und Begeisterung sind ganz stark auf der Seite....in welche die Kamera blickt...

Ein andere Möglichkeit es zu erklären ist über die Wahrscheinlichkeit direkt. Wenn man sich vorstellt man will eine Klasse mit 23 Schülern zusammenstellen in 23 Schritten, in denen man jedes Mal einen Schüler aus einer unendlich großen Menge Schüler auswählt, wobei alle Geburtstage stets gleich wahrscheinlich sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es gelingt, eine Klasse zufällig zusammenzustellen, sodaß alle an verschiedenen Tagen Geburtstag haben. Beim ersten Schüler kann nichts schief gehen, im zweiten Schritt ist die Wahrscheinlichkeit, dass es klappt 364/365 im nächsten 363/365 usw., ist vielleicht als alternative Erklärung gut. Und zu der Frage mit der Reihefolge natürlich kann man mit n über k rechnen also den Zähler noch durch 23! teilen, dann wären Ereignisse mit unterschiedlicher Reihenfolge zusammengefasst (quasi die Zuordnung Schüler -> Geburtstag aber nicht Schüler X -> Geburtstag) aber dann muss man das (geteilt durch 23!) auch mit dem Nenner machen, und dann fällt es wieder weg.

@pharithmetik

2 ай бұрын

Sehr schöne Erklärungsideen!

mit pause zu 1:45 würde ich sagen irgendwo zwischen 12 und 18%. warum? keine Ahnung, vielleicht könnte ich es irgendwie errechnen wenn man mir ein paar Stunden Zeit gibt... schauen wir mal ob ich mich blamiere

@TOAOMaloras

3 ай бұрын

scheinbar lag ich am Ende falsch.

voll coole videos! ich hab, lang bevor du auf die welt kamst, mal abi gemacht und immer gefunden, mathe ist ein arschloch. mein mathelehrer damals vor der prüfung als aufmunterung: "sie schaffen die 5" ( note, nicht punkte!). wurde dann ne 4. danach hab' ich gedacht, juhu, nie wieder mathe. dann hat's mich aber noch etliche male eingeholt, medizinstudium, promotion, zuletzt beim flugschein. heute bin ich in der glücklichen situation, dass ich, wenn irgendwo ne formel steht, nicht mehr wissen muss, ob sie chemisch, physikalisch oder mathemathisch ist. und dann kommst du mit deinen hammer vorlesungen und ich hab plötzlich spass an mathe! vielen dank dafür! wo ich nicht weiterkomm ist bei hilberts hotel deine hausaufgabe, unendlich viele busse etc.! würde mich über ne pn oder die lösung hier freuen! beste grüsse!

@pharithmetik

Ай бұрын

Danke für dein total nettes Feedback! Das freut mich natürlich sehr! Und deine letzte Frage zu Hilberts Hotel: Ich hab's mir für den nächsten Twitch-Stream notiert (Link in der Beschreibung). :-)

Geburtstag hat man genau ein Mal. Die Rechnung funktioniert also nur, wenn man die Jubiläen mitzählt. Nach einer Harvardstudie gibt es einen Geburtenschwerpunkt im September, Oktober und Juli. Dort war der 16. September der häufigste Geburtstag. In Deutschland wird die Statistik nur nach Monaten veröffentlicht. Der Juli ist der stärkste Monat. In Deutschland spielt der 1. Januar eine besondere Rolle. Dieser wird von der Behörde als Geburtstag bestimmt, wenn kein anderer Tag zu beweisen war. Nach den Angaben des BAMF haben 420.000 Menschen in Deutschland mit Migrationshintergründen am 1. Januar Geburtstag. Hinzu kommen die tatsächlichen Geburten aller weiteren Einwohner.

@pharithmetik

3 ай бұрын

Auf der WIkipediaseite zum Geburtstagsparadoxon kann man lesen, dass mal Simulationen mit unterschiedlichen Geburtenraten durchgeführt wurden, dies aber anscheinend das Ergebnis > 50% nicht geändert hat.

@ramali7960

3 ай бұрын

Menschen werden nicht geboren und mir ist klar, diese Aussage wird, da wir so konditioniert sind, sofort negiert. Geboren und gekoren werden Wert- bzw. Orderpapiere. Bitte selbst recherchieren. Menschen kommen zur Welt, auch wenn wir alle dies anders sehen. Die Geburtsurkunde ist ein solches Papier und stellt im Grunde nichts weiter als eine Person dar und Personen sind Fiktionen. Auch hier bitte selbst recherchieren. Das Ganze ist ein wahrlich hochintelligenter Schwindel, auf welchen die Menschheit schon seit Jahrhunderten hereinfällt. An dieser Stelle ist es wohl besser aufzuhören, sonst werden noch andere wach. 😉

@Ron-go8cf

3 ай бұрын

8:07. Es geht um die mathematische Theorie, nicht die statistische Empirie.

