Soit n un entier supérieur ou égal à 1, le programme de Langlands (pour GLn) relie représentations de dimension n de groupes de Galois et représentations de dimension infinie de GLn. Pour les besoins de l'arithmétique, on est amené à considérer toutes ces représentations sur des espaces vectoriels sur un corps de caractéristique p pour p nombre premier arbitraire. Côté GLn, cela mène en particulier au problème suivant : comprendre et construire les (ou des) représentations en caractéristique p de GLn(K) où K est une extension finie du corps des nombres p-adiques (pour le même nombre premier p !). Ce problème défie les experts depuis plus de 20 ans. Je rappellerai son histoire, les difficultés rencontrées, et énoncerai quelques résultats récents pour GL2.
Exposé donné dans le cadre des 150 ans de la SMF.
smf.emath.fr/150-ans-smf