@sebastiant4597

2 ай бұрын

​@@pharithmetikDas ist insofern logisch, da die Schulklasse immer ein ganzes Jahr abbildet und die Zahl der Schüler konstant gehalten wird. Das Problem ist aus der Physik bekannt, wenn in einem festen Gasvolumen V mit einer festen Anzahl Moleküle N bei homogener Dichte durchschnittlich X Zusammenstöße pro Zeit stattfinden, wie verändert sich X bei konstantem V und N wenn die Dichte inhomogen gewählt wird. Antwort: X kann nur größer werden. (In den dichteren Teilen passiert mehr mehr, als in den weniger dichten bereichen weniger passiert. Sonst würde sich im thermodynamischen Gleichgewicht auch nicht mehr eine homogene Dichte einstellen. Idealerweise geht man hier "anschaulich" über die Entropie. [Ja, Entropie und anschaulich passen spätestens bei quantitativer Betrachtung nicht mehr wirklich in den gleichen Satz.]) Für die Klasse bedeutet dies, dass aus den Monaten mit höherer Geburtenrate auch mehr Schüler in der Klasse sind und dort die Jahrestagsdopplung wahrscheinlicher wird. Die Kinder die nicht am gleichen Tag Geburtstag haben interessieren uns ja ohnehin nicht.

12:15 Es sind diese Kleinigkeiten, die zum Verstaendnis beitragen. Den Trick mit den Kleinen Zahlen als Beispiel werde ich mir unbedingt merken. Vielen Dank dafuer. P.S. Ich finds nur schade, dass die mathematische Formel fehlt

Krankes T-Shirt

Ich freu mich... hab vor 35 Jahren Abi gemacht und bin auf die richtige Lösung gekommen. War doch nicht alles für die Katz.

@pharithmetik

2 ай бұрын

Das freut mich auch 😊

Wir waren 31 (keine Mehrlinge) und jeder hatte sein eigenes Geburtdatum ohne Dopplung. 🤷‍♀️

@pharithmetik

2 ай бұрын

Ja, das kann auch passieren mit einer Wahrscheinlichkeit von fast 0,5 :)

Ein Tip - am Anfang alle Schüler schätzen lassen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, damit sie mal versuchen es intuitiv zu lösen - dann werden sie auch am Ende verblüfft sein, wie falsch sie lagen. Alle Schätzungen aufaddieren und dann durch die Zahl der Schüler teilen um die durchschnittliche Schätzung zu bekommen und dann mit dem richtigen Ergebnis vergleichen.

@pharithmetik

3 ай бұрын

Gute Idee! :)

"Fuck off Humans"...xdxdxdxdxdx...mutig...Daumen hoch

@pharithmetik

2 ай бұрын

🤣

ich finde das total interessant, deine videos ich habe ich mir bereits mehrere ebenfalls angesehen. bei diesem thema bin ich allerdings anderer meinung. theoretisch könnten auch alle am selben tag geburtstag haben! wenn man einen zufallsgenerator starten würde kann da alles bei raus kommen! es soll sogar fälle in casinos gegeben haben wo eine zahl mehrfach hintereinander beim roulette die gleiche war! bei den jahren muss man natürlich dieses natürlich noch berücksichtigen bzgl. der schaltjahre aber viel anders wie am roulette tisch ist es für mich nicht ausser die 23 quasi die anzahl der runden am spieltisch für mich sind.

Danke für das anschauliche Beispiel! Der Herr Professor Spannagel kann das sicher viel besser und mathematisch exakter ausdrücken, aber mit meinem laienhaften Verständnis würde ich die Frage, warum die Reihenfolge nicht egal ist, dahingehend beantworten, dass man nicht die Kombinationen eines Ereignisses mit den möglichen Variationen eines anderen Ereignisses bzw. allen möglichen Variationen vergleichen kann. Ich habe im Nenner die 365^23 als Anzahl aller möglichen Variationen, wie die Geburtstage in der Klasse verteilt sein können. Für die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des Ereignisses, dass alle Kinder an unterschiedlichen Tagen Geburtstag haben, muss ich dann auch alle möglichen Variationen, bei denen dieses Ereignis eintritt mit der Gesamtzahl aller Variationen in Relation bringen bzw. die Anzahl der Variationen mit Ereigniseintritt in den Zähler schreiben. Wenn ich mit Kombinationen statt Variationen rechnen würde, fielen somit 23!-1 Variationen für jede mögliche Kombination unter den Tisch. Daher ist die Reihenfolge nicht egal, da sie es bei 365^23 ja auch nicht ist. Für die Frage, wie viele unterschiedliche Kombinationen von Geburtstagen der Kinder es gibt (ohne Betrachtung der Namen, ohne Mehrfachgeburtstage), wäre 365 über 23 richtig, aber darum ging es nicht. Ich hoffe, dass es für einige Mitmenschen, denen es im Video nicht ganz klar war, so vielleicht etwas verständlicher geworden ist. Der Einwand, dass es sich bei einer anderen Reihenfolge um eine andere Klasse handeln würde, mag zwar richtig sein, ist aber sehr abstrakt und mir daher nicht so verständlich wie der Unterschied zwischen Kombinationen und Variationen.

@nikolausseydel1728

3 ай бұрын

Wenn man die Reihenfolge nicht mit berücksichtigt, muss man sowohl den Zähler als auch den Nenner durch 23! teilen, das kürzt sich eh weg, also macht es im Endeffekt nichts aus.

14:52 Danke für die Frage, warum die Reihenfolge relevant ist, die hab ich mir selbst schon gestellt. Bin auf die Auflösung gespannt!

@jorgsteinberg6160

3 ай бұрын

Ja, das ist nicht wirklich intuitiv. Aber ich leite es mir gerade so her, dass es sonst die Frage wäre wie wahrscheinlich es ist, dass es überhaupt irgendeine Klasse gibt in der die Bedingung zutrifft. Ich bin aber nicht sicher ob das richtig ist.

Aus didaktischen Gründen würde ich mit der Betrachtung einer Klasse mit zwei Schülern beginnen. - die positive Ereigniswahrscheinlichkeit ist intuitiv erfassbar - 1/365 lässt sich als knapp 0,3% abschätzen - es lässt sich ohne Rechner zeigen, dass 1/365 = 1-365*364/365² - zwei beliebige (1) versus zwei bestimmte (2) sind in diesem einen Fall identisch - die für (2) fälschlicherweise angestellte Hochrechnung für 50% macht den Kern des Paradoxons aus

Ich muss Ihnen widersprechen, mit der Annahme, „in jeder zweiten Klasse werden mindestens zwei am selben Tag Geburtstag haben“ , denn Wahrscheinlichkeiten gleichen sich nicht aus. Nur weil in der vorherigen Klasse niemand doppelt Geburtstag hatte, heißt es nicht, dass in der nächsten Klasse zwei Geburtstage doppelt geben muss

@pharithmetik

3 ай бұрын

Jep. Ich meinte nicht "exakt in jeder zweiten Klasse", sondern "im Mittel in jeder zweiten Klasse".

Man kann ruhig den 29. Februar dazunehmen. Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 2 Personen am gleichen Tag Geburtstag haben, verringert sich bei 23 Personen nur unwesentlich. Sie bleibt größer als 0,5.

Nice shirt btw und jetzt gerade auch noch 666 likes🤘❤

Witzig. Ich hatte schon mehrere Firmen wo Kollegen am selben Tag Geburtstag hatten. In der jetzigen Firma sind es sogar sechs Kollegen 😅

@pharithmetik

2 ай бұрын

Das ist überraschender, umso weniger Beschäftige deine Firma hat :)

2:08 Gute Antwort, Lea!

Die Vorstellung das 2 Kinder am gleichen Tag Geburtstag haben, muss man nicht so auswalzen.

@pharithmetik

Ай бұрын

Man kann es aber auswalzen! 🤣

Ich hätte tatsächlich nur so 5-10 % geschätzt (ohne stochastische Rechnung). Fast unglaublich! Ich kann mich auch nicht daran erinnern, dass in meiner Schulzeit (13 Jahre) mal zwei meiner Mitschüler am gleichen Tag Geburtstag hatten. Ich hatte mal zwei Stefan Schmidts in der Klasse. Mathe hin oder her: kann das mal ein Lehrer oder eine Schulverwaltung praktisch bestätigen?

Wir stellen uns mal vor, die hätten nur dieses elektronische Whiteboard die es in den Schulen gibt 😅

@pharithmetik

3 ай бұрын

Ich käme auch mit einem Whiteboard klar. Es muss halt nur so groß sein wie diese Mega-Tafel :)

19:10 min. die anderen Möglichkeiten haben die *selbe* Wahrscheinlichkeit! Die Frage wahr ja aber auch nicht nach: Wieviel unterschiedliche Möglichkeiten gibt es?; sondern Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit irgendeiner dieser Möglichkeiten (Wege). Womit dann aber auch alle anderen Möglichkeiten wegfallen, wenn eine gewählt ist. 🤷‍♂️

Als "Paradoxon", also als scheinbarer Widerspruch wird es meins Wissens deswegen bezeichnet, weil die Wahrscheinlichkeit, dass ein zweites Kind am selben Tag Geburtstag hat wie ein bestimmter Schüler, sehr viel kleiner ist, nämlich nur 1/365.

11:00 Ganz ehrlich.. Ich ertapp mich auch immer wieder dabei, genau bei so kleinen Minus-Aufgaben mich komplett zu verkopfen. Oh jemand hat August 1987 Geburtstag, wie alt wird sie/er dann übermorgen sein... uff.

@pharithmetik

3 ай бұрын

Ja, das sind typische Fehler. Man muss höllisch aufpassen.

@RaveKev

3 ай бұрын

@@pharithmetik ich verschweige mal lieber, dass ich Ende 30 und Softwareentwickler bin 😅

@pharithmetik

3 ай бұрын

@@RaveKev Oh, auch hier gibt es immer die netten Plus/minus-Eins-Fehler, z.B. bei Schleifen :D

Die meisten Kinder werden im Monat Juli geboren und im Februar und August die wenigsten. Muss man das berücksichtigen?

Und was macht es zu einem Paradoxon?

@pharithmetik

2 ай бұрын

Auf Wikipedia steht: "Die Antwort ist für die meisten verblüffend und wird deshalb als paradox wahrgenommen." Aber es passt nicht so richtig.

Genau dieses »Paradoxon« hat mich vor 40 Jahren, in meiner Schulzeit, auch verblüfft. Wie viele Personen müssen versammelt werden, damit die Wahrscheinlichkeit 100% ist, dass zwei Personen am selben Tag Geburtstag haben? Klar, es sind 366. Dass die Zahl auf 23 schrumpft, wenn man eine Wahrscheinlichkeit von 50% verlangt, finde ich immernoch verblüffend. Die Frage der schlauen Schülerin, warum die Permutationen der Schüler keine Rolle spielen, könnte man beantworten, damit, dass diese Permutationen auch in 365^23 enthalten sind, also rausgekürzt werden. Und ich bin begeistert, wenn ich Lehrer sehe, die unseren Kindern mit so viel Begeisterung Mathematik beibringen. Bitte erhalten Sie sich diese Ausstrahlung!

@pharithmetik

3 ай бұрын

Danke für die Hinweise!

man hört im Video leider die Stimmen der Zuhörer ganz schlecht...

@pharithmetik

2 ай бұрын

Ja, das ist Absicht. Ich will nicht, dass man die Studierenden versteht, sonst beteiligen sich weniger. Daher versuche ich auch alles zu wiederholen/zusammenzufassen, was gesagt wird.

Die Erklärung ist korrekt, es ist jedoch etwas unklar, ob die Reihenfolge von Bedeutung ist oder nicht. Deshalb ist es nicht zu 100 % überzeugend. Die Mathematik des Problems ändert sich nicht, wenn wir modifizieren das Problem ein wenig. Es sei ein Korb mit 365 Bällen 1-365 nummeriert. Es soll um anonyme, nicht zu unterscheidende Personen handeln, es soll egal sein wann sie wirklich Geburtstag haben. Jeder zieht nach dem Zufallsprinzip einen „virtuellen Geburtstag“ aus dem Korb und legt die Kugel nicht zurück. Es ist klar, dass die Reihenfolge, in der die Schüler dies tun, keine Rolle spielt. Somit beträgt die Zahl der günstigen Fälle (d.h. niemand hat den gleichen virtuellen Geburtstag) zweifellos 365*364*....*343. Wenn wir die Teilnehmer qualifizieren, wir machen sie unterscheidbar, ist das eine andere Aufgabe.

Tatsächlich ist die Wahrscheinlichkeit noch etwas größer, da Geburten über die Monate signifikant ungleichmäßig verteilt sind.

@pharithmetik

3 ай бұрын

Das klingt nachvollziehbar!

Unglaublich wie unterschiedlich die gleiche Mathematik an verschiedenen Uni's gelehrt wird... Leider ist Heidelberg etwas zu weit weg für mich 🙃

@pharithmetik

2 ай бұрын

Das ist eine Veranstaltung für Grundschullehramtsstudierende, die Mathematik nicht als Fach gewählt haben. Das ist natürlich etwas ganz anderes als zum Beispiel eine Veranstaltung für Studierende im Bachelor Mathematik.

Oh oh,... mit dem T-Shirt hätte ich in der Schule Probleme bekommen.

@steffieonline

3 ай бұрын

In meinem ehemaligen Kollegium von knapp über 40 LuL waren wir 3 Personen, die am gleichen Tag Geburtstag hatten. Da war das Buffet immer gut gefüllt.

@pharithmetik

3 ай бұрын

Ja, wir sind hier an ner Hochschule, da meckern keine Eltern ;-)

Herzlichen Dank! Die Frage, die sich anschließend stellt. Ich will das Ding für 60 Leute ausrechnen. Nenner einfach, Zähler mühselig. Gibt es da ein Bildungsgesetz für N Personen? Ich fürchte nein. Aber ich beschäftige mich nicht täglich mit diesen Dingen.

Bei zwei verschiedenen Klassen sind es natürlich zwei unterschiedliche Möglichkeiten, wenn Paula am 01.01. und Max am 02.01. Geburtstag hat, oder Max am 01.01. und Paula am 02.01. Geburtstag hat, aber die Wahrscheinlichkeit ist doch in beiden Klassen die gleiche, egal, wie die Kinder heißen. Ich denke, das war das Problem, dessen Lösung nicht ganz klar war. Wie die Kinder heißen, solange es 23 Kinder sind, die in die selbe Klasse gehen, ist im Grunde egal.

@pharithmetik

3 ай бұрын

Es ist egal, wie die Kinder heißen. Man kann sie auch einfach durchnummerieren. Es muss nur klar sein, dass es zwei unterschiedliche Möglichkeiten sind, wenn Nummer 1 am 1.1. Geburtstag hat und Nummer 2 am 2.1. oder umgekehrt.

Die Nerd-Aufgabe wäre: Wie viele Kinder müssten in der Klasse sein, damit die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei am gleichen Tag Geburtstag haben, genau 0,5 beträgt. (Wir gehen hier der Einfachheit halber mal von einem Laplace-Paralleluniversum aus, in dem es kein Schaltjahr gibt, aber dafür die Anzahl der Kinder in einer Klasse keine ganze Zahl sein muss.) 🤓

@pharithmetik

3 ай бұрын

Wer hat die Lösung? 😊

@notentipper

3 ай бұрын

Ich nicht. 🤭(Aber die dazugehörige Gleichung mit der Gammafunktion sieht schon irgendwie... naja... gruselig aus.)

Klasse gemacht! Schade das die "Schüler" so leise sind....

@pharithmetik

3 ай бұрын

Danke 🙏 und ja, manchmal ist das so :)

wurde das mal empirisch nachgewiesen?

@pharithmetik

3 ай бұрын

Das weiß ich nicht.

@Unna1969

3 ай бұрын

Selber ausprobieren. Familienfeier, 30 oder 35 Leute, da ist die Chance schon sehr hoch.

Ich weiss jetzt wie man es rechnet aber verstehen tue ich es immer noch nicht warum man es genau so rechnet 😊

Ich habe 1982 eine Polytechnische Oberschule verlassen und weiss genau, dass meine Mathelehrerin niemals auf solche Ideen gekommen wäre. Zum anderen ist der Typ Lehrer heute ein ganz anderer. Mir scheint die Notwendigkeit solcher Berechnungen im Verlangen nach vorteilhafter Work-Life-Balance zu liegen.

Natürlich ist die Lösung dieses Problems (eigentlich) überraschend, wir als Zuschauer bekommen die anscheinend "maue" Reaktion der Zuhörer ja nicht mit. Aber es gibt (für mich) leider dennoch ein etwas häßliches Momentum bei dieser Aufgabe - und das ist das Problem, den Wert der ermittelten Formel auszurechnen. Da sind selbst potenteste Rechner bisweilen überfordert, die Fehlerfortpflanzung (je nach Rechenweg) ist zu groß. Und das Ergebnis ist weder vorhersehbar, noch mit einfachen arithmetischen Mitteln selbst auszurechnen. Man ist auf Gedeih und Verderb einem Computer o.ä. ausgeliefert, um diesen Wert zu ermitteln. Das ist etwas Schade an dieser ansonsten auch ganz tollen Aufgabe.

@pulok0019

3 ай бұрын

Passiert leider relativ häufig beei Beispielen, dass man auf einen Computer in der Mathematik angewiesen ist. Eine Möglichkeit es dennoch mit Handelsüblichen Taschenrechner zu lösen, wäre folgende Gleichung aufzustellen: P = 1 - 365!/((365^x)*(365-x)!) = 1 - (x!*BK(365 über x)/365^x)) BK ist hier der Binomialkoeffizient. Mithilfe der Stirling Formel lässt sich dies nun in eine exponential-Funktion überführen. Diese sieht dann wie folgt aus. P ~ 1 - (365/(365-x))^(365,5-x ) * e^(-x). Und die kann man mit einem üblichen Taschenrechner ausrechnen. Oder man nimmt einfach meine erste Formel und tippt sie in Wolfram-Alpha ein und lässt den Computer die Arbeit machen :)

@rhalleballe

3 ай бұрын

@@pulok0019 Ich habe auf dem Smartphone eine Taschenrechner App, die ist offensichtlich sehr intelligent programmiert. Da kann man einfach ganz brutal 364! ausrechnen lassen und dann durch 342! (ebenso ein titanisch großer Wert) teilen. Und dann noch durch 365^22 teilen - und am Ende kommt tatsächlich 0,492702.... heraus. Früher wären alle Rechner mit "Überlauf" ausgestiegen.

@rhalleballe

3 ай бұрын

@@dodaladuhanandaindabhude5649 Das sehe ich komplett anders. Der Weg ist weder schwer noch schwer nachzuvollziehen. Die eigentliche Überraschung liegt de fakto im numerischen Ergebnis, welches stark vom erwarteten Ergebnis abweicht. Der Weg wiederum hat rein gar nichts überraschendes. Das ist einfach das Ausmultiplizieren der Gegenwahrscheinlichkeit (jeder hat an einem anderen Tag Geburtstag). Der simpelste Fall aller Fälle.

@nikolausseydel1728

3 ай бұрын

Eigentlich kann man das leicht ausrechnen, wenn man sieht, dass sowohl im Zähler als auch im Nenner je 23 Zahlen sitzen, die man jeweils durcheinander dividiert und dann multipliziert, also 365/365 * 364/365 * 363/365 * ... * 343/365. Das lässt sich sogar mit Papier und Bleistift machen (die Zwischenergebnisse sind dann alle unter 1, also leicht handhabbar).

@rhalleballe

3 ай бұрын

@@nikolausseydel1728 Jaja, hast Du es mit Papier und Bleistift und ohne Taschenrechner ausgerechnet? (Natürlich nicht!). Sorry, aber langsam ist es nur noch hohles Geschwätz.

Was ist dran paradox?

@pharithmetik

3 ай бұрын

Das ist ne gute Frage. Leute finden das Ergebnis nicht intuitiv und sind überrascht.

@previ26

3 ай бұрын

@@pharithmetik das ist aber nicht der Definition von paradox entsprechend.

Irgendwie ist das alles durchaus schlüssig und leicht zu errechnen, andererseits habe ich tatsächlich nie eine Klasse gesehen, in der zwei Menschen am selben Tag Geburtstag hatten.

Ein Freund meiner Eltern und gleichzeitig mein Taufpate ist "jünger" als ich, denn er hat zwischen dem 28.2 und dem 1. Geburtstag, also nur alle 4 Jahre. Also an Schalttagen in Schaltjahren kann auch jemand Geburtstag haben ;-p

Warum der Pulli inner Uni?

@pharithmetik

3 ай бұрын

Weil er mir gefällt?

@JohnTrasher

3 ай бұрын

@@pharithmetik naja aber mit dem Statement sich als Dozent vor Andere zu stellen ist schon speziell :D stelle mir vor mein Hausarzt trüge so sowas in der Praxis...

@pharithmetik

3 ай бұрын

@@JohnTrasher Also ich würde sofort zu diesem Arzt wechseln! 🤣

Ich habe mal ausgerechnet, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, beim Kartenspiel Schafkopf einen "Sie", quasi 4 Ober und 4 Unter auf die Hand zu bekommen! Soll ja angeblich recht selten sein? Ich hatte den schon 2x gekriegt!

ihr seid total abgebrüht .... LOL ... nächste aufgabe . klasse

Also ich war übertrieben verblüfft gerade!!!

Ich finde die Herleitung nicht so einfach, wie sie sein könnte. Das 1. Kind kann an 365 von 365 Tagen Geburtag haben, also 365:365, das 2. Kind an 364 von 365 Tagen, also 364:365... usw. So wird jedes Ereignis nacheinander durch die jeweilige Wahrscheinlichkeit dargestellt. Das Ergebnis ist das Gleiche, aber stochastisch eher nachzuvollziehen.

@567romario

13 күн бұрын

Genauso hat er es doch hergeleitet.

Also ich bin verblüfft!

@pharithmetik

3 ай бұрын

Ich auch :)

Also mir die Frage zum ersten Mal aber mit 27 Schülern gestellt wurde, habe ich den Fragesteller mit meiner Schätzung verblüfft, da ich im Gegensatz zu den Meisten, denen er die Frage vor mir gestellt hatte, bei über 60% und damit deutlich näher am Ergebnis lag...mir war intuitiv klar, wie ich die Rechnung überschlagen musste

@pharithmetik

3 ай бұрын

Sehr beeindruckend!

Ich mag das Oberteil, das er trägt :D

@pharithmetik

3 ай бұрын

Ja, ich auch :)

Also ich will jetzt nichts schlechtes über meine LehrerInnen schreiben, aber wenn ich die Wahl hätte ob ich nochmals Mathe bei Dir oder bei denen hätte, würde ich Dich wählen xD

@pharithmetik

3 ай бұрын

Du wärest herzlich willkommen! 🤗

23 als Klassengrösse ist aber auch geschickt gewählt ... 🙂

@eineeidechse6898

3 ай бұрын

Wir hatten die Aufgabe in der Uni auch mal andersrum. Da wurde gefragt ab welcher Klassengröße es sich lohnt eine Wette einzugehen, dass mindestens zwei am gleichen Tag Geburtstag haben. Antwort ist dann eben auch 23. Ich denke das war demjenigen der die Aufgabe erstellt hat bewusst, dass es dort diesen "Kipppunkt" gibt.🙂

@pharithmetik

3 ай бұрын

Absolut!

.....,, der Tag darf nicht zurück in die URNE gelegt werden ,, jo ...aber am Ende dann doch ....🎉🎉🎉🎉🎉🎉🎉

Ich werde das nie verstehen können :D Habe mir schon viele Videos dazu angesehen und einiges drüber gelesen, doch mein Gehirn will die Antwort einfach nicht akzeptieren. Es macht einfach nicht klick. Dass die Wahrscheinlichkeit bei 50 Kindern schon bei über 97% liegt, macht es noch viel schlimmer :D

@pharithmetik

3 ай бұрын

Das geht nicht nur dir so. 😊 Deswegen heißt es auch Paradoxon - es ist einfach nicht intuitiv.

Ganz einfach : 365 -22 belegte Tage . chanche liegt bei 344 :1 , da ein Treffer mit berücksichtigt werden muss . zu einfach für mich

In meiner alten Klasse hatte einer mit mir zsm. B-Day

haha er ist auch gealtert... sah damals schon aus wie ich: mathe, alternativ, lange haare... jetzt ewigkeiten später: mathe alter alternativer, weniger aber immernoch lange haare.... und wir beide heißen christian... und festivalbändchen trag ich auch nicht mehr... Ich liebe solche zufälle... genauso wie ich immer mal auf die uhr gucke und immer wieder tolle uhrzeiten erwische: 11:11 / 13:37 / ... das muss ein matheding sein mit den zufällen und wahrscheinlichkeiten.... und dann noch das "365 - 23" verdammt wie war das nochmal... 343 oder 342... nehmen wir was kleineres, da stehen 3 zahlen, 365 - 3, ahh ok so war das... dann ist es 343... prinzip hab ich nächste mal eh wieder vergessen und frage es mich zum 134242352ten mal... oh er macht es genauso... ok das 3 zahlen schon an der tafel standen hat das ganze wohl beeinflusst...

@pharithmetik

2 ай бұрын

So viele Zufälle auf einmal, das kann ja gar kein Zufall sein 🤣

Ich bin ja keine Frau...aber ich könnte mir vorstellen,daß sich so manche Studentin in der Vorlesung in ihn verliebt. Die können sich dann eben nicht auf den Satz desThales konzentrieren und sitzen längst in Gedanken mit ihrem Prof. im Cafe...Wer von den Lesern oder auch Leserinnen sieht das auch so? Heute ist der 2. Januar 2024, 8:54h. Dortmund. Schreibt mal...insb. Frauen vor 🙂

krass, dass studierenden heute noch der stoff aus gk 11 erklärt werden muss. abitur ist anscheinend keine adäquate hochschulzugangsberechtigung mehr.

gehts auch kürzer????

@pharithmetik

3 ай бұрын

Bestimmt! Dann aber auf anderen Videochannels :). Ich versuche denen zu helfen, die es langsamer mögen/brauchen.

@Ron-go8cf

3 ай бұрын

gehts auch respektvoller????

Ich bin verblüfft

@pharithmetik

2 ай бұрын

Strike!!!

Warum dappt man das auf eine Stunde hin aus? Haben wir das IQ-60-Jahrhundert?

@pharithmetik

2 ай бұрын

22 Minuten sind im IQ-60-Jahrhundert immer noch keine Stunde. 😉

Wozu braucht man das

@a-liquis6456

3 ай бұрын

Das Geburtstagsparadoxon ist nur ein Beispiel für Wahrscheinlichkeitsrechnung / Stochastik / Statistik. Mit solchem und ähnlichen Methoden kann man u.a. die Eintrittswahrscheinlichkeit von Ereignissen näherungsweise ermitteln. Man könnte die Ausgangsfragestellung auch so formulieren: "Wie hoch ist die Eintrittswahrscheinlichkeit des Ereignisses, dass zwei von 23 Personen einer Gruppe am gleichen Tag Geburtstag haben?" Bei (Rück-)Versicherungen gibt es Risikoanalysten, die Eintrittswahrscheinlichkeiten von potenziellen Versicherungsfällen mit statistischen Methoden errechnen und auf Basis dieser Ergebnisse können Prämien bzw. die Beitragszahlungen festgelegt und angepasst werden.

@lennisonsus9260

3 ай бұрын

@@a-liquis6456 okay mit anderen worten nutzlos

@a-liquis6456

3 ай бұрын

@@lennisonsus9260 Wenn Du oder jemand der Dir nahesteht mal ein Ersatzorgan benötigen sollte und die Entscheidung über den Erhalt von statistischen Berechnungen abhängt (ermittelte Risikogruppe), dann reden wir noch einmal über Nutzlosigkeit. 😀

@pharithmetik

3 ай бұрын

@@lennisonsus9260 Nutzlos aber schön!

@sicherheitsarchitekt8907

2 ай бұрын

Sehr gute Frage, auf die in kaum einem Video eingegangen wird. Tatsächlich spielt es aber eine gravierende Rolle in der Cybersecurity (besser: Kryptologie). Entgegen dem Bauchgefühl (auch von Menschen mit IT, Mathe-und Securitywissen) macht es nämlich einen riesigen Unterschied, wenn es um Angriffe auf Verschlüsselungen oder Hashwerte geht. Dazu gehört noch ein zweites „Paradoxon“, wenn es darauf geht, wie viel Personen man braucht, damit man einen bestimmten Tag trifft.

Uhm... ich hab die Formel mal so in Wolfram Alpha reingeprügelt und bekom -177.8(...) raus... O_o ... Wo tippe ich Falsch? [Edit:] Gefunden... da tippt man zu schnell und schon hat man 363 zwei mal über den Bruchstrich gepackt *kopf->tisch*

@pharithmetik

3 ай бұрын

Ich habe es auch gerade mal ausprobiert. Ich habe folgende Formel eingegeben (lustigerweise bietet einem Wolfram Alpha dann schon die Formel an, wenn man die ersten paar Zeichen eingegeben hat 🤣): 1-(365!/(365-23)!)/365^23 und es kommt das richtige Ergebnis heraus.

@psymcdad8151

3 ай бұрын

@@pharithmetik Ah, vielen dank :) Ich hatte, wie im Edit oben angegeben, die Zahlen händisch eingetippt und dabei ein kind quasi Dupliziert. :) Ich geh mich eine Runde schämen ^^

@pharithmetik

3 ай бұрын

@@psymcdad8151 Nein, auf keinen Fall schämen! 😊 Das passiert den Besten!

Heutzutage haben die meisten hier in Deutschland lebenden am 1.1 Geburtstag. 😉

Gähhhhn

Digitale Rauschunterdrückung nervt.

@pharithmetik

2 ай бұрын

Ich weiß noch nicht so genau, was du meinst. Ich verwende keine digitale Rauschunterdrückung (zumindest nicht bewusst). Was nervt dich denn genau?

@Dyramesch

2 ай бұрын

@@pharithmetikHi, sorry für die späte Antwort. Ich hatte diese abgehackten Wortmeldungen aus dem Hörsaal auf eine zu starke Rauschunterdrückung zurückgeführt. Kann aber gut sein, dass ich damit falsch liege. 🤔

@pharithmetik

2 ай бұрын

@@Dyramesch Nein, sie sind einfach prinzipiell schlecht zu verstehen (absichtlich)

Ich finde den Ton nicht.

@fynn0436

3 ай бұрын

Der ist da. Ist ein Bug von KZread. Einfach KZread nochmal neu starten. Vielleicht auch nur Video neu starten, dass weiß ich aber nicht genau. Liebe Grüße😁

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass nur 23 Kinder in einer Klasse sind?

@pharithmetik

3 ай бұрын

0

22 am selben Tag Geburtstag. Der andere ist das Opfer ☠️

er lebt

@pharithmetik

3 ай бұрын

Oh ja